Épicycloïdes

Aimé Lachal Courbes cycloïdales et trochoïdales Épicycloïdes/épitrochoïdes

III. Épicycloïdes/épitrochoïdes

Quelques épicycloïdes

\(n\!=\!1\)

animation

stop

Cardioïde
\(z=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+\,\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}\)

–––––––––

\(n\!=\!2\)

animation

stop

Néphroïde
\(z=3\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+\,\mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}\)

–––––––––

\(n\!=\!3\)

animation

stop

Un trèfle…
\(z=4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+\,\mathrm{e}^{4\mathrm{i}t}\)

–––––––––

\(n\!=\!4\)

animation

stop

Un trèfle à quatre feuilles…
\(z=5\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+\!\mathrm{e}^{5\mathrm{i}t}\)

–––––––––

\(n\!=\!\dfrac{\lower 0.5ex 1}{2}\)

animation

stop

Cardioïde : le retour…
\(z=-\frac12\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}-\,\mathrm{e}^{\frac12\mathrm{i}t}\)

–––––––––

\(n\!=\!\dfrac{\lower 0.5ex 2}{3}\)

animation

stop

Néphroïde : le retour…
\(z=-\frac13\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}-\,\mathrm{e}^{\frac13\mathrm{i}t}\)

–––––––––

\(n\!=\!\dfrac{\lower 0.5ex {14}}{3}\)

animation

stop

Une épicycloïde fermée
\(z=\frac{17}{3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+\,\mathrm{e}^{\frac{17}{3}\mathrm{i}t}\)

–––––––––

\(n\!=\!\pi\)

animation

stop

Une épicycloïde dense dans la couronne
\(z=(\pi\!+\!1)\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+\mathrm{e}^{(\pi+1)\mathrm{i}t}\)

Quelques épitrochoïdes

\(n\!=\!6\quad\)et\(\quad a\!=\!\dfrac{\lower 0.5ex 1}{2}\)

animation

stop

Une épitrochoïde raccourcie
\(z=7\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+\frac12\mathrm{e}^{7\mathrm{i}t}\)

–––––––––

\(n\!=\!6\quad\)et\(\quad a\!=\!2\)

animation

stop

Une épitrochoïde allongée
\(z=7\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+2\,\mathrm{e}^{7\mathrm{i}t}\)

–––––––––

\(n\!=\!4\quad\)et\(\quad a\!=\!5\)

animation

stop

Une rosace
\(z=5\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+5\,\mathrm{e}^{5\mathrm{i}t}\)

–––––––––

\(n\!=\!20\quad\)et\(\quad a\!=\!8\)

animation

stop

Une épitrochoïde allongée
\(z=21\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+8\,\mathrm{e}^{21\mathrm{i}t}\)

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