Probabilités, printemps 2013

Horaires

Cours + TD : le mardi de 8h00 à 13h15. La salle change régulièrement (consulter ADE). J'assure les cours ; les TD sont assurés par Yoann Dabrowski

Programme du cours

Le but de ce cours est de donner une introduction avancée aux probabilités (néanmoins, des rappels permettront à un élève ignorant tout des probabilités de suivre le cours).

Cours

Je compte suivre de près les notes de cours de S.Varadhan, disponibles ici. Une autre source est le polycopié de J.F. Le Gall, disponible ici (attention, le fichier est gros ; la partie traitée en cours correspond aux chapitres 11-12-13).

Avancement du cours

  • 1. Cours du 29 janvier. Rappels : formalisme des probabilités, inégalités élémentaires, indépendance [théorème de Kolmogorov pour justifier l'existence de suites i.i.d.], convergence faible et fonctions caractéristiques, lemmes de Borel-Cantelli, autres notions de convergence.
  • 2. Cours du 5 février. Fin des rappels : lois des grands nombres et théorème central limite. Mesures signées : définition, théorème de décomposition de Hahn-Jordan, théorème de Radon-Nikodym.
  • 3. Cours du 12 février. Espérance conditionnelle : définition, existence et propriétés élémentaires. Lois conditionnelles.
  • 4. Cours du 19 février. Chaînes de Markov : définition, existence (espace canonique), propriétés élémentaires. Temps d'arrêt, propriété de Markov.
  • 5. Cours du 26 février. Chaînes de Markov : récurrence, transience. Récurrence positive et récurrence nulle. Classifications des états. Cas où l'ensemble d'états est fini.
  • 6. Cours du 5 mars. Chaînes de Markov : mesures invariantes, existence et unicité (dans le cas d'une chaîne irréductible).
  • 7. Cours du 12 mars. Chaînes de Markov : apériodicité, comportement asymptotique. L'exemple de la marche aléatoire simple sur Z^d (récurrence ou transience).
  • 8. Cours du 19 mars. Martingales : définitions, premières propriétés. Inégalités de Doob (inégalité maximale, et version dans L^p, p>1). Toute martingale terminée converge dans L^1.
  • 9. Examen partiel le 26 mars (sujet, corrigé).
  • 10. Cours du 2 avril.. Uniforme intégrabilité : définition, premières propriétés, lien avec la compacité faible dans L^1. Convergence des martingales dans L^1, dans L^p (p>1) et presque sûrement.
  • 11. Cours du 9 avril. Martingales : décomposition de Doob, théorèmes d'arrêt. Rappels sur les familles gaussiennes, définition du mouvement brownien.
  • 12. Cours du 16 avril. Construction du mouvement brownien (méthode de Lévy).
  • 13. Cours du 30 avril. Propriétés du mouvement brownien (changement d'échelle, propriété de Markov, non-différentiabilité des trajectoires, ensemble des zéros)

    Voici le sujet de l'examen final ainsi qu'un corrigé.

    Fiches de TD

  • Fiche 1 : Formalisme des probabilités, lois des grands nombres et lemmes de Borel–Cantelli.
  • Fiche 2 : Autour du théorème central limite.
  • Fiche 3 : Espérance et loi conditionnelles.
  • Fiche 4 : Chaînes de Markov, temps d'arrêt.
  • Fiche 5 : Chaînes de Markov : mesures invariantes.
  • Fiche 6 : Chaînes de Markov, marches aléatoires et temps d'arrêt.
  • Fiche 7 : Martingales (1).
  • Fiche 8 : Martingales (2).
  • Fiche 9 : Mouvement brownien.

    Contact

    Je vous invite à consulter régulièrement cette page, mise à jour régulièrement, pour en savoir plus.

    N'hésitez pas à me contacter par e-mail, ni à venir me voir dans mon bureau (Braconnier, 227) dans lequel je suis fréquemment.

    mèl : aubrun at math . univ-lyon1 . fr

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