Autre cas

Aimé Lachal Suites récurrentes La racine carrée

V. Autre cas : la racine carrée

Exemple 5

\(\;\color{blue}f(x)\!=\!\dfrac{\lower 1ex 1}{2}\!\Big(x\!+\!\dfrac{\lower 1ex 2}{\raise 0.5ex x}\Big)\;\) \(\;u_0\!=\!0.6\;\)

Points fixes : \(\color{blue}\ell_1\!=\!\sqrt2\qquad \ell_2\!=\!\!-\sqrt2\)

Dérivée aux points fixes : \(\color{blue}f'(\ell_1)\!=\!f'(\ell_2)\!=\!0\)

Aperçu global

animation

stop

La suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\sqrt2\)

Généralisation : algorithme de Héron ou de Babylone

Racine carrée d'un nombre
Soit \(a>0.\)

\(\;f(x)\!=\!\dfrac{\lower 1ex 1}{2}\!\Big(x\!+\!\dfrac{\lower 1ex a}{\raise 0.5ex x}\Big)\;\) \(\;u_0>0\;\)

Quel que soit le choix du premier terme \(u_0,\)
la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\sqrt a.\)

Racine \(n^e\) d'un nombre
Soit \(a>0\) et \(n\!\in\!\mathbb{N}\backslash\!\{0,1\}.\)

\(\;f(x)\!=\!\dfrac{\lower 1ex 1}{n}\!\Big((n-1)x\!+\!\dfrac{\lower 1ex a}{x^{n-1}}\Big)\;\) \(\;u_0>0\;\)

Quel que soit le choix du premier terme \(u_0,\)
la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\sqrt[n] a.\)

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Points fixes :	\(\color{blue}\ell_1\!=\!\sqrt2\qquad \ell_2\!=\!\!-\sqrt2\)
Dérivée aux points fixes :	\(\color{blue}f'(\ell_1)\!=\!f'(\ell_2)\!=\!0\)