Probabilités, printemps 2014

Horaires

Cours + TD : le mardi de 8h00 à 13h15. La salle change régulièrement (consulter ADE). J'assure les cours ; les TD sont assurés par Yoann Dabrowski

Programme du cours

Le but de ce cours est de donner une introduction avancée aux probabilités et aux processus à temps discrets (martingales et chaînes de Markov).

Cours

Je compte suivre les notes de cours de S.Varadhan, disponibles ici. Une autre source est le polycopié de J.F. Le Gall, disponible ici (attention, le fichier est gros ; la partie traitée en cours correspond aux chapitres 11-12-13). Les élèves qui préfèrent réviser à l'aide d'un livre pourront consulter Probabilité de Barbe-Ledoux. Un célèbre recueil d'exercices corrigés est le livre de Baldi-Mazliak-Priouret disponible en nombreux exemplaires à la bibliothèque.

Avancement du cours

  • 1. Cours du 21 janvier. Rappels : formalisme des probabilités, inégalités élémentaires, indépendance [théorème de Kolmogorov pour justifier l'existence de suites i.i.d.], convergence faible et fonctions caractéristiques, lemmes de Borel-Cantelli, autres notions de convergence. Lois des grands nombres et théorème central limite.
  • 2. Cours du 28 janvier. Théorème de Radon-Nikodym (énoncé sans preuve). Conditionnement discret. Conditionnement d'une v.a. intégrable, puis d'une v.a. positive, par rapport à une sous-tribu. Propriétés élémentaires. Version "conditionnelle" du théorème de convergence monotone, du lemme de Fatou, du théorème de convergence dominée et de l'inégalité de Jensen.
  • 3. Cours du 4 février. Fin des propriétés de l'espérance conditionnelle. Notion de loi conditionnelle. Définition d'une chaîne de Markov, espace canonique.
  • 4. Cours du 11 février. Temps d'arrêt. Propriété de Markov simple. Propriété de Markov forte. Définitions : récurrence, transience, récurrence nulle vs positive.
  • 5. Cours du 18 février. Interprétation de la récurrence nulls vs positive d'un état x en termes de proportion du temps passé en x. Deux états qui communiquent ont même nature.
  • 6. Cours du 25 février. Compléments sur récurrence vs transience. Théorème de Polya (marche aléatoire sur Z^d). Défintion de mesure invariante et mesure reversible.
  • Pas de cours le 4 mars (vacances)
  • 7. Cours du 11 mars Existence et unicité des mesures invariantes. Notion de période d'un état et d'apériodicité.
  • 8. Cours du 18 mars Convergence vers la mesure invariante pour les chaînes apériodiques. Eva et Bob. Martingales : définitions et premiers exemples.
  • Examen partiel le 25 mars : sujet et corrigé.
  • Pas de cours le 1er avril (écrit du CAPES)
  • 9. Cours du 8 avril : Inégalités maximales pour les martingales (L^1 faible, L^p). Notion d'uniforme intégrabilité, propriétés et lien avec la compacité faible dans L^1. Toute martingale terminée converge dans L^1.
  • 10. Cours du 15 avril : Convergence p.s. des martingales. Décomposition de Doob d'une sous-martingale. Théorèmes d'arrêt.
  • 11. Cours du 22 avril : Définition et construction du mouvement brownien, propriétés élémentaires.
  • 12. Cours du 6 mai : Loi du 0/1 de Blumenthal. Propriétés de Markov simple et forte (admise) du mouvement brownien. Principe de réflexion. Structure de l'ensemble des zéros.
  • Séances de TD supplémentaires : mercredi 7 mai 10H15-11h45 en Nautibus TD13, mardi 13 mai 9H45-13H avec pause de 15min en salle habituelle, mercredi 14 mai 10H15-11h45 en Nautibus TD13.

    Fiches de TD

    Contact

    Je vous invite à consulter régulièrement cette page, mise à jour régulièrement, pour en savoir plus.

    N'hésitez pas à me contacter par e-mail, ni à venir me voir dans mon bureau (Braconnier, 227) dans lequel je suis fréquemment.

    mèl : aubrun at math . univ-lyon1 . fr

    Page du cours du printemps 2013 (avec annales des examens)

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