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S�minaire "Groupes, G�om�trie et Logique"


Ce s�minaire est financ� par l'Agence Nationale de Recherche dans le cadre du projet GGL

Objectif Lieux et HoraireOrganisateurs
Ce s�minaire a pour but
de rechercher les liens
entre ces trois domaines.
Jeudi � 16h00,
salle 112, B�timent Braconnier,
campus de la Doua de l'UCBL.
A partir du mois de janvier 2009,
les mercredis � 16h00, salle 112.
Tuna Altinel,
Eric Jaligot,
Julien Melleray,
Abderezak Ould Houcine,
Bertrand R�my.

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Archives 2004-2005

mercredi 8 juin, Elisabeth Bouscaren, Universit� Paris 11: Groupes pseudo-simples sur un corps s�parablement clos.

R�sum� : L'�tude d'un corps s�parablement clos L, du point de vue de la th�orie des mod�les, am�ne naturellement � regarder les groupes de la forme G(L), le groupe des points L-rationels de G, pour G un groupe alg�brique d�fini sur L. On s'int�ressera � la question de la caract�risation des groupes alg�briques G tels que G(L) est "d�finissablement simple", c'est-�-dire n'a aucun sous-groupe normal d�finissable propre non trivial. On montrera comment exprimer cette condition de mani�re purement alg�brique, et on expliquera comment on rejoint ainsi la question, abord�e par Tits dans ses cours du Coll�ge de France (91-92 et 92-93), de la "classification" des groupes pseudo-r�ductifs (ou L-r�ductifs)


mercredi 1 juin, Patrick Dehornoy, Universit� de Caen: Groupes automatiques, avec l'exemple des groupes de tresses et des groupes de Garside.

R�sum� : D�crits par Cannon et Thurston � la fin des ann�es 1980 et caract�ris�s par l'existence d'automates finis calculant en un certain sens la multiplication, les groupes automatiques sont une vaste famille de groupes ayant de bonnes propri�t�s combinatoires et g�om�triques, telles qu'un probl�me de mot r�soluble en temps quadratique, un probl�me de conjugaison r�soluble, ou une borne uniforme de distance entre les g�od�siques du graphe de Cayley. On montrera pourquoi les groupes de tresses d'Artin, et plus g�n�ralement les groupes de Garside, d�finis comme groupes de fractions de mono�des admettant des pgcd et ppcm, sont des groupes automatiques.

mercredi 25 mai, Franz Timmesfeld, University of Giessen, Germany: Rank one groups.

R�sum� : A rank one group is a group $X$, generated by two different nilpotent subgroups $A$ and $B$ satisfying: for each $1 \not= a \in A$ there exists a $b \in B$ with $A^b = B^a$ (and vice versa).
This definition is equivalent to a group with a split $BN$-pair of rank one and also to the Moufang sets introduced by J. Tits. They are so interesting, since the subgroups generated by two opposite root groups on some Moufang building are rank one groups.
Properties and classifications of rank one groups will be discussed and also a new connection with quadratic Jordan division algebras, discovered by Tom de Medts and R. Weiss.

mercredi 27 avril, Abderezak Ould Houcine, ICJ-Universit� Lyon 1: G�om�trie alg�brique sur les groupes et rangs mod�les-th�oriques.

R�sum� : Baumslag, Myasnikov et Remeslennikov ont d�velopp� la g�om�trie alg�brique sur les groupes en utilisant des notions semblables a celles de la g�om�trie alg�brique sur les corps alg�briquement clos. Un ensemble $V$ de $G^n$ est dit alg�brique s'il est l'ensemble de solutions d'un syst�me d'�quations � param�tres dans $G$. On peut d�finir d'une fa�on analogue une topologie de Zariski en d�cr�tant qu'un ensemble est ferm� s'il est l'intersection d'unions finis d'ensembles alg�briques. Dans ce cadre une notion importante est celle de groupe �quationnellement noeth�rien. Un groupe $G$ est dit �quationnellement noeth�rien si toute suite descendante d'ensembles alg�briques est stationnaire. Parmi les exemples connus de groupes �quationnellement noeth�riens il y a les groupes lin�aires, les groupes ab�liens, les groupes de type fini ab�lien-par-nilpotent. En particulier un mod�le de la th�orie universelle des groupes libres est �quationnellement noeth�rien.
On introduit une notion de dimension, le rang de Morley sans quantificateurs et on �tudie ses relations avec la topologie de Zariski sur les groupes. Dans un groupe �quationnellement noeth�rien un ensemble est constructible si et seulement s'il est d�finissable sans-quantificateur. Un groupe ayant une extension $\aleph_0$-satur� �quationnellement noeth�rienne est rang� par le rang de Morley sans-quantificateur. Le rang peut �tre un ordinal infini.
Ce rang s'est av�r� int�ressant pour �tudier les mod�les de la th�orie universelle des groupes libres. Comme application des liens trouv�s on a les r�sultas suivants : un mod�le non-ab�lien M de la th�orie universelle des groupes libres est connexe, M est existentiellement clos dans M*Z ( en particulier M et M*Z ont la m�me th�orie AE), tout sous-groupe d�finissable sans-quantificateur et propre de M est ab�lien.
Les groupes de rang 1, 2 ou 3 incluent les classes suivantes: - les sous-groupes de SL_2(K) - les sous-groupes de type fini d'un groupe de rang de Morley 3 (en particulier ceux d'un mauvais groupe) - les mod�les de la th�orie universelle des groupes libres. Cette liste de groupes connus motive l'�tude des groupes de petit rang.
Un autre probl�me est celui des �quations g�n�riques : Poizat avait pos� la question de savoir si dans un groupe de rang de Morley fini connexe, une �quation satisfaite g�n�riquement est partout satisfaite. On dit d'un groupe v�rifiant la propri�t� pr�c�dente qu'il est �quationnellement g�n�rique. Un lien avec les groupes �quationnellement noeth�riens est le suivant : un groupe connexe �quationnellement noeth�rien et de rang de Morley sans-quantificateur ordinal est �quationnellement g�n�rique. Inversement un groupe de rang de Morley fini, connexe et �quationnellement g�n�rique dont le centre est trivial est �quationnellement noeth�rien. En particulier pour un groupe simple de rang de Morley fini il y a �quivalence entre �quationnellement noeth�rien et �quationnellement g�n�rique.

mercredi 13 avril, Gabriel Sabbagh, Universit� Paris 7: Deux g�n�ralisations mod�les-th�oriques des structures finies.

R�sum� : On dit qu'une structure S finiment engendr�e est QFA (quasifiniment axiomatisable) s'il existe un �nonc� (du premier ordre) dont S est, � isomorphisme pr�s, le seul mod�le finiment engendr�. Cette notion est d�e � A.Nies. Exemples : l'anneau Z est QFA. Un groupe commutatif finiment engendr� QFA est n�cessairement fini. On dit qu'une structure S est pseudofinie si tout �nonc� (du premier ordre) vrai dans S est vrai dans une structure finie. Exemples : un anneau commutatif finiment engendr� pseudofini est n�cessairement fini. Un groupe commutatif finiment engendr� pseudofini est necessairement fini. On donnera quelques r�sultats et conjectures pour les anneaux et groupes finiment engendr�s QFA ou pseudofinis(une structure finiment engendr�e QFA et pseudofinie est evidemment finie) d�s � A.Khelif, A.Nies, F.Oger et l'auteur.
P.S.Cette conf�rence aurait sans doute p� �tre donn�e avec assez peu de changements il y a quarante ou cinquante ans. On indiquera un probl�me ouvert dont la solution ne semble pas accessible aux m�thodes existant � l'�poque.

mercredi 30 mars, Ian Chiswell, Queen Mary, University of London: Locally invariant orders on groups.

R�sum� : The idea of a locally invariant order on a group was introduced by D. Promislow. The class of groups having a locally invariant order is intermediate between the class of right orderable groups and the class of unique product groups. It is unknown if any of these classes coincide. Recent work of T. Delzant and S. Hair shows that certain groups are unique product groups by, in effect, showing they have a locally invariant order. This includes, for example, torsion-free Fuchsian groups. The class of groups having a locally invariant order has some interesting properties, for example, it is closed under free products and restricted direct products. It is unknown whether or not a tree-free group is right orderable, but it has a locally invariant order. The class of tree-free groups includes all torsion-free subgroups of SL2 (*Z), where *Z is an ultrapower of Z.

mercredi 16 mars, Diego Rattaggi, Universit� de Gen�ve: Un groupe simple, de pr�sentation finie, sans torsion.

R�sum� : Mon but est de pr�senter une construction explicite d`un groupe ayant les propri�t�s mentionn�es dans le titre et qui est r�alis� comme groupe fondamental d`un complexe carr� fini. De tels groupes ont �t� construits pour la premi�re fois par Burger et Mozes en 1997. Je vais utiliser leurs m�thodes et un plongement d`un groupe de Wise non-r�siduellement fini pour arriver au but.

mercredi 2 mars, Exceptionnellement pas de s�ance.

mercredi 16 f�vrier, Gregory Cherlin, Rutgers University-IGD : Polygones de Moufang.

R�sum� : Les polygones g�n�ralis�s sont un cas particulier des immeubles de Tits, mais en dimension deux. La condition de Moufang est une condition de transitivit� du groupe d'automorphisme, mis en �vidence par Ruth Moufang en 1932 dans le cas de plans projectifs. Un livre r�cent de Tits et Weiss donne la classification compl�te des polygones g�n�ralis� de Moufang, annonc� il y a bien longtemps par Tits, avec quelques divergences. Le r�sultat final est qu'il y a un petit nombre de structures alg�briques l�g�rement exotiques, qui classifient exactement les polygones de Moufang.

Cette classification comporte deux classifications distinctes. La premi�re, et l'essentielle, est la classification de types de structures associ�s aux polygones de Moufang. On peut donner des classifications plus explicites dans un deuxi�eme temps, en traitant chaque type individuellement. Par exemple, le travail de Moufang montre que les plans projectifs de Moufang correspondent � des corps gauches alternatifs (1932); le th�or�me de Bruck-Kleinfeld donne leur classification explicite (1951).

Je voudrais pr�senter quelques r�sultats tir�s du livre de Tits et Weiss. D'abord, l'�quivalence entre la condition de Moufang et la notion de suite de groupes de racines, bien qu'�l�mentaire, montre a priori que le probl�me de classification est purement alg�brique. Ensuite, je voudrais consid�rer des exemples typiques de structures alg�briques correspondant � des polygones de Moufang. Une question naturelle du point de vue de la th�orie de mod�les est l'�quivalence math�matique entre la structure alg�brique qui coordinatise un polygone, et le polygone lui-m�me. On peut exprimer cette �quivalence de plusieurs mani�res, et dans un cas particulier il s'av�re d�licat (ou m�me, avec les d�finitions les plus strictes, faux).



mercredi 2 f�vrier, Cornelia Drutu, Universit� des Sciences et Technologies de Lille I: Groupes relativement hyperboliques, c�nes asymptotiques, propri�t� DR.

R�sum� : Tout comme les groupes hyperboliques, les groupes relativement hyperboliques peuvent �tre caract�ris�es en termes de leurs c�nes asymptotiques : ceux-ci sont des espaces gradu�s sur des arbres, une notion qui g�n�ralise celle d'arbre r�el. A partir de cette caract�risation, on peut d�duire une d�finition des groupes relativement hyperboliques en termes de graphe de Cayley, des resultats de rigidit� quasi-isom�trique des groupes relativement hyperboliques, ainsi qu'une condition n�cessaire et suffisante pour qu'un groupe relativement hyperbolique ait la propri�t� de D�croissance Rapide (DR). Tous ces resultats ont �t� obtenus en collaboration avec Mark Sapir.

mercredi 26 janvier, Gilbert Levitt, Universit� de Caen: Espaces de d�formations d'arbres.

Expos� commun avec l'ENS Lyon
B�timent Braconnier, Salle 112


R�sum� : L'outre-espace est un espace contractile sur lequel agit le groupe des automorphismes d'un groupe libre. On expliquera g�om�triquement pourquoi il est contractile, et comment on peut le g�n�raliser.

mercredi 15 d�cembre, Damien Gaboriau, Ens-Lyon : Sur quelques invariants d'�quivalence orbitale.

R�sum� : Lorsqu'un groupe agit sur un espace, il d�finit une relation d'�quivalence ``�tre dans la m�me orbite''. Oublions l'action et le groupe pour ne retenir que la relation d'�quivalence, et demandons-nous : De quoi se souvient-elle ? Peut-on retrouver le groupe qui l'a produite ? Mieux encore, peut-on retrouver l'action ? Dans le cas o� une mesure finie est pr�serv�e, nous rappellerons quelques r�sultats classiques frappants et nous pr�senterons quelques nouveaux invariants. Ce sera l'occasion d'un petit parcours dans la zoologie des groupes discrets et d'une pr�sentation des nombres de Betti , qui sont des dimensions g�n�ralis�es au sens de von Neumann de certains espaces de Hilbert.

mercredi 8 d�cembre, Goulnara Arjantseva, Universit� de Gen�ve: Plongements uniformes dans un espace de Hilbert et la propri�t� A de Guoliang Yu.

R�sum� : La propri�t� A est une forme faible de moyennabilit� qui garantisse l'existence d'un plongement uniforme d'un espace m�trique dans un espace de Hilbert. Pour un groupe de type fini muni de la m�trique des mots, cette propri�t� a d'importantes applications � la conjecture de Novikov et la conjecture de Baum-Connes "coarse". Dans cet expos� je vais d'abord pr�senter des r�sultats connus sur le sujet. Ensuite je vais discuter les groupes de diagrammes dont un groupe de Richard Thompson est un repr�sentant typique. C'est un travail recent en collaboration avec V. Guba et M. Sapir.

mercredi 24 novembre, Francois Dahmani, Universit� Paul Sabatier, Toulouse: : Images de groupes dans un groupe relativement hyerbolique.

Exceptionnellement le s�minaire commence � 17h.

R�sum� : Les groupes relativement hyperboliques apparaissent comme des g�n�ralisations de groupes fondamentaux de vari�t�s hyperboliques de volume fini, mais non compactes. Des exemples important sont les groupes limites de Sela. On �tudie le nombre d'images possibles d'un groupe de pr�sentation finie donn�, dans un groupe relativement hyperbolique, � conjugaison pr�s. Si l'on ne consid�re que les morphismes qui ne se factorisent pas � travers certains scindements, nomm�s paraboliques accidentels, ce nombre est fini.

mercredi 17 novembre, Exceptionnellement pas de s�ance.

mercredi 3 novembre, A. Ould Houcine, IGD : Groupes valu�s et th�or�me de Kurosh-Neumann revisit�.

R�sum� : Dans le but d'axiomatiser l'argument de Nielsen sur les sous-groupes des groupes libres, R.C. Lyndon avait introduit des groupes �quip�s d'une fonction � valeurs dans N et qui v�rifie certains axiomes. Le but de l'expos� est de pr�senter certains des r�sultats de Lyndon et de Chiswell sur le sujet et de pr�senter aussi une g�n�ralisation du th�or�me de Neumann, sur les sous-groupes des produits libres amalgam�s, aux groupes valu�s ayant une forme normale.

mercredi 20 octobre, Gregory Cherlin, Rutgers University - IGD : Conjugaison des bons tores. Transparents

R�sum� : Nous d�montrons que les "bons" tores maximaux dans un groupe de rang de Morley fini sont conjugu�s. Ce r�sultat fournit une g�n�ralisation utile d'un th�or�me de conjugaison standard dans les groupes alg�briques.





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Th�me AGL
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S�minaire de th�orie des mod�les
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S�minaire Tripode
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Groupe de travail GGL
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Projet GGL
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