Bertrand RÉMY

[Service public d'enseignement supérieur et de recherche]


Institut Camille Jordan
UFR de mathématiques - UMR 5208 CNRS / Lyon 1
Bâtiment Jean Braconnier
21 rue Claude Bernard
Université Claude Bernard Lyon 1
69622 Villeurbanne cedex - FRANCE

E-mail: remy at math.univ-lyon1 point fr




ENSEIGNEMENTS DE L'ANNÉE ACADÉMIQUE 2011-2012


[Lien sur les archives de 2005-2006, de 2006-2007, de 2007-2008, de 2008-2009, de 2009-2010 et de 2010-2011]

[Ces archives sont utiles au moins pour les annales des examens... ]


 Cours de préparation à l'épreuve écrite de mathématiques générales à l'agrégation.

    Les jeudis, 10h15-12h15, consulter ADE pour la salle.

    Responsable de la préparation : Michel Cretin.

    Voici le site de la préparation à l'agrégation à Lyon 1.


Plan du "cours" :

I. Rappels et compléments d'algèbre linéaire

1. Espaces vectoriels et applications linéaires : généralités
    1A. Axiomes d'un espace vectoriel
    1B. Applications linéaires
    1C. Sous-espace vectoriel et espace vectoriel quotient
    1D. Dualité

2. Dimension finie
    2A. "Être de dimension finie"
    2B. Lemme d'échange
    2C. Dualité

3. Diagonalisation et trigonalisation : généralités
    3A. Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre
    3B. Endomorphismes diagonalisables
    3C. Endomorphismes trigonalisables

4. Polynôme minimal
    4A. Polynômes d'endomorphismes
    4B. Polynôme minimal
    4C. Lemme de décomposition en noyaux
    4D. Théorème de Cayley-Hamilton

5. Décomposition spectrale des endomorphismes
    5A. Noyaux itérés et sous-espaces caractéristiques
    5B. Décomposition spectrale algébrique
    5C. Décomposition de Dunford (ou Jordan-Chevalley)

6. Invariants de similitude
    6A. Sous-espaces cycliques et polynôme annulateur d'un vecteur
    6B. Endomorphismes cycliques
    6C. Invariants de similitude
    6D. Endomorphismes simples et irréductibles

Références : cours de Pierre Lavaurs et de Philippe Malbos, et surtout les livres d'exercices cités en cours


II. Structure de groupe et applications (surtout géométriques)

1. Théorie élémentaire des groupes
    1A. Axiomes, homomorphismes, sous-groupe, engendrement
    1B. Quotients, sous-groupes distingués, simplicité, produit semi-direct
    1C. Théorèmes de factorisation et d'isomorphisme
    1D. Action d'un groupe dans un ensemble

2. Groupes abéliens et généralisations
    2A. Point de vue des Z-modules
    2B. Groupes cycliques
    2C. Groupes nilpotents et résolubles

3. Groupes finis et groupes de permutations
    3A. Spécialisation des notions précédentes
    3B. Théorèmes de Sylow
    3C. Décomposition en cycles ; signature
    3D. Questions de simplicité et d'automorphismes  

Références : livre de Daniel Perrin, Bourbaki (pour II.2.C), Wikipédia (pour II.3.B), et surtout les livres d'exercices cités en cours


III. Structure d'anneaux et de corps, algèbres de polynômes et applications (surtout arithmétiques)

1. Théorie élémentaire des anneaux
    1A. Anneaux quotient, idéaux
    1B. Anneaux intègres et premiers
    1C. Idéaux maximaux
    1D. Zoologie élémentaire des anneaux

2. Algèbres de polynômes et de séries formelles ; corps des fractions associés
    2A. Constructions des séries formelles et des polynômes ; applications combinatoires
    2B. Corps des fractions associés
    2C. Arithmétique élémentaire et racines des polynômes
    2D. Fonctions symétriques

3. Corps et extensions
    3A. Éléments algébriques et transcendants
    3B. Corps de rupture et corps de décomposition
    3C. Irréductibilité des polynômes
    3D. Corps finis

4. Compléments sur les anneaux et les polynômes ; applications arithmétiques
    4A. Anneaux factoriels
    4B. Éléments entiers sur un anneau et applications
    4C. Polynômes cyclotomiques et applications
    4D. Résultant et discriminant

Références : livre de Daniel Perrin, livre de H. Cartan sur les fonctions holomorphes pour les séries formelles (tout début), et surtout les livres d'exercices cités en cours


IV. Formes bilinéaires et formes quadratiques. Endomorphismes des espaces euclidiens. Groupes orthogonaux et unitaires

1. Formes bilinéaires et formes quadratiques
    1A. En dimension quelconque
    1B. En dimension finie
    1C. Formes quadratiques
    1D. Orthogonalité et isotropie
    1E. Classification
    1F. Procédés d'orthogonalisation

2. Espaces préhilbertiens réels
    2A. Généralités, projection
    2B. Cas de la dimension finie : espaces euclidiens
    2C. Angles
    2D. Endomorphismes remarquables

3. Réductions des endomorphismes remarquables
    3A. Endomorphismes symétriques
    3B. Automorphismes orthogonaux
    3C. Endomorphismes normaux
    3D. Le cas complexe

4. Groupes orthogonaux et unitaires
    4A. Générateurs
    4B. Calcul du centre
    4C. Actions sur les sous-espaces et par conjugaison
    4D. Groupes dérivés
    4E. Simplicité
    4F. Automorphismes


V. Géométrie

1. Géométrie affine
    1A. Vocabulaire
    1B. Barycentre
    1C. Partie convexe
    1D. Variété linéaire affine
    1E. Applications affines et groupe affine
    1F. Bases et repères affines

2. Géométrie affine euclidienne
    2A. Espace affine euclidien
    2B. Retour aux barycentres
    2C. Variétés
    2D. Applications affines
    2E. Distance d'un point à un hyperplan

3. Géométrie euclidienne dans le plan et dans l'espace
    3A. Géométrie plane
    3B. Géométrie dans l'espace