Métiers de l'Enseignement, de l'Éducation et de la Formation
Préparation aux épreuves écrites du CAPES
Fiche 1 : Fonctions de variable réelle.
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Théorème de Rolle.
Théorème et inégalité des accroissements finis.
Formule de Taylor-Lagrange.
Théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème de point fixe, formule de la moyenne.
Applications : développement limités, limites, recherche de zéros, polynômes, études de suites.
Fiche 2 : Fonctions réelles de plusieurs variables.
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Limite, continuité de fonctions réelles Rp → Rq.
Théorème du point fixe.
Dérivée partielle, dérivée directionnelle et différentiabilité.
Fonctions de classe C1 - Caractérisation via les dérivées partielles.
Fonctions de classe C2 et dérivées d’ordre supérieur.
Cas des fonctions à valeurs réelles, théorème de Schwarz.
Gradient, Jacobienne, Hessienne.
Formules de Taylor.
Extrema, point critique.
Conditions du premier et second ordre.
Cas particulier de la dimension 2.
Fiche 3 : Suites et séries numériques.
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Suites : Limites de suites réelles et complexes, théorèmes d’existence
Monotonie, critères de convergence
Notion de suite extraite, suites adjacentes
Comparaison et comportement de suites de référence
Théorème de Bolzano Weierstrass
Applications : moyenne arithmético-géométrique, développement décimal d’un réel, suites géo-
métriques complexes, suites de Cauchy.
Séries : Critères essentiels de convergence, convergence absolue des séries, séries alternées
Règles de d’Alembert et de Cauchy, théorème d’Abel
Comparaison avec une intégrale
Séries géométriques, séries de Riemann, séries de Bertrand
Applications : convergence de séries, série harmonique, constante d’Euler, formule de Stirling.
Fiche 4 : Suites et séries de fonctions.
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Suites de fonctions : convergence simple et uniforme.
Séries de fonctions : convergence simple, uniforme, normale. Résultats de régularité pour les suites et séries. Critères de convergence (critère de Cauchy, théorème d’Abel). Applications : polynômes, théorème de Dini, fonction ζ de Riemann, séries alternées, séries trigonométriques.
Fiche 5 : Séries entières.
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Domaine de convergence et rayon de convergence des séries entières.
Critères de d’Alembert de de Cauchy.
Opérations sur les séries entières.
Fonctions développables en séries entières : notions de base, résultats d’existence.
Applications : fonctions trigonométriques et exponentielle, logarithme, résolution d’équations différentielles, somme des inverses des carrés.
Fiche 6 : Intégrale de Riemann.
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Sommes de Darboux, définition de l’intégrabilité au sens de Riemann, exemples.
Critères d’intégrabilité (continuité, monotonie, produit et limite uniforme).
Linéarité de l’intégrale, relation de Chasles.
Résultats de positivité.
Théorème fondamental du calcul intégral.
Éléments techniques : changement de variable, intégration par parties, formules de la moyenne,
théorème de Cauchy-Schwarz.
Applications : lien avec l’aire, seconde formule de la moyenne, intégrales de Wallis.
Fiche 6 bis : Intégrales généralisées.
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Notion d’intégrale généralisée : définitions et exemples.
Critères de comparaison pour les fonctions à valeurs positives (majoration, équivalence).
Intégrales de Riemann et de Bertrand.
Critères de convergence (convergence absolue, théorème d’Abel ...).
Applications à la convergence et au calcul exact d'intégrales.
Fiche 7 : Equations différentielles.
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Équations différentielles linéaires du premier ordre : équation homogène associée, structure de
l’ensemble des solutions, théorème de Cauchy-Lipschitz. Équations différentielles non linéaires du premier ordre : équations de Bernoulli et Riccati,
équations à variables séparées. Équations différentielles linéaires du second ordre : équation homogène, structure de l’ensemble
des solutions, théorème de Cauchy-Lipschitz. Cas des coefficients constants. Systèmes d’équations différentielles (ordre 1 et 2). Principes de résolution : méthode de variation de la constante, principe de superposition, re-
cherche de solutions particulières en fonction de l’expression du second membre.
Fiche 8 : Séries de Fourier.
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Coefficients de Fourier (forme réelle et complexe). Définition des sommes partielles de Fourier et série de Fourier. Résultats principaux sur les coefficients (lien entre forme complexe et réelle, parité, linéarité,
lien avec le produit scalaire hermitien). Théorèmes de convergence : Convergence simple (Dirichlet), formule de Parseval, convergence
normale. Application au calcul de sommes de séries numériques. Théorème de Féjer ; phénomène de Gibbs.
Épreuves des années précédentes :
Quelques liens et ressources utiles :
- Site du CAPES de Mathématiques UCBL : www
- Site officiel du jury du CAPES externe : www
- Calendrier des épreuves : 30 et 31 mars 2020
[publinet]
- Programme officiel du concours
- Rapports de jury 2019
