Histoires hédonistes de groupes et de géométries

Histoires hédonistes de groupes et de géométrie

Un livre en deux tomes de Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Éditions Calvage et Mounet
collection Mathématiques en devenir

Présentation du tome second

  • Quatrième de couverture (déplier)
  • Table des matières (pdf) et version html sur le site de Calvage et Mounet
  • Présentation du volume par l'éditeur

Errata du tome second

p. 21, proposition 3.2 (ii)
Lire : $d=\sum_{j=1}^k(i_j-j)$ (comme dans le théorème IV.1.3).
p. 81, preuve de la proposition 1.6, (ii)$\Rightarrow$(i)
Plus de détails : Par le lemme des noyaux, on se ramène à montrer que si le polynôme minimal de l'endomorphisme $u$ est irréductible, alors $u$ est semi-simple. Ceci provient du théorème 1.1 et du fait que le polynôme minimal est le facteur invariant $F_1$, multiple de tous les autres. La décomposition du théorème fournit alors une décomposition en sous-espace $u$-stables simples.
p. 82, paragraphe 2
Lire : Cette définition [...] ne reflète pas [...]
p. 102, exercice B.1, question 1.
Lire : $F_k = \prod_{\alpha_i\ge k}P_i^k$.
p. 340, remarque 1.8
Dans l'équation différentielle satisfaite par $\wp$, lire : $\bigl(\wp'\bigr)^2=4\wp^3-g_2\wp-g_3$.
p. 368, paragraphe 4
Lire : $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_2)=\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_2)\simeq\mathfrak{S}_3$ et $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_3)\simeq\mathfrak{A}_4$.
p. 401, vers la fin de la preuve
Lire : $\displaystyle e^2-1+\frac{1}{e^2-1}=\varepsilon\Bigl(\frac{\beta^2}{\alpha^2}+\frac{\alpha^2}{\beta^2}\Bigr)$.
p. 468, lemme C.9
L'énoncé devrait être : Soit $f$ une fonction centrale sur $G$ et soit $\rho\,:\,G\to\mathrm{GL}(V)$ une représentation. Soit \[\rho_f=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}f(g)\rho(g)\in\mathrm{End}_{\mathbb{C}}(V).\] Alors:
  • $\rho_f$ est un morphisme de représentations, i.e. $\rho_f\in\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V)$;
  • si $V_i$ est une sous-représentation irréductible de caractère $\chi_i$, alors $\rho_f$ se restreint en une homothétie de $V_i$ et son rapport est ${\langle\overline{\chi_i},f\rangle}/{\dim(V_i)}$.

La preuve n'est pas fondamentalement différente, mais il faut tout de même vérifier que $\rho_f$ stabilise $V_i$. C'est assuré par le fait que $\rho_f$ est une combinaison linéaire des $\rho(g)$ ($g\in G$), lesquels stabilisent $V_i$.
p. 485, preuve du corollaire B.12
La proposition « Comme $\pi_i$ est un morphisme de représentations » doit être remplacé par  «Comme $\pi_i$ est combinaison linéaire de $\rho(g)$ ($g\in G$) ». En effet, un morphisme de représentations envoie un sous-module sur un sous-module, mais en général, pas sur lui-même.
p. 505, exercice F.49
Dans toute la correction, il faut échanger $\phi$ et $\varepsilon\chi$.

Teasers et goodies

Configuration de Cremona-Richmond :
une explication détaillée par Marie Péronnier du dessin de couverture ; il s'agit d'une incarnation graphique de l'isomorphisme exceptionnel $\mathfrak{S}_6\simeq\mathrm{Sp}_4(\mathbb{F}_2)$.
Un tore pavé de sept hexagones : avant et après
Voici une incarnation (quelque peu hypnotique dans sa version animée) de l'isomorphisme exceptionnel $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)\simeq\mathrm{GL}_3(\mathbb{F}_2)$.

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