Thèse

Thèse complète compréssée

Parties non compréssées :
Remerciements
Table des matières
Introduction
Chapitre 1 Préliminaires
Chapitre 2  Ensembles minimaux triviaux et groupes d'automorphismes
Chapitre 3 Sous-groupes infiniment définissables du groupe additif d'un corps séparablement clos
Bibliographie
 

     Cette thèse est constituée de deux parties indépendantes.

    Dans la première partie, nous étudions les groupes d'automorphismes d'ensembles minimaux triviaux (les ensembles minimaux ne possédant aucune structure algébrique).
Nous donnons une caractérisation d'un ensemble minimal à valence bornée (notion introduite par A.Ivanov) par ses groupes d'automorphismes et explicitons une construction générale  d'ensembles minimaux à valence bornée et d'ensembles minimaux triviaux non à valence bornée.  Nous montrons qu'un ensemble minimal trivial sans élément algébrique sur le vide, est déterminé par sa dimension et le triplet suivant : le groupe des automorphismes d'une composante, le sous-groupe des automorphismes forts et le fixateur d'un point. Par des constructions, nous vérifions que tout groupe profini est réalisé comme fixateur d'un point d'un ensemble minimal trivial.

    La seconde partie est consacrée à l'étude des sous-groupes minimaux définissables du groupe additif d'un corps séparablement clos (non algébriquement clos) de degré d'imperfection fini et de leurs endomorphismes définissables. Nous prouvons que tout endomorphisme (ou quasi-endomorphisme) définissable d'un sous-groupe minimal est la trace d'un endomorphisme (ou quasi-endomorphisme) définissable du groupe additif, et nous répondons à quelques questions ouvertes en construisant :
- un sous-groupe minimal localement modulaire dont le corps des
quasi-endomorphismes  n'est pas un corps de fractions de l'anneau des
endomorphismes,
- une infinité de sous-groupes minimaux deux à deux orthogonaux et oméga-catégoriques,
- des sous-groupes de rang U égal à oméga.
 
 

Abstract

    This thesis is composed of two independent parts.

    In the first part, we study the groups of automorphisms of trivial minimal sets (the minimal sets without algebraic structure). We give a characterization of a minimal set of bounded valency (notion introduced by A. Ivanov) through its groups of automorphisms and we explicit a general construction of minimal sets of bounded valency and of trivial minimal sets of unbounded valency. We prove that a trivial minimal set without algebraic element over the emptyset, is determined  by its dimension and the following triple : the group of automorphisms of one component, the subgroup of strong automorphisms and the stabiliser of a point. With some constructions, we show that any profinite group can be realized as a point stabiliser in a trivial minimal set.

    The second part is devoted to the study of the definable  minimal subgroups of the additive group of separably closed  (not algebraically closed) field of finite degree of imperfection and their definable
endomorphisms. We prove that any definable endomorphism (or quasi-endomorphism) of a minimal subgroup extends to a definable endomorphism (or quasi-endomorphism) of the additive group, and we answer some open questions by constructing :
- a locally modular minimal subgroup whose field of
quasi-endomorphisms is not a fraction field of the ring of endomorphisms,
- an infinity of pairwise orthogonal omega-categorical minimal subgroups,
- some subgroups of U-rank omega.