Théorie des ensembles et théorie des modèles (M1)
printemps 2025–2026

Équipe pédagogique

  • Enseignants : Tuna Altınel et Todor Tsankov.

Avancement du cours

  • 14/01 Paradoxe de Russell. Les axiomes de \(\mathsf{ZFC}\). Relations, fonctions. Ordres bien fondés et bons ordres.
  • 21/01 Segments initiaux. Comparaison entre deux bons ordres. Ensembles transitifs. Ordinaux, propriétés de base. Le supremum d'un ensemble d'ordinaux. Ordinaux successeurs et ordinaux limites. Ordinal de Hartogs d'un ensemble. Tout bon ordre est isomorphe à un ordinal.
  • 28/01 Induction transfinie. Définition d'une fonction par induction (récursion) sur les ordinaux. Opérations arithmétiques sur les ordinaux et leurs propriétés : addition, multiplication, exponentiation. Axiome du choix, principe du bon ordre, lemme de Zorn et leur équivalence dans \(\mathsf{ZF}\).
  • 04/02 Notion de cardinalité. Théorème de Cantor–Bernstein. Théorème de Cantor. Cardinaux. Opérations arithmétiques : somme, produit, exponentiation. Les alephs.
  • 11/02 \(\kappa \cdot \kappa = \kappa\) pour tout \(\kappa\) infini. Sommes et produits infinis. Théorème de König. Cofinalité. Cardinaux réguliers et singuliers. Tout cardinal successeur est régulier.
  • 25/02 Lemme de König. Espaces polonais. Tout espace polonais parfait contient une partie homéomorphe à \(2^{\mathbf{N}}\). Rang de Cantor–Bendixson. L'hypothèse du continu pour les espaces polonais. Pour tout espace polonais \(X\) il existe une surjection continue \(\mathbf{N}^{\mathbf{N}} \to X\).
  • 11/03 Structures, langages, sous-structures, morphismes, isomorphismes partiels, la méthode de va-et-vient, formules du premier ordre.
  • 18/03 Satisfaction des formules, liens avec les morphismes, modèles, théories, théories complètes, axiomes, équivalence élémentaire, infini-équivalence implique équivalence élémentaire.
  • 25/03 Les extensions élémentaires, le test de Tarski, le théorème de Löwenheim–Skolem descendant, le théorème de compacité (la preuve sera donnée dans les semaines à venir), le théorème de Löwenheim–Skolem ascendant.
  • 01/04 La réalisation de familles finiment satisfaisables de formules, le théorème de l'extension élémentaire commune, la catégoricité et exemples de théories catégoriques et non catégoriques, ensembles définissables, le lien entre les ensembles définissables et les automorphismes, types.
  • 08/04 Les théories totalement catégoriques, les théories fortement minimales, les types et les automorphismes, l'élimination des quantificateurs, les théories modèle-complètes.

Calendrier et salles

  • Cours : les mercredis 14h–16h
  • TD : les mercredis 16h15–18h15
  • Salles : 14/01 21/01 29/04 Omega 01, 28/01 04/02 11/02 25/02 Darwin D84, 11/03 18/03 01/04 Darwin D78, 25/03 22/04 Forel 105, 08/04 Grignard 01
  • Partiel : le 04/03 à 14h dans la salle Darwin D84 Sujet Corrigé

Modalités de contrôle

  • Deux examens indépendants en théorie des ensembles et en théorie des modèles.
  • Note finale = la moyenne des deux.

Feuilles de TD

Contrôles des années antérieures

Bibliographie

  • Polycopié Théorie des ensembles (pdf).
  • Polycopié Théorie des modèles (pdf).
  • Karel Hrbacek et Thomas Jech, Introduction to set theory, Marcel Dekker, 1999.
  • Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles, Cassini, 1998.
  • Wilfrid Hodges, A shorter model theory, Cambridge University Press, 1997.