Histoires hédonistes de groupes et de géométries

Histoires hédonistes de groupes et de géométrie

Un livre en deux tomes de Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Éditions Calvage et Mounet
collection Mathématiques en devenir

Présentation du tome premier

Le livre propose d'abord de revisiter les programmes de la licence jusqu'à l'agrégation à l'aune des actions de groupes, qui offrent un principe unificateur exceptionnel.
Ces actions sont enrichies de structures variées, motivées chaque fois pour leur apport simplificateur: topologie et géométrie différentielle. À l'aide d'un nombre volontairement réduit d'outils théoriques, un plan d'étude d'une action (par la description des orbites, d'invariants, de formes normales et de l'adhérence des orbites) est mené de façon systématique dans des situations nombreuses et variées, faisant un pont entre les plus familières (théorème du rang) et les plus sophistiquées (variétés de Schubert).
La combinatoire apparaît aussi, comme une version discrète de la géométrie sur les corps finis. Elle donne des applications aussi spectaculaires qu'inattendues (formule du triple produit de Jacobi comme «trace» de la théorie des matrices échelonnées, loi de réciprocité quadratique comme conséquence de la géométrie d'une quadrique finie...)

Présentation du livre par l'éditeur

Quelques propositions de thèmes issus du tome 1 pour les oraux de l'agrégation. Merci à Teddy Mignot (agrégatif en 2013) de nous avoir envoyé ce document précieux.

Voici maintenant les errata du tome 1, en espérant qu'une seconde édition permettra de corriger ces erreurs.

Errata du tome premier

Des errata de poids
p. 9, exercice 3.6
La formule proposée pour $\vert G\cdot\mathrm{I}_{m,n,r}\vert$ est fausse. Quoi qu'il en soit, en ce début de livre, il n'y a pas de formulation très illuminante autre que \[\vert G\cdot\mathrm{I}_{m,n,r}\vert=\frac{\vert\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\vert\cdot\vert\mathrm{GL}_m(\mathbb{K})\vert}{\vert\mathrm{Stab}_{\mathrm{I}_{m,n,r}}\vert}.\] On verra une formulation plus intéressante dans les exercices du chapitre IV du tome 2.
p. 21, exercice C.2.2
Une typo dans l'indication , il faut lire : $E_{i1}=E_{ii}E_{i1}$ et pas $E_{ii}=E_{i1}E_{11}$.
p. 34, ligne 2
Lire : Soit $W=(V_1\cap V_2)\cap(V_1\cap V_2)^{-1}$.
p. 54, remarque B6
La partie $A$ proposée n'est pas connexe. L'idée était de faire un « peigne » dont les dents s'accumulent près du point $(1,1)$, rendant ce point impossible à détacher du reste. Mais il manque la base du peigne, c'est-à-dire $[0,1]\times\{0\}$ qui rend connexe (par arcs) le complémentaire de $\{(1,1)\}$ dans $A$. Autrement dit, il faut lire : $$A = \Bigl([0,1]\times\{0\}\Bigr)\cup\Bigl(\bigl(\mathbb{Q} \cap \left[0,1\right[\bigr) \times [0,1] \Bigr) \cup \bigl\{(1,1)\bigr\}.$$
p. 64, premier tableau
Dans la classification des coniques à centre (avant-dernière ligne du premier tableau), l'ensemble des paramètres est erroné : lire $(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2$ avec $a\le b$.
p. 64, deuxième tableau
Dans la forme normale des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{K}^n$ (première ligne du deuxième tableau), il faut bien sûr lire $(x_i)\in\mathbb{K}^n$.
Dans la forme normale pour les matrices rectangulaires à multiplication à gauche par une matrice inversible près (troisième ligne du deuxième tableau), l'ensemble dans lequel varie $E$ est erroné : lire $E\in\mathcal{E}_{m,n}(\mathbb{K})$.
p. 68, exercice F.8.2(d)
L'indication est erronée, il faut lire : $\log(2)/\log(10)$ et pas $\log(2)/\log(9)$.
p. 88, preuve du lemme 2.2.1
A partir de « On a même », il faut remplacer sur deux lignes $K_{i+1}$ par $K_{i-1}$.
p. 132, fin de la « première preuve »
Il faut effacer purement et simplement « et $Q=\mathrm{I}_{m-1}$ » et « $P=\mathrm{I}_m$ et que ».

Un peu de détails supplémentaires. D'après la forme de $P$, la matrice $Q$ est inversible. Comme de plus, $F$ et $F'$ sont échelonnées réduites, la relation $QF=F'$ donne, par récurrence, l'égalité $F=F'$. Enfin, l'observation du coefficient d'indice $(1,j_k)$ de $E'$ donne $p_{1k}=0$ pour $2\le k\le r$, ce qui suffit pour vérifier que les premières lignes de $E$ et $E'$ sont égales, i.e. $L=L'$, d'où il résulte que $E=E'$.

Cela entraîne que la sous-matrice des $r$ premières colonnes de $P$ est ${}^t(\mathrm{I}_r\ 0_{(m-r)\times r})$. Si $E$ et $E'$ sont de rang $m$, cela signifie que $P=\mathrm{I}_m$.

p. 132, deuxième preuve
Dans la définition en mots de $j_1$, lire : « le plus petit indice d'une combinaison linéaire non nulle des lignes de $E$ ». Dans la formule qui suit, il faut donc ajouter la contrainte $\ell\ne0$ dans la définition de $j_1$ ; idem pour $j_2$ et $j_k$ juste en-dessous.
p. 159, corollaire 3.6
Dernière ligne du corollaire. Lire : pour tout $i$. Au lieu de : pour tout $(i,j)$.
p. 181, théorème B.3.4
Lire : $q(x)=\sum_{i=1}^px_i^2-\sum_{j=1}^{r-p}x_{p+j}^2$.
p. 185, preuve du théorème C.5.
« Les singletons $\{(x, x,\ldots, x)\}$ ont un stabilisateur trivial, toutes les autres orbites ont un stabilisateur non trivial. » Il faut faire commuter les « trivial » et « non trivial ».
p. 186, preuve du théorème C.5
Vu la matrice $A$, il aurait été préférable d'écrire $(y_1,z_1,y_2,z_2,\ldots,y_d,z_d,t)$ les éléments de $X'$.
p. 193, exercice D.17 B2)
La formule \[e_{n+i}= J\overline{e_i}\quad\quad \forall 1\leq i\leq n.\] doit être remplacée par \[e_{n+i}= -J\overline{e_i}\quad\quad \forall 1\leq i\leq n.\]
p. 213, preuve de la proposition A.2
Dans la définition du sous-espace $L$, il faut lire $U\mathrm{I}_{(p,q)} +\mathrm{I}_{(p,q)}{}^tU=0$. La transposée a été omise.
p. 229, § 1.4
La matrice $4\times4$ réelle de $\mathbf{j}$ devrait être l'opposée de celle qui est écrite.
p. 236, liste de groupes simples
Le groupe $\mathrm{PSO}(n)=\mathrm{PSO}_n(\mathbb{R})$ est simple si $n=3$ ou $n\ge5$ mais pas si $n=1$ (groupe trivial) ni $n=2$ (groupe abélien).
p. 258, preuve de la proposition 3.1
Il faut lire : $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_3)$, qui a quatre éléments (au lieu de trois...).
p. 262, proposition 4.1
Il faut lire : $H=\mathrm{PSL}(3,\mathbb{F}_4)=\mathrm{SL}(3,\mathbb{F}_4)/ U_3$, où $U_3$ désigne le sous-groupe (à trois éléments) des racines cubiques de l'unité de $\mathbb{F}_4$.
L'ordre de $H$ est $(4^3-1)(4^3-4)(4^3-4^2)/(4-1)\cdot3$ et l'on vérifie ainsi (pour de bon cette fois !) la coïncidence numérique.
p. 270, exemple 1.4 (v)
Lire $X\mapsto HX-XH$ au lieu de $H\mapsto HX-XH$.
p. 272, exercice 1.9 4.1
Lire $\mathfrak{o}_n = \mathcal{A}_n$ au lieu de $\mathfrak{o}_n = \mathcal{S}_n$.
p. 279, § A.5
Il est faux de dire que l'image de $\mathrm{d}F$ ne contient aucun des couples $(A,it)$ avec $A$ hermitienne et $t$ réel, puisque $\mathrm{d}F$ envoie le sous-espace des matrices anti-hermitiennes sur $\{0\}\times i\mathbb{R}$. Cependant, \(\mathrm{d}F\) n'est pas surjective puisque son image est l'hyperplan réel formé des couples \((A,iz)\) tels que \(\mathrm{tr}(A) = 2 \Re(z)\).
NB : L'application \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\to\mathcal{H}_n(\mathbb{C})\times\mathbb{R}\), \(g\mapsto(g^*g,\Im(\mathrm{tr}(g))\), est une submersion globale dont l'image réciproque de l'identité est le groupe \(\mathrm{SU}_n(\mathbb{C})\).
p. 264, exercice A.5
Nos excuses à Matthieu Romagny pour avoir écorché son prénom.
p. 306, lemme comparant $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{K})$ et $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{K})$
La dichotomie repose sur l'idée fausse que $\mathbb{K}^*/{\mathbb{K}^*}^2$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Cette propriété est vraie lorsque $\mathbb{K}$ est le corps des réels ou un corps fini mais fausse en général, par exemple pour le corps des rationnels ($\mathbb{Q}^*/{\mathbb{Q}^*}^2$ est d'ordre infini car il y a une infinité de nombres premiers).
On peut remplacer la dernière assertion du lemme par : Ainsi, on a $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})=\mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})$ ; $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ est d'indice $2$ dans $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{R})$ ; $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$ est d'indice $2$ dans $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_q)$ pour toute puissance $q$ d'un nombre premier.
p. 315, paragraphe 4
Lire, pour $q=4$ : $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_4)\simeq\mathfrak{A}_5$ (ce groupe est simple !).
p. 325, exercice C.10
Pour que la troisième question soit correcte, il faut supposer que $\mathbb{K}$ est algébriquement clos ou accepter que $a$ et $b$ puissent appartenir à la droite projective $\mathbb{P}^1(\mathbb{L})$, où $\mathbb{L}$ est une extension de degré $2$ de $\mathbb{K}$.
p. 361, remarque 3.3
Lire : « on montre facilement que le groupe des similitudes est exactement le normalisateur, dans le groupe affine, du groupe des isométries. »
p. 365, proposition 3.15
Le schéma du cube ne correspond pas aux conventions de la preuve. Dans la preuve, les grandes diagonales du cube sont les segments $[A_iB_i]$. Il faut donc remplacer $B_1$ par $B_3$, $B_2$ par $B_4$, $B_3$ par $B_1$, et $B_4$ par $B_2$.
p. 369, deuxième paragraphe de la démontration du corollaire 4.4
Comprendre : la face $F$ est l'enveloppe convexe de certains sommets de $X$.
p. 371, proposition A.3, démonstration de (ii)
Mélange de $O$ et $0$, de chiffres romains et arabes. Soit $u$ dans $C^*$. Par hypothèse, $\langle u,v\rangle\le1$ pour tout $v$ dans la boule de rayon $\varepsilon$. Pour $v$ positivement colinéaire à $u$ et de norme $\varepsilon/2$, on obtient : $\|u\|\le2/\varepsilon$. Ainsi, $C^*$ est inclus dans la boule de rayon $2/\varepsilon$, ce qui est un peu moins qu'annoncé mais suffisant.

Addendum

p. 68, exercice F.8.2(d)
On peut généraliser cette question et montrer, avec la même méthode, qu'il existe une puissance de $2$ dont les premiers chiffres sont un nombre arbitraire – par exemple un codage des Misérables.

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