Séminaire "Groupes, Géométrie et Logique"

Exceptionnellement Mardi 27 juin, salle 100, à 16h30, Anand Pillay, University of Leeds : Forking in the free group.

Résumé: I discuss geometric-stability properties of the free group (in particular non CM-triviality) in the light of results announced by Sela and Bestvina-Feign.

Mercredi 14 juin, Julien MELLERAY, Université Paris 6 : L'espace d'Urysohn et son groupe d'isométries; liens avec la théorie des modèles.

Résumé: L'espace d'Urysohn, et son groupe d'isométries, apparaissent depuis une dizaine d'années comme des objets importants, au carrefour de l'analyse, de la logique et des probabilités. J'essaierai d'expliquer quelques uns de mes résultats sur la géométrie de cet espace et d'évoquer des directions de recherche possibles; j'essaierai aussi de mettre en lumière un lien avec la théorie des modèles (via la théorie de la logique continue pour les structures métriques développée par Ben-Yaacov, Berenstein, Henson et Usvyatsov), et comment on peut espérer celle-ci pour formuler des résultats sur l'espace d'Urysohn.

Mercredi 7 juin, Malik Talbi, ICJ-Lyon 1 : Une inégalité isopérimétrique pour les espaces $L_{\delta}$ et graphes modulaires.

Résumé: Les espaces $L_{\delta}$ sont des espaces métriques généralisant les espaces hyperboliques au sens de Gromov. Dans cet exposé, on donnera une inégalité isopérimétrique pour des groups quasiisométriques à de tels espaces améliorant un résultat de M. Elder puis on donnera une caractérisation locale des graphes $L_0$.

Mercredi 31 mai, Thierry Coulbois, Université Aix-Marseille III : Outils pour étudier les automorphismes des groupes libres: laminations et arbres réels.

Résumé: (travail commun avec A. Hilion et M. Lustig). L'étude du groupe des automorphismes (extérieurs) d'un groupe libre s'est beaucoup développé par analogie avec l'étude de l'action du "mapping class group" d'une surface sur l'espace de Teichmuller. Cela requiert de traduire des notions géométriques en termes combinatoires. Nous introduirons d'abord les outils classiques: le bord de Gromov des groupes libres, l'outre espace de Culler-Vogtmann et son bord, les réseaux ferroviaires de Bestvina-Haendel. Ensuite nous essayerons de définir les laminations et d'expliquer comment elles sont associées à l'action d'un groupe libre sur un arbre réel. Enfin nous évoquerons les résultats qui sont obtenus grace à ces laminations.

Mercredi 12 avril, François Dahmani , Université Paul Sabatier, Toulouse : Le problème d'isomorphie pour les groupes relativement hyperboliques.

Résumé: Le probleme d'isomorphie pour des groupes est le troisieme probleme posé par M. Dehn: il s'agit de trouver une procédure pour vérifier si deux groupes (dans une classe specifiée) donnés par présentations, sont isomorphes. En general, une telle procedure n'existe pas, et c'est une motivation pour trouver des procédures pour des classes les plus grandes possibles. En 1995, Z. Sela publia une solution pour les groupes hyperboliques sans torsion, et sans scindement essentiel au dessus d'un groupe cyclique, fondée sur la finitude de leur groupe d'automorphismes exterieurs. A l'aide d'améliorations dans l'étude d'équations et d'inéquations dans ces groupes, nous avons pu simplifier son approche, et la généraliser au cas des groupes relativement hyperboliques, sans torsion à paraboliques abéliens (sans condition de scindement). Cela englobe aussi la classe des groupes limites, traitée par Bumagin/Kharlampovich/Miasnikov, et cela donne une solution au problème d'homéomorphie des variétés hyperboliques de volume fini. (en collaboration avec Daniel Groves)

Mercredi 5 avril, Bernhard MUHLHERR , Université Libre de Bruxelles, Belgique : On Phan's Presentations of Chevalley groups.

Résumé: In 1977 Phan published two papers in which he considered a sort of twisted versions of the Curtis-Tits presentation for several finite Chevalley groups. These presentations turned out to be very useful in the classification of the finite simple groups. Motivated by this fact R. Gramlich, C. Hoffman and S. Shpectorov have initiated a `Phan program' in order to revise and generalize Phan's result to all classical groups. In my talk I will present a joint result with A. Devillers. It is an elementary criterion for the simple connectedness of a subset of a building. I will explain how this result can be used to extend the Phan program to the exceptional groups and - more generally - to 3-sphercial Kac-Moody-groups.

Mercredi 15 mars, Yves STALDER , Université de Neuchâtel : Limites des groupes de Baumslag-Solitar. Transparents

Résumé: L'ensemble des (classes d'équivalence de) groupes marqués peut être muni d'une topologie, dite de Cayley. L'exposé présentera une étude de points limites de la famille des groupes de Baumslag-Solitar pour cette topologie. Ces groupes sont donnés par les présentations

BS(m,n) = < a,b |  ab^m a^-1 = bⁿ >; où m et n sont des entiers non nuls.

On commence par identifier des suites convergentes (et des suites non convergentes) de groupes de Baumslag-Solitar, puis on donne des propriétés des limites obtenues (elles possèdent en particulier la propriété de Haagerup) grâce à un théorème de structure. On obtient également des présentations des limites, ainsi que des information sur la topologie de l'adhérence des groupes de Baumslag-Solitar. Les résultats présentés ont été en grande partie obtenus en collaboration avec Luc Guyot.

Jeudi 9 mars, Cornelia Drutu, Université de Lille I: Action d'un groupe sur un espace arboreal, scindements d'un groupe relativement hyperbolique.

Exceptionnellement l'exposé a eu lieu le Jeudi 9 mars à 17h, salle 112

Résumé : La notion d'espace arboreal generalise celle d'arbre reel. Plusieurs groupes ont des cones asymptotiques qui sont de tels espaces (les groupes relativement hyperboliques, la plupart des Mapping Class Group, des groupes fondamentaux des varietes compactes a courbure non-positive, certains groupes d'Artin a angles droits). D'autre part, beaucoup de questions sur les endomorphismes et automorphismes, plongements des groupes dans d'autres groupes, la resolution des equations sur des groupes conduisent a l'etude d'une action sur un cone asymptotique. Je vais presenter les resultats obtenus avec Mark Sapir sur l'action d'un groupe sur un espace arboreal. Nous y avons deduit des proprietes de scindement des groupes relativement hyperboliques avec un groupe d'automorphismes exterieurs infini, ou non-co-Hopfiens..

Mercredi 15 février, Frédéric Haglund, Université d'Orsay : Complexes Cubiques Spéciaux.

Exceptionnellement l'exposé a eu lieu à 14h30, salle 100.

Résumé : Un complexe cubique à courbure négative ou nulle possède des sous-complexes appelés hyperplans (tout comme le cube euclidien de dimension $n$ possède $n$ hyperplans médiateurs de ses arêtes). Si les hyperplans d'un complexe cubique compact interagissent d'une manière particulièrement simple, nous disons que le complexe cubique est spécial. Soit $\Gamma$ le groupe fondamental d'un complexe cubique spécial. Nous obtenons les résultats suivants :
- $\Gamma$ est linéaire, et même est sous-groupe de $SL(N,\Bbb Z)$ ;
- tous les sous-groupes quasi-convexes de $\Gamma$ sont intersections de sous-groupes d'indice fini.
D'autre part nous montrons que tous les groupes de Coxeter (de type fini) sont (virtuellement) spéciaux. Comme corollaire, tous les sous-groupes quasi-convexes des groupes de Coxeter Gromov-hyperboliques sont intersections de sous-groupes d'indice fini. Tout ce travail est en commun avec Daniel T. Wise.

Mercredi 08 février, Ashot Minasyan, Université de Genève : Profinite topology in negatively curved groups.

Résumé : The profinite topology on a group $G$ is defined by taking normal subgroups of finite index to be the basis of open neighborhoods of the identity. A subset $A$ of $G$ is called separable, if it is closed in this topology. It is not difficult to see that a subgroup $H \le G$ is separable if and only if it equals to an intersection of finite index subgroups. A group $G$ is called LERF if each finitely generated subgroup $H \le G$ is separable. Known examples of LERF groups include free groups, surface groups and certain 3-manifold groups. We observe that in the context of word hyperbolic groups, it is more natural to study a weaker notion: a hyperbolic group $G$ is said to be GFERF if every quasiconvex subgroup $H$ is separable in $G$. In this talk we shall discuss some of the recent results on this concept and its connections to other residual properties.

Mercredi 01 février, Vincent Guirardel, Université Paul Sabatier, Toulouse III : Proprietes de finitude homologique pour le groupe d'automorphismes d'un groupe limite.

Résumé : On etudie le groupe d'automorphismes exterieurs Out(G) d'un groupe limite G (au sens de Sela). On demontre qu'il a un sous-groupe d'indice fini ayant un espace classifiant fini (propriete VFL). Pour cela, on demontre que l'espace des scindements de G en produits libres est contractile via un flot defini par Skora. Lorsque G n'est pas decomposable en produit libre, on construit un scindement JSJ invariant par automorphismes.

Mercredi 25 janvier, Yves de Cornulier, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne : Groupes fortement bornés.

Exceptionnellement l'exposé a eu lieu à 14h30, salle 100

Résumé : un groupe est fortement borné si toute action par isométries sur un espace métrique est à orbites bornées. Cette définition est essentiellement due à G. Bergman, qui prouve que les groupes des permutations des ensembles infinis ont cette propriété. On montre également que si F est un groupe fini parfait et X est un ensemble infini, alors le produit F^X est fortement borné.

Mercredi 7 décembre, Adrien Deloro, Université de Paris 7 : Une variante abstraite de l'unipotence (pour la caractéristique nulle) et ses applications à l'identification de certains groupes algébriques.

Résumé : Travailler à la conjecture de Cherlin-Zil'ber sur les groupes de rang de Morley fini implique de savoir "faire apparaître" des corps dans les groupes. La notion classique d'unipotence offre une théorie maniable, mais seulement pour les corps de caractéristique positive.
Dans sa thèse de doctorat, Burdges a défini un analogue en caractéristique nulle. Cette unipotence est graduée (on est "plus ou moins" unipotent), moins puissante mais a rencontré de nombreuses applications, notamment un résultat d'identification de PSL2.

Mercredi 30 novembre, Fabio Zuddas, Université de Grenoble I : Entropie des groupes et actions sur les graphes .

Résumé : L'entropie d'un groupe finiment engendré G par rapport à un système des générateurs S est définie comme le taux de croissance exponentielle de la cardinalité des ensembles d'éléments de G qui peuvent etre écrits comme mots de longueur bornée (i.e. les "boules" dans G par rapport à la métrique des mots d_S). Deux questions ouvertes sur l'entropie sont:
(1) pour quelles classes de groupes existe-t-il un système des générateurs S_0 "minimal" tel que l'entropie de G par rapport à S_0 est inférieure ou égale aux entropies de G par rapport à tous les autres systèmes des générateurs?
(2) pour quelles classes de groupes existe-t-elle une minoration universelle sur l'entropie des groupes de la classe par rapport à tous les systèmes générateurs?
La question (2) est particulièrement intéressante pour la classe des groupes hyperboliques selon Gromov. Pour étudier ces deux questions et les relations entre elles, nous considérons un espace métrique X associé au couple (G, S) (le graphe de Cayley) et une action de G et de ses sous-groupes sur X. Nous décrivons une méthode (inspirée par les méthodes de Margulis en géométrie riemannienne) qui nous donne des conditions suffisantes, parmi lesquelles des bornes sur l'entropie de G, pour que un sous-groupe d'indice fini de G soit "loin" de l'élément neutre par rapport à la métrique d_S, ce qui entraine une majoration universelle sur la cardinalité de S. Cette majoration, si G admet aussi une controle sur la longueur des relations d'une presentation (par exemple, si G est hyperbolique selon Gromov), donne des résultats de finitude qui peuvent etre formulés en terme des questions (1) et (2) au-dessus.

English summary: The entropy of a finitely generated group G with respect to a generating set S is defined as the exponential growth rate of the cardinality of the sets of elements of G which can be written as words of bounded length (these are the "balls" of G with respect to the so-called word metric d_S). Two open problems about entropy ask:
(1) for which classes of groups G there exists a "minimal" generating set S_0 such that the entropy of G with respect to S_0 is less or equal to the entropies of G with respect to all other generating sets?
(2) for which classes of groups there exists a universal lower bound on the entropy of the groups belonging to the class with respect to all generating sets?
Question (2) is particularly interesting for the class of word-hyperbolic groups. In order to investigate both questions and relations between them, we consider a metric space X associated to the pair (G, S) (the so called Cayley graph) and consider an action of G and its subgroups on X. We'll describe a method (inspired by Margulis' methods in Riemannian geometry) which gives us sufficient conditions, among which bounds on the entropy of G, for a finite-index subgroup of G to be "far" from the identity with respect to the word-metric d_S, which in turn implies a universal bound on the cardinality of S. This bound, when G admits also a control on the bound of relations for a presentation (for example, when G is word-hyperbolic), yields finiteness results which can be formulated in terms of the questions (1) and (2) above.

Mercredi 23 novembre, Immanuel Halupczok, ICJ : Orbites sur la variété des drapeaux.

Résumé : Soit G un groupe algébrique, soit theta un automorphisme de G tel que theta² = id, et soit K le sous-groupe de G des éléments fixés par theta. On s'interesse aux orbites de K sur la variété des drapeaux G/B. Il existe un calcul combinatoire (qui a lieu dans le groupe de Weyl de G) qui permet d'analyser ces orbites. En fait, on peut, seulement en utilisant ce calcul, donner toute la liste des orbites (il y en a un nombre fini), et on peut aussi avoir quelques informations géométriques, par exemple: pour une orbite O donnée, quelles sont les autres orbites dans l'adhérence de O? La plus grande partie de l'exposé va parler de ce calcul combinatoire. A la fin, je vais essayer de donner une idée comment on peut, en utilisant le calcul, "comprendre" la catégorie des faisceau K-équivariant sur G/B.

Mercredi 2 novembre, Alexandre V. Borovik, University of Manchester : Black Box Groups and groups of finite Morley rank.

Résumé : The talk is a survey of several aspects of a rapidly developing branch of computational algebra - probabilistic recognition of the so-called black box groups. A `black box' is a device or an algorithm which produces (almost) uniformly distributed random elements from a given group; the principal problem is to recognise, in computationally feasible time, the composition factors of the group. At the present time, ``black box recognition'' is the only available approach to a natural question arising in many problems of computational algebra: given a few matrices of big dimension over a finite field, what kind of a group they generate? What is the group generated by several permutations on a large finite set? As I will mention in the talk, the very first step in the black box set-up, production of a representative sample of group elements, already involves some interesting mathematics: expander graphs, random walks and the (conjectural) Kazhdan property (T) for the group of automorphisms of the free groups. I will briefly discuss the relevant results by Lubotzky and Pak. Time permitting, I will outline another connection of black box groups with infinite group theory - with the Andrews-Curtis Congecture in algebraic topology. Another example, to be considered in the talk, is the probabilistic computation of Galois groups of integer polynomials (Davenport-Smith); here, the role of a black box is played by the Chebotarev Density Theorem. At the structural level, some recursive algorithms of black box group theory mimic Brauer's Programme in finite group theory: inductive proof of the Classification of Finite Simple Groups (CSFG) in terms of centralisers of involutions. However, the focus of the talk is the surprising discovery that some ideas of black box group theory can be applied in the classification of simple groups of finite Morley rank.

Mercredi 26 octobre, Bertrand Rémy, (ICJ-Lyon): Théorème du sous-groupe normal et cocycle d'induction pour les réseaux d'immeubles jumelés.

Résumé : Il s'agit d'un travail en commun avec U. Bader et Y. Shalom. La propriété du sous-groupe normal porte sur les groupes infinis : c'est la propriété selon laquelle tout sous-groupe normal d'un groupe donné est soit fini central, soit d'indice fini. Ainsi, quand un groupe de type fini est à centre trivial (c'est le cas d'un groupe de Kac-Moody adjoint sur un corps fini), la propriété dit simplement que tout quotient propre est fini. D'après un résultat de G. Margulis, les réseaux des groupes de Lie (archimédiens ou non) simples et de rang supérieur possèdent cette propriété. Plus généralement (Bader-Shalom), les réseaux irréductibles cocompacts des produits de groupes topologiques raisonnables possèdent la propriété du sous-groupe normal. J'expliquerai la stratégie de la preuve classique, et montrerai comment elle se généralise dans le contexte très général précédent. Les réseaux de Kac-Moody n'étant pas cocompacts, une difficulté supplémentaire intervient ; l'hypothèse de cocompacité doit alors être remplacée par une hypothèse d'intégrabilité d'un cocycle utilisé pour l'induction des représentations unitaires.

Mercredi 12 octobre, Yann Ollivier, (E.N.S-Lyon): Un panorama des groupes aléatoires.