V. Et dans la vie de tous les jours…

Un peu d'optimisation : des pendules, \(\vphantom{a_a}\)des toboggans et des tunnels

Entre deux cycloïdes superposées :
un fil pesant suspendu à une pointe…

Un pendule cycloïdal…

La cycloïde, une courbe isochrone

Quelle que soit leur position de départ,
les billes ont la même période !

Pendule de Huygens (1656) :
horloge à balancier cycloïdal

Christiaan Huygens

(1629–1695)

Mathématicien, astronome
et physicien néerlandais

La cycloïde, une courbe tautochrone

Quelle que soit leur position de départ,
les billes arrivent au pied de la courbe au même instant !

La cycloïde, une courbe brachistochrone

Parmi toutes les courbes joignant deux points fixés,
la cycloïde offre un temps de parcours minimal !

Le chemin le plus court n'est pas le plus rapide…

–––––––––

Une utopie onirique : les tunnels gravitationnels (XVII^e s. puis années 60)

Sous l'effet de la gravitation terrestre…

animation

Quelques équations…

Segment reliant \(A\) et \(B\) :

\(z = z_A + u(z_B-z_A),\quad u \!\in\! [0,1]\)

Hypocycloïde reliant \(A\) et \(B\) :

\(z = (R-r_{\!\raise-0.5ex{AB}}) \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(u + \theta_A)} \,+\, r_{\!\raise-0.5ex{AB}} \,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(R/r_{\!\raise-0.5ex{AB}}-1)u + \mathrm{i}\theta_A}, \quad u \!\in\![0,\theta_{AB}]\)
\(r_{\!\raise-0.5ex{AB}} = R \dfrac{\theta_{\!AB}}{2\pi}\),\(\quad\theta_{\!AB} = \theta_B-\theta_A\)

Loi horaire :

\(u(t) = \frac12 \left[1-\cos\left(\sqrt{\frac gR}\,t\right)\right],\quad t\!\in\!\big[0,2\pi\sqrt{R/g}\,\big]\) pour le segment
\(u(t) = \sqrt{\frac gR\frac{\theta_{AB}}{2\pi-\theta_{AB}}}\,t,\quad t\!\in\!\big[0,\sqrt{\theta_{AB}(2\pi-\theta_{AB}) (R/g)}\,\big]\) pour l'hypocycloïde

Lois de la physique :

Force de gravitation : \(F(r) = \dfrac{GM(r)m}{r^2} = \dfrac{mgr}{R}\)
avec \(M(r) = M \dfrac{\raise -0.5ex {r^3}}{R^3}\vphantom{\dfrac{b^b}{p}}\)
\(M =\) masse de la terre, \(M(r)=\) masse de la partie de rayon \(r\)
\(R = 6371 \,\mathsf{km}\;\) rayon de la terre
\(G=\) constante de gravitation
\(g = \dfrac{GM}{R^2} = 9.81 \,\mathsf{m}/\mathsf{s}^2\) : accélération de la pesanteur

Conservation de l'énergie :

\(\dfrac12 mv^2 + \dfrac{1}{2R}mgr^2 = \dfrac12 mgR\)
ou encore \(v = \sqrt{\frac gr (R^2-r^2)}\)

Durée de la traversée :

\(T_{AB} = \sqrt{\theta_{AB}(2\pi-\theta_{AB}) \frac Rg}\)

Longueur du tunnel :

\(L_{AB} = \dfrac{2}{\pi^2}R\theta_{AB}(2\pi-\theta_{AB})\)

Profondeur du tunnel : \(P_{AB} = \dfrac{1}{\pi}R\theta_{AB}\)

Vitesse au milieu : \(V_{AB} = \dfrac{1}{\pi}\sqrt{gR\theta_{AB}(2\pi-\theta_{AB})}\)

Durée : 42,24 minutes !

Quelques petits inconvénients…

Profondeur : 6371 km
Vitesse au centre : 28440 km/h
Température au centre : 5430°C

Merci d'avoir rêvé avec nous !

\(\vphantom{a_q}\)Un peu d'électromagnétisme

Considérons dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) une particule de masse \(m\) et de charge \(q\) située initialement à l'origine et animée d'une vitesse initiale \(\vec{v}_0\) placée dans un champ magnétique \(\vec{B}=B\,\vec{k}\) et un champ électrique \(\vec{E}=E_1\vec{i}+E_2\vec{j}+E_3\vec{k}\).

Force créée par les champs \(\vec{B}\) et \(\vec{E}\) (force de Lorentz), \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) désignant la vitesse et l'accélération de la particule :

\(\vec{F} = q\vec{v} \wedge \vec{B}+q\vec{E}=m\vec{a}\).

Posons \(\omega=\dfrac{qB}{m}\).

La position \((x(t),y(t),z(t))\) de la particule à l'instant \(t\) vérifie le système différentiel

\[\begin{cases} x''(t)=\omega y'(t)+\dfrac{q}{m}E_1\\ y''(t) =-\omega x'(t)+\dfrac{q}{m}E_2\\ z''(t) = \dfrac{q}{m}E_3 \end{cases}\]
1^er cas : supposons \(\vec{E} =\vec{0}\) et \(\vec{v}_0=x'_0\vec{i}+z'_0\vec{k}\).

\[\begin{cases}\vphantom{\dfrac{q}{m}} x''(t) = \omega y'(t)\\ y''(t) =-\omega x'(t)\\[1ex] z''(t) = 0 \end{cases}\] Solution :

\[\begin{cases} x(t)=\dfrac{x'_0}{\omega}\sin(\omega t)\\ y(t)=\dfrac{x'_0}{\omega}[\cos(\omega t)-1]\\[1ex] z(t)=z'_0t \end{cases}\]

animation

2^e cas : supposons \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) orthogonaux (disons \(\vec{E}=E\vec{j}\)) et \(\vec{v}_0 = \vec{0}\) :

\[\begin{cases}\vphantom{\dfrac{q}{m}} x''(t) = \omega y'(t)\\ y''(t) =-\omega x'(t)+\dfrac{q}{m}E\\[1ex] z''(t) = 0 \end{cases}\]
Solution : en posant \(a=\dfrac{mE}{qB^2}\) :

\[\begin{cases}\vphantom{\dfrac{q}{m}} x(t) = a[\omega t-\sin(\omega t)]\\ y(t) = a[1-\cos(\omega t)]\\[1ex] z(t) = 0 \end{cases}\]

animation

Un peu d'optique/acoustique : \(\vphantom{a_a}\)caustiques de cercle

Rayons issus d'une source ponctuelle
se réfléchissant sur une surface circulaire

animation

Un micro unidirectionnel : le micro cardioïde


cardioïde		sous-cardioïde


hyper-cardioïde		sur-cardioïde

Rayons issus d'une source à l'infini
se réfléchissant sur une surface circulaire

animation

Un peu de magie : \(\vphantom{a_q}\)mélanges parfaits de cartes

Évolution de la première carte
lors de plusieurs mélanges consécutifs

1^er mélange

Un peu de mécanique : engrenages
Moteur Wankel

Un engrenage cylindrique intérieur :
l'épicycle de La Hire

Philippe de la Hire

(1640–1718)

Mathématicien, physicien,
astronome français

–––––––––

Chambre de combustion d'un moteur Wankel

Une chambre de combustion néphroïdale

Felix Heinrich Wankel

(1902–1988)

Ingénieur allemand


Mazda RX8	Mazda 787B

NSU Spider	Mercedes C111

Un peu d'astronomie : épicycles
\(\vphantom{a_a}\)Orbites planétaires

Épicycle

La planète se déplace
selon une trajectoire circulaire (épicycle)
Le centre de ce cercle tourne autour de la Terre
décrivant une autre trajectoire circulaire (déférent)

Paramétrisation :
cercle rotatif de rayon \(r\) (épicycle)
de centre évoluant sur un cercle de rayon \(R\) (déférent)

\(x(t)=R\cos(\Omega t)+r\cos(\omega t\!+\!\varphi)\)
\(y(t)=R\sin(\Omega t)+r\sin(\omega t\!+\!\varphi)\)

ou encore

\(z(t)=R\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Omega t}\hspace{0em} +\hspace{0em}r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t+\varphi)}\)

Orbite héliocentrique de la Lune

orbite héliocentrique Terre : \(z_T = R_T \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi t/T_T}\vphantom{\frac{a}{q}}\)
orbite héliocentrique Lune : \(z_L = R_T\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi t/T_T}+r_{\!\raise -0.5ex L}\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi t/T_T+\mathrm{i}2\pi t/t_L}\)

avec

rayon orbital Terre (autour du Soleil) : \(R_T = 149\, 597\, 887\) km
période de révolution Terre (autour du Soleil) : \(T_T = 365,25\) jours

rayon orbital Lune (autour de la Terre) : \(r_{\!\raise -0.5ex L} = 384\, 399\) km
période de révolution Lune (autour de la Terre) : \(t_L = 27,3\) jours

animation

Et si la lune était 10 fois plus éloignée de la terre…

animation

Et si la lune était 20 fois plus éloignée de la terre…

animation

Et si la lune était 50 fois plus éloignée de la terre…

animation

Orbite géocentrique de Mars

orbite héliocentrique Terre : \(z_T = R_T \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi t/T_T}\vphantom{\frac{a}{q}}\)
orbite héliocentrique Mars : \(z_M = R_M \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi t/T_M}\)

orbite géocentrique Soleil : \(z_S =-R_T \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi t/T_T}\vphantom{\frac{a}{q}}\)
orbite géocentrique Mars : \(z_M = R_M \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi t/T_M}-R_T \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi t/T_T}\)

avec

rayon orbital Terre (autour du Soleil) : \(R_T = 149\, 597\, 887\) km
période de révolution Terre (autour du Soleil) : \(T_T = 365,25\) jours

rayon orbital Mars (autour du Soleil) : \(R_M = 227\, 936\, 637\) km
période de révolution Mars (autour du Soleil) : \(T_M = 686,9\) jours

animation

Le système solaire

Planète	rayon orbital	période de révolution

Mercure	\(57\,909\,176\) km	\(87,9\) jours
Vénus	\(108\,208\,930\) km	\(224,7\) jours
Terre	\(149\,597\,887\) km	\(365,25\) jours
Mars	\(227\,936\,637\) km	\(686,9\) jours
Jupiter	\(778\,412\,027\) km	\(4\,335,3\) jours
Saturne	\(1\,421\,179\,772\) km	\(10\,757,7\) jours
Uranus	\(2\,876\,679\,082\) km	\(30\,799,1\) jours
Neptune	\(4\,503\,443\,661\) km	\(60\,224,9\) jours

Orbites héliocentriques
(en millions de km)

Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter,
Saturne, Uranus et Neptune autour du Soleil

Orbites géocentriques

Mercure

Mercure (par Cassini, 1708)

Mercure, Vénus

Mercure et Vénus (par Cassini, 1708)

Venus (par Cassini, 1708)

Mercure, Vénus, Mars

Mercure, Vénus, Mars, Jupiter

Mercure, Vénus, Mars, Jupiter, Saturne

Jupiter, Saturne

Jupiter et Saturne (par Cassini, 1708)

Jupiter et Saturne (par Ptolémée)

Claude Ptolémée

(100–168)

Astronome et astrologue grec

Mercure, Vénus, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus

Mercure, Vénus, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune

Satellites de Jupiter

Io, Europe, Ganymède, Callisto

Planète	rayon orbital	période de révolution

Io	\(421\,800\) km	\(1,8\) jours
Europe	\(671\,100\) km	\(3,5\) jours
Ganymède	\(1\,070\,400\) km	\(7,1\) jours
Callisto	\(1\,882\,700\) km	\(16,7\) jours