Histoires hédonistes de groupes et de géométrie

Un livre en deux tomes de Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Éditions Calvage et Mounet
collection Mathématiques en devenir

• tome premier (385 pages) publié en mars 2013,
• tome second (583 pages) publié en mars 2015.

Présentation du tome second

• Quatrième de couverture (déplier)
  Le présent livre est le dernier volet, tant attendu, des « contes hédonistes » que nous retracent avec magie Philippe Caldero et Jérôme Germoni. Les lecteurs y sont transportés, comme sur un tapis volant, dans un parcours contemplatif et raisonné des interactions entre groupes et géométries. Nos deux capitaines ne réclament à leurs passagers aucun document de voyage, mais un simple bagage mathématique de niveau master.
  Ce second volume suit le même canevas que son prédécesseur, en proposant de nombreux thèmes où les groupes jouent un rôle déterminant. Une place de choix est accordée à la théorie des représentations qui fait désormais partie du programme de l'agrégation. Mais au-delà du cadre restrictif des programmes de concours, on découvrira quelques morceaux de bravoure, comme deux études topologiques des grassmanniennes, l'une élémentaire et l'autre à l'aide des coordonnées de Plücker, ou un survol de la théorie des carquois de Peter Gabriel. On y rencontre aussi la féconde théorie de McKay. Une des vocations de ce volume est, après tout, de pourvoir quelques outils de la recherche actuelle à l'intention des étudiants en master ou des professeurs du supérieur.
  Des solides platoniciens aux grassmanniennes, en passant par quelques territoires défrichés naguère par cet autre magicien que fut Harold Scott Coxeter, les lecteurs comprendront combien la géométrie a été et reste la source d'inspiration première de toutes ces belles mathématiques. Ils saisiront également comment la théorie des groupes est là pour donner du recul à l'apprenti mathématicien et l'aider à sortir de sa caverne de Platon.
• Table des matières (pdf) et version html sur le site de Calvage et Mounet
• Présentation du volume par l'éditeur

Errata du tome second

p. 21, proposition 3.2 (ii)

Lire : $d=\sum_{j=1}^k(i_j-j)$ (comme dans le théorème IV.1.3).

p. 81, preuve de la proposition 1.6, (ii)$\Rightarrow$(i)

Plus de détails : Par le lemme des noyaux, on se ramène à montrer que si le polynôme minimal de l'endomorphisme $u$ est irréductible, alors $u$ est semi-simple. Ceci provient du théorème 1.1 et du fait que le polynôme minimal est le facteur invariant $F_1$, multiple de tous les autres. La décomposition du théorème fournit alors une décomposition en sous-espace $u$-stables simples.

p. 82, paragraphe 2

Lire : Cette définition [...] ne reflète pas [...]

p. 102, exercice B.1, question 1.

Lire : $F_k = \prod_{\alpha_i\ge k}P_i^k$.

p. 340, remarque 1.8

Dans l'équation différentielle satisfaite par $\wp$, lire : $\bigl(\wp'\bigr)^2=4\wp^3-g_2\wp-g_3$.

p. 368, paragraphe 4

Lire : $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_2)=\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_2)\simeq\mathfrak{S}_3$ et $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_3)\simeq\mathfrak{A}_4$.

p. 401, vers la fin de la preuve

Lire : $\displaystyle e^2-1+\frac{1}{e^2-1}=\varepsilon\Bigl(\frac{\beta^2}{\alpha^2}+\frac{\alpha^2}{\beta^2}\Bigr)$.

p. 437, fin de la « deuxième preuve »

Il manque un argument. En effet, il peut arriver qu'une représentation $V$ soit définie sur $\mathbb{R}$ contienne une sous-représentation $W$ dont le caractère $\chi_W$ est à valeurs réelles, et que pourtant $W$ ne soit pas définie sur $\mathbb{R}$. Exemple : $H=\{\pm1,\pm\mathrm{i},\pm\mathrm{j},\pm\mathrm{k}\}$ et $V=\mathbb{R}1\oplus\mathbb{R}\mathrm{i}\oplus\mathbb{R}\mathrm{j}\oplus\mathbb{R}\mathrm{k}$ la représentation « standard » : elle est définie sur $\mathbb{R}$ et contient la représentation irréductible de dimension $2$ avec multiplicité $2$ ; pourtant, $V$ est irréductible sur $\mathbb{R}$ et $W$ n'est pas définie sur $\mathbb{R}$.
Dans le cas de la p. 437, cependant, tout va bien. Soit $G=\mathfrak{A}_5$ et $V$ l'espace de la représentation de permutation (réelle) de caractère $\Lambda$. On peut remarquer que le projecteur sur la composante isotypique de type $\chi$, c'est-à-dire $\rho_{\bar\chi}=\rho_\chi=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\chi(g)\rho_V(g)$, qui est une somme de matrices réelles à coefficients réels, a pour image un sous-espace réel de $V\simeq\mathbb{R}^6$, de dimension $3$ et stable par $G$.

p. 468, lemme C.9

L'énoncé devrait être : Soit $f$ une fonction centrale sur $G$ et soit $\rho\,:\,G\to\mathrm{GL}(V)$ une représentation. Soit \[\rho_f=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}f(g)\rho(g)\in\mathrm{End}_{\mathbb{C}}(V).\] Alors:

• $\rho_f$ est un morphisme de représentations, i.e. $\rho_f\in\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V)$;
• si $V_i$ est une sous-représentation irréductible de caractère $\chi_i$, alors $\rho_f$ se restreint en une homothétie de $V_i$ et son rapport est ${\langle\overline{\chi_i},f\rangle}/{\dim(V_i)}$.

La preuve n'est pas fondamentalement différente, mais il faut tout de même vérifier que $\rho_f$ stabilise $V_i$. C'est assuré par le fait que $\rho_f$ est une combinaison linéaire des $\rho(g)$ ($g\in G$), lesquels stabilisent $V_i$.

p. 485, preuve du corollaire B.12

La proposition « Comme $\pi_i$ est un morphisme de représentations » doit être remplacé par  «Comme $\pi_i$ est combinaison linéaire de $\rho(g)$ ($g\in G$) ». En effet, un morphisme de représentations envoie un sous-module sur un sous-module, mais en général, pas sur lui-même.

p. 505, exercice F.49

Dans toute la correction, il faut échanger $\phi$ et $\varepsilon\chi$.

Teasers et goodies

Configuration de Cremona-Richmond :

une explication détaillée par Marie Péronnier du dessin de couverture ; il s'agit d'une incarnation graphique de l'isomorphisme exceptionnel $\mathfrak{S}_6\simeq\mathrm{Sp}_4(\mathbb{F}_2)$.

Un tore pavé de sept hexagones : avant et après

Voici une incarnation (quelque peu hypnotique dans sa version animée) de l'isomorphisme exceptionnel $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)\simeq\mathrm{GL}_3(\mathbb{F}_2)$.