Dans ce travail nous rassemblons l'essentiel des résultats que nous avons obtenus sur le comportement de l'intégrale du mouvement brownien linéaire, et plus particulièrement sur les différentes distributions associées aux premiers instants de passage des trajectoires par des seuils fixés.

       Ainsi nous avons pu déterminer explicitement la loi conjointe du couple constitué du premier instant de passage du processus «primitive» par un point fixé et de la position occupée par le mouvement brownien à cet instant. On retrouve en particulier les lois marginales de ce couple découvertes par M. Goldman (1971) et Ju. P. Gor'kov (1975), ainsi que la loi du premier instant de retour à l'origine obtenue par H.P. McKean (1963). Ce résultat nous a permis de débloquer plusieurs problèmes ouverts. Nous obtenons ainsi les distributions de plusieurs fonctionnelles associées à l'intégrale du mouvement brownien : temps de passage successifs, dernier instant de passage, temps de séjour, excursions...

       Nous étudions ensuite la position de la primitive du mouvement brownien lorsque ce dernier atteint une barrière simple ou bilatère. Ce type de fonctionnelle apparaît naturellement dans certains problèmes d'optimisation étudiés par M. Lefèbvre (1989). une nouvelle approche nous a permis de retrouver et d'améliorer ses résultats.

       Nous explicitons finalement la distribution de certaines fonctionnelles relatives à l'intégrale du mouvement brownien lorsque cette dernière est soumise à une dérive parabolique ou cubique. On retrouve en particulier un résultat de P. Groeneboom (1989) concernant le mouvement brownien avec dérive parabolique.

       Une description de quelques problèmes restant encore ouverts termine ce travail.

Table des matières Introduction Chapitre I : Équation de Langevin Introduction Description de l'expérience physique Une solution de l'équation de Langevin : un processus gaussien stationnaire \((x_t)_{t\geqslant 0}\) Le nombre de zéros de \((x_t)_{t\geqslant 0}\) Chapitre II : Étude d'un cas particulier : l'intégrale du mouvement brownien Introduction La loi conjointe du couple \((\tau_a,B_{\tau_a})\) sous la probabilité \(\mathbb{P}_{(a,y)}\) Les lois des variables aléatoires \(\tau_a\) et \(B_{\tau_a}\) sous la probabilité \(\mathbb{P}_{(a,y)}\) La loi conjointe du couple \((\tau_a,B_{\tau_a})\) sous la probabilité \(\mathbb{P}_{(x,y)}\) Sur l'intégrale du mouvement brownien Sur le premier instant de passage de l'intégrale du mouvement brownien Sur les temps de passages successifs de l'intégrale du mouvement brownien Dernier instant de passage pour l'intégrale du mouvement brownien Sur les excursions de l'intégrale du mouvement brownien Les excursions de l'intégrale du mouvement brownien Les moments du temps de séjour de l'intégrale du mouvement brownien Les lois conjointes des couples \((\sigma_b,X_{\sigma_b})\) et \((\sigma_{ab},X_{\sigma_{ab}})\) sous la probabilité \(\mathbb{P}_{(x,y)}\) Un problème d'optimisation Extensions diverses À propos de l'intégrale du mouvement brownien Sur la distribution de certaines fonctionnelles de l'intégrale du mouvement brownien avec dérives parabolique ou cubique Chapitre III : Problèmes ouverts Premier instant d'atteinte d'une barrière bilatère \(\{a,b\}\) pour le processus \((X_t)_{t\geqslant 0}\) Premier instant de sortie d'un quadrant pour le processus \((X_t,B_t)_{t\geqslant 0}\) Temps de séjour du processus \((X_t)_{t\geqslant 0}\) Primitives itérées du mouvement brownien L'opérateur différentiel \(d^4/dx^4\)

Publications issues de la thèse (par ordre d'apparition) :

• Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 311 (1990), 461-464.
• Annales de l'Institut Henri Poincaré Section B 27(3) (1991), 385-405.
• Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 321 (1995), 903-908.
• Stochastic Processes and their Applications 49 (1994), 57-64.
• Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 314 (1992), 1053-1056.
• Journal of Applied Probability 30 (1993), 17-27.
• Communications on Pure and Applied Mathematics XLIX (1996), 1299-1338.

Eugène Boudin (1824-1898) – Rivage de Portrieux, 1874

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       L'ensemble de nos travaux est essentiellement consacré à l'étude de la primitive du mouvement brownien; plus particulièrement il est orienté vers la détermination explicite des distributions de probabilité de diverses fonctionnelles associées à ce processus. Les motivations et le contexte historique de cette étude, qui débute principalement avec les travaux de P. Langevin, H.P. McKean et M. Kac sont décrits en détail dans le chapitre d'introduction de notre thèse de Doctorat.

       Le point de départ de notre étude fut la détermination explicite de la loi du premier instant de passage \(\tau_a\) de l'intégrale du mouvement brownien \((X_t)_{t\ge0}\) par un seuil fixé \(a\), couplé avec la position du mouvement brownien \((B_t)_{t\ge0}\) à cet instant, lorsque le processus markovien bidimensionnel \((X_t,B_t)_{t\ge0}\) démarre d'un point quelconque \((x,y)\in\mathbb{R}^2\). Ce résultat qui résolvait un problème ouvert posé dans l'article A winding problem for a resonator driven by a white noise, datant de 1963, de H.P. McKean a permis de débloquer de nombreuses questions et a joué un rôle déterminant dans la suite de notre recherche.

       Pour citer un exemple significatif, la connaissance de la distribution conjointe du couple \((\tau_a,B_{\tau_a})\) nous a conduit à celle du dernier temps \(\tau_{a,T}^-\) d'atteinte du point \(a\) par le processus \((X_t)_{t\ge0}\), avant un instant fixé \(T\). Dès lors, l'écriture explicite de cette dernière loi permet d'en décrire le comportement asymptotique lorsque \(T\) tend vers zéro. Cette estimation a été, en particulier, exploitée par S. Aspandiiarov et J.-F. Le Gall au cours d'un travail en liaison avec l'étude de l'équation de Burgers.

       Par ailleurs, nous avons engagé une étude approfondie de diverses excursions du processus \((X_t,B_t)_{t\ge0}\), ayant toujours pour objectif la détermination exacte et explicite de la loi de certaines fonctionnelles. En faisant appel à la théorie générale des excursions d'un processus de Markov, nous avons pu exhiber par exemple la loi du quadruplet \((\tau_{a,T}^-,B_{\tau_{a,T}^-},\tau_{a,T}^+,B_{\tau_{a,T}^+})\) constitué des dernier et premier temps de passage par le seuil \(a\) respectivement postérieur et antérieur à l'instant déterministe \(T\), et des positions relatives du mouvement brownien. Nous en avions auparavant obtenu par une technique markovienne seulement quelques lois marginales. Une recherche portant sur l'aire d'une boucle d'excursion associée au processus \((X_t,B_t)_{t\ge0}\) nous a ensuite confrontés à la primitive du processus d'Ornstein-Uhlenbeck, dont nous avons également explicité quelques distributions afférentes.

       Plus généralement, les excursions de l'intégrale du mouvement brownien hors d'un point \(a\) (sans restriction temporelle à présent) font apparaître la suite des temps de visite successifs \((\mathbf{t}_n)_{n\ge 1}\) du point \(a\) par le processus \((X_t)_{t\ge0}\). Cette suite présente un comportement très différent de celui qui caractérise les excursions browniennes, cas pour lequel une telle suite ne peut être définie en vertu de l'irrégularité des trajectoires browniennes. En faisant appel à la transformation de Kontorovich-Lebedev nous avons pu obtenir pour la loi conjointe du couple \((\mathbf{t}_n,B_{\mathbf{t}_n})_{n\ge 1}\) une formule simple ne requérant pas l'usage des intégrales multiples.

       Divers problèmes demeurent actuellement non résolus. Notamment: la loi de probabilité du premier instant de sortie d'un intervalle borné \([a,b]\) de \(\mathbb{R}\) par la primitive du mouvement brownien reste inconnue; la distribution du temps séjourné dans \([a,b]\) par \((X_t)_{t\ge0}\) n'est toujours pas explicitée.

       D'autres questions, de nature géométrique, se posent également : les trajectoires du processus bidimensionnel \((X_t,B_t)_{t\ge0}\) comportent-elles des points multiples ? est-il possible de caractériser les ensembles polaires pour ce processus ? Quelle est l'exacte mesure de Hausdorff de la courbe \(t\mapsto(X_t,B_t)\) ?

Table des matières Introduction Sur l'intégrale du mouvement brownien Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 311 (1990), 461-464. Sur le premier instant de passage de l'intégrale du mouvement brownien Annales de l'Institut Henri Poincaré Section B 27(3) (1991), 385-405. L'intégrale du mouvement brownien Journal of Applied Probability 30 (1993), 17-27. Dernier instant de passage pour l'intégrale du mouvement brownien Stochastic Processes and their Applications 49 (1994), 57-64. Sur les excursions de l'intégrale du mouvement brownien Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 314 (1992), 1053-1056. Quelques applications de la théorie des excursions à l'intégrale du mouvement brownien Séminaire de Probabilités XXXVIII, Lecture Notes in Mathematics 1801 (2003), 109-195. Sur les temps de passages successifs de l'intégrale du mouvement brownien Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 321 (1995), 903-908. Les temps de passages successifs de l'intégrale du mouvement brownien Annales de l'Institut Henri Poincaré Section B 33(1) (1997), 1-36. Some martingales related to the integral of Brownian motion. Application to passage times and transience Stochastics and Stochastics Reports 58 (1996), 285-302. Sur la distribution de certaines fonctionnelles de l'intégrale du mouvement brownien avec dérives parabolique ou cubique Communications on Pure and Applied Mathematics XLIX (1996), 1299-1338. Quelques martingales associées à l'intégrale du processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Application à l'étude des premiers instants de passage Journal of Theoretical Probability 11(1) (1998), 127-156. Annexe: récapitulatif Bibliographie

Claude Monet (1840-1926) – Débâcle sur la Seine : les glaçons, 1880

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