Dates : du 30 mai au 3 juin 2011
On sait depuis les travaux de Drinfeld-Sokolov (et avant eux Zakharov-Shabat) dans les années 80 que les algèbres
de lacets et algèbres de Lie affines jouent un rôle important dans l'étude des solitons et des systèmes intégrables.
Un des ingrédients majeurs de la théorie développée depuis, la propriété de factorisation dans les groupes de lacets
correspondants, a des relations profondes avec le problème de Riemann-Hilbert ainsi que certains espaces de modules
(G-fibrés, connexions), et par là avec les théories des champs en physique théorique. Par ailleurs, les algèbres de
lacets classiques et quantiques, ainsi que leurs généralisations diverses (algèbres de courant, algèbres toroïdales),
jouent un rôle croissant en théorie des représentations et apparaissent naturellement dans le programme de Langlands
géométrique.
La théorie des représentations de ces algèbres de dimension infinie fait fréquemment intervenir des opérateurs
vertex, inspirés des théories des champs. Le bon cadre mathématique qui a émergé ici est celui des algèbres vertex
(Borcherds) et chirales (Beilinson-Drinfeld). Un exemple est donné par le complexe de de Rham chiral d'une variété
algébrique, introduit par Malikov-Schechtman-Vaintrob, qui a une interprétation géométrique naturelle en termes de
l'espace des lacets formels de Kapranov-Vasserot. Ce complexe de de Rham chiral s'est avéré être un candidat sérieux
pour formuler mathématiquement certaines manifestations de la symétrie miroir en théorie des champs (Kapustin),
et de ses liens avec le programme de Langlands géométrique (Frenkel et al.).
Enfin, la topologie des espaces de lacets a connu récemmment un regain d'intérêt depuis les travaux de Chas-Sullivan en 2000, qui mettent en exergue
les riches structures algébriques sur l'homologie de l'espace des lacets
d'une variété orientée, ainsi que sur son quotient par l'action du cercle. Plus précisément, l'homologie de l'espace
des lacets est munie d'une structure d'algèbre BV, structure qu'on retrouve également sur la cohomologie d'une
algèbre vertex. En réalité, c'est une structure de théorie conforme homologique des champs qu'on obtient. Les liens
de cette ''topologie des cordes'' avec diverses théories des champs, notament la théorie symplectique des champs et
l'homologie de Floer, sont le sujet d'intenses recherches : par exemple, on sait aujourd'hui que l'homologie de Floer
d'un cotangent s'identifie à l'homologie de l'espace des lacets de la base. Développer ces liens implique parfois de
travailler à définir des structures à homotopie prêt sur les chaînes, comme dans le cas de la conjecture de Deligne
pour la cohomologie de Hochschild. Ici, la géométrie homotopique dérivée de Töen, Lurie et al. livre d'intéressantes
promesses : homotopiquement, l'homologie de Hochschild du faisceau structural d'une variété est le faisceau structural
de l'espace des lacets dérivé.
L'objectif de ce colloque est avant tout de faire se rencontrer les différentes communautés qui étudient les lacets
sous leurs différents aspects : algébrique, géométrique, topologique. Ensuite, on s'attachera à mettre en lumière
la richesse de ces objets étendus (lacets, cordes, mais aussi membranes), qui semblent prendre de plus en plus
d'importance en géométrie (nouveaux invariants, programme de Langlands géométrique), en algèbre (structures
algébriques supérieures, théorie des représentations), ou en physique mathématique (théories des champs, symétrie
miroir).
Des associateurs de Drinfeld à ceux de Kashiwara-Vergne et liens avec les invariants de noeuds généralisées
Dates : du 3 au 5 juin 2010
Vidéos des exposés (réalisées par Dror Bar Natan)
Journée Groupes Quantiques et Géométrie de Poisson
Date : 3 juin 2010
Rencontre des ANR GéSAQ et OBTH autour des invariants de Chern-Simons
Dates : du 1er au 4 septembre 2009
Rencontres mathématiques de Glanon : Homologie de Floer, catégories de Fukaya
Dates : du 6 au 10 juillet 2009
Journée Groupes Quantiques et Géométrie de Poisson
Date : 2 juin 2009
Conférence de départ de l'ANR
Dates : du 4 au 6 mai 2009
Notes d'exposés :
- Déformations homogènes - P. Polesello
(.pdf)
- Comparaison d'invariants quantiques - A. Virelizier
(.pdf)
- Espaces de lacets et paramètres de Langlands - G. Ginot
(.pdf)
