Histoires hédonistes de groupes et de géométrie

Un livre en deux tomes de Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Éditions Calvage et Mounet
collection Mathématiques en devenir

• tome premier (385 pages) publié en mars 2013,
• tome second (583 pages) publié en mars 2015.

Présentation du tome premier, édition 2

Le livre propose d'abord de revisiter les programmes de la licence jusqu'à l'agrégation à l'aune des actions de groupes, qui offrent un principe unificateur exceptionnel.

Ces actions sont enrichies de structures variées, motivées chaque fois pour leur apport simplificateur: topologie et géométrie différentielle. À l'aide d'un nombre volontairement réduit d'outils théoriques, un plan d'étude d'une action (par la description des orbites, d'invariants, de formes normales et de l'adhérence des orbites) est mené de façon systématique dans des situations nombreuses et variées, faisant un pont entre les plus familières (théorème du rang) et les plus sophistiquées (variétés de Schubert).

Présentation du livre par l'éditeur

Voici maintenant les errata de l'édition 2. (tome 1, puis tome 2)

Errata du tome premier édition 2

L'index a un problème récurrent: si l'index propose une page supérieure à 35, (en fait pour les chapitres de II à VI), il faut ajouter environ 8. Par exemple, si on va chercher formes bilinéaires, l'index nous dit d'aller page 278, il faut aller les chercher page 286, mais la formule $p\mapsto p+8$ peut parfois se révéler fausse, et doit être remplacée par $p\mapsto p+7$.

p 14. Remarque I-A.1.4

Dans le 1), il faut lire $(x.g).g'=x.(gg')$.

p 19. Exercice I-A.1.24

La référence manquante est le tome 2 d'H2G2, c'est-à-dire [7].

p 31. Exercice I-C-6

Il faut tout bonnement supprimer la question 2. Pour info: pour tout sous-espace $F$ de $\mathbb{K}^n$, l'ensemble des matrices $A$ de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ telles que $\ker(A)$ contient $F$ est un idéal à gauche de $\mathcal M_n(\mathbb K)$. Réciproquement, tout idéal à gauche de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ est de cette forme. On peut facilement deviner l'homologue de cette propriété pour les idéaux à droites!

p 40. Solution de l'exercice I-C-12 question 3)

Dans la correction, on dit que $G_x\subset N$ et donc $N=G$ car $G_x$ maximal. Cela provient du fait que $N$ ne peut être égal à $G_x$ car sinon $G_x$ serait distingué. Tous les stabilisateurs seraient de la forme $gG_xg^{-1}=G_x$ et le noyau de l'action serait $\cup_{y\in X} G_y=G_x$. Or, on sait que l'action est fidèle.

p 114. Solution de l'exercice II-F-30 question 1)

On choisit bien entendu $y$ dans $H$ et $y'$ dans $H'$. Ceci est possible car les images de $H$ et de $H'$ par la projection sur $E/(H\cap H')$ sont deux droites distinctes. Il faut ensuite remplacer, dans la correction, $H\cap H'\oplus y'$ par $H\cap H'\oplus a$ (comme cela était indiqué dans l'énoncé).

p 163. Preuve de la Proposition III-A.8 sur l'algorithme de Dunford

Il faut faire des modifications dans le dernier paragraphe en bas de la page: Prendre les polynôme $R$, $S$ et $T$ tels que $R(X)=X$, $S(X)=-P(X)T(X)$, avec $T(A_r)=P'(A_r)^{-1}$. Ce dernier polynôme existe car, par construction de $P$, $P'(A_r)$ est inversible et appartient à $\mathbb K[A_r]$. Merci à Sarah Letort pour avoir mis le doigt sur cette erreur et nous avoir apporté la solution sur un plateau.

Page 185. L'exercice D.17 présente des erreurs de copier-coller et au niveau de l'ordre des questions (certainement liées à "item" dans enumerate)

La question 5 devient la question 1. La question 6 devient la question 2. La question 1 devient la question 3. La question 2 devient la question 4. La question 3 est à supprimer car elle est copiée-collée pour 2) et 3) de l'énoncé. La question 4 devient la question 5. Un grand merci à Charles Séva pour avoir diagnostiqué ce problème!

Page 87. Chapitre IX. Il faut bien sur remplacer $M$ par $W$ en haut à gauche dans le diagramme commutatif.

p 289. Preuve du théorème XIII-A.1.14. Fin de la preuve de l'existence: le produit semi-direct est dans l'autre sens, c'est bien sûr le noyau qui est distingué. Même si au final, on est en abélien, et donc, ça n'a pas beaucoup d'importance.

p 343-344. Soluce de l'exercice XIII-E.33 3). Méthode alternative qui évite Vandermonde. On veut montrer que si $\alpha\in\Z[\omega]$, tel que $\zeta_k(\alpha)=\alpha$ pour tout $k$ premier avec $n$, alors $\alpha\in\Z$. Une méthode alternative consiste à dire ceci: soit $\alpha=P(\omega)$, où $P\in\mathbb Z[X]$ peut être choisi de degré $d<\varphi(n)$. L'égalité $\zeta_k(\alpha)=\alpha$ revient donc à dire $P(\omega^k)=\alpha$. Ainsi, $P(\omega^k)-\alpha=0$, et le polynôme $P-\alpha$, de degré $d$, possède $\varphi(n)$ racines: il est identiquement nul. Donc, $P$ est constant, forcément $\alpha$ est cette contante, qui est entière.

p 344. Soluce de l'exercice XIII-E.33 3). Ligne 5 et 6. C'est $i$ qui parcourt $\mathcal{P}_n$ et $j$ parcourt $[0,\varphi(n)-1]$.

p 376. Enoncé de l'exercice B.11

A deux endroits, il faut lire $(-1)^{n-2}$ à la place de $(-1)^{n-1}$.

p 381. Solution de l'exercice B.15 3)

Lire "Comme $\mathrm{exp}(D)$ est inversible $\exp(D)(\mathrm{exp}(N)-\mathrm{I}_n)=0$ implique $\mathrm{exp}(N)=\mathrm{I}_n$."

Errata du tome second édition 2

Addendum

La proposition II-4.2.2, page 58, affirme que si $H$ est un sous-groupe compact de $G$ avec $G/H$ compact, alors $G$ est compact. On se repose sur un exercice du livre de Mneimné et Testard. Mais l'exercice s'est révélé ardu! Voici une preuve qui devrait contenter les plus sceptiques.

Proposition. Soit $G$ un groupe topologique et $H$ un sous-groupe compact tel que $G/H$ est compact. Alors $G$ est compact.

Preuve: Soit $\pi: G\rightarrow G/H$ la projection canonique. Soit $U_i$, $i\in I$, un recouvrement ouvert de $G=\pi^{-1}(G/H)$.

1. Les fibres $gH$ de $\pi$ sont compactes car ce sont des translatées de $H$. Pour tout $gH$ de $G/H$ on peut recouvrir $\pi^{-1}(gH)$ par un nombre fini d'ouverts $U_i$. Pour $g$ fixé, soit $U(gH)$ la réunion de cette famille finie.

2. L'image de tout fermé par $\pi$ est fermé. En effet, on voit facilement que si $F$ est fermé dans $G$, la compacité de $H$ implique $FH$ fermé. Donc, $\pi(F)=\pi(FH)=G/H- \pi(G- FH)$ est fermé (*), car $\pi$ est, par construction, une application ouverte.

3. Il en résulte que $V(kH):=G/H - \pi(G- U(kH))$ est un ouvert de $G/H$ qui contient $kH$. Les $V(kH)$, $kH\in G/H$, forment ainsi un recouvrement de $G/H$. Comme $G/H$ est compact, on peut extraire un ensemble fini $J$ de $G/H$ tel que $V(kH)$, $kH\in J$, recouvre $G/H$.

4. Maintenant la réunion des $U(gH)$ quand $gH$ parcourt $J$ est une union finie d'ouverts extraits des $U_i$. Il reste à voir qu'elle recouvre tout $G$. Soit $k$ dans $G$, on a par hypothèse $\pi(k)\in V(k_0H)$, pour un $k_0$ dans $J$. Donc, $k\in\pi^{-1}(V(k_0H))$ et on a par construction l'inclusion $\pi^{-1}(V(k_0H))\subset U(k_0H)$, voir (*), ce qui prouve l'assertion.

(*) On a utilise sans le dire le lemme suivant.

Lemme: Soit $f:X->Y$ une application et $A\subset X$. Alors, $f^{-1}(Y-f(X-A))\subset A$ avec égalité si $A$ est $f$-saturé, ie $x\in A$ et $f(x)=f(x')$ implique $x'\in A$.

L'ellipse de Steiner

Concernant l'unicité de l'ellipse de Steiner (Exercice XI-A1 p. 202): voici quatre preuves pour enterrer définitivement le problème de l' unicité de l'ellipse de Steiner. Des preuves élégantes pour un enterrement de première classe.