ICJ -  Séminaire de Théorie des Modèles
ARCHIVES 2004-2005


Programme

jeudi 30 juin 2005 à 10h, Olivier Frécon, Université de la Réunion: L'étude des sous-groupes de Carter dans les groupes de rang de Morley fini.

Résumé : Les sous-groupes de Carter sont bien compris dans les groupes résolubles de rang de Morley fini, en particulier ils existent et sont conjugués. Dans un groupe de rang de Morley fini quelconque, seule l'existence des sous-groupes de Carter est connue et il est conjecturé que ceux-ci sont toujours conjugués. Cette conjecture est démontrée dans deux cas particuliers: les groupes de rang de Morley fini dont tous les sous-groupes de Carter sont génériques (Eric Jaligot) et les groupes ordinaires, autrement dit pour les groupes de rang de Morley fini qui n'interprètent pas de mauvais corps et dont aucune section définissable n'est un mauvais groupe.
Après un rappel détaillé des résultats connus, nous démontrerons la conjugaison des sous-groupes de Carter dans les groupes ordinaires, puis nous discuterons d'éventuelles pistes pour généraliser ce résultat.

jeudi 9 juin 2005 à 10h45, Itai Ben-Yaacov, University of Madison: Un langage fonctionnel pour les belles paires (et uplets).

Résumé : Je vais présenter une approche alternative à la construction de la théorie des belles paires de modèles d'une théorie stable. Passant par la notion d'une présentation des bases canoniques on obtient un langage fonctionnel assez naturel pour les paires : si la théorie (inductive!) de toutes les paires dans ce langage a une modèle-compagne, c'est la theorie qu'on cherche et elle élimine en plus les quantificateurs ; sinon, c'est toujours une théorie de Robinson (à la Hrushovski).
Cette approche a quelques avantages, comparée avec l'addition d'un symbole de prédicat:
-- On obtient l'élimination des quantificateurs gratuitement.
-- Elle s'applique précisement de la même manière dans le cas d'une théorie stable de premier ordre que dans le cas d'un chat simple (epais).
-- Elle est assez flexible pour permettre de profiter de "circonstances favorables" qui peuvent se présenter : c'est le cas, par exemple, quand on considère la theorie des uplets d'espaces de probabilités, c.a.d. les espaces adaptés.

jeudi 9 juin 2005 à 9h30, Frank Wagner, ICJ: Compter dans des structures de rang fini.

Résumé : Je présenterai des résultats par Ehud Hrushovski et moi-même, généralisant des travaux de Larsen et Pink, qui donnent une borne supérieure pour une forme faible de rang dans une structure de rang définissable fini. Ceci s'applique en particulier aux corps de rang de Morley fini, et aux groupes algébriques.

jeudi 26 mai 2005 à 10h, Alexander Berenstein, University of Illinois: Representations of Groups as generic automorphisms of Hilbert spaces.

Abstract : We will prove that the class of generic structures among those consisting of a Hilbert space with a discrete group of automorphisms is axiomatizable by sentences in the setting of continuous model theory. When the group involved is amenable we characterize the generic structures using a theorem of Hulanicki about regular representations. We also discuss a model-theoretic characterization of discrete Kazhdan groups. All the resulting theories are stable.

jeudi 28 avril 2005 à 10h, Gregory Cherlin, ICJ - Rutgers University: Involutions dans les groupes de type dégénéré.

Résumé : Si ça tient jusqu'au séminaire, on va démontrer que les groupes de type dégénéré connexes n'ont pas d'involutions, et montrer, comme a suggéré notre gentil organisateur, que quelques questions ordoviciennes succombent finalement à la division borovicienne (par "type").

jeudi 14 avril 2005 à 10h, Eric Jaligot, Paris 7: Sous-groupes de Carter génériques.

Résumé : Il est maintenant connu que, dans tout groupe de rang de Morley fini, les sous-groupes de Carter génériques, i.e. dont la réunion des conjugués forme un sous-ensemble générique, sont génériquement disjoints et conjugués. J'expliquerai le lemme très simple dont cela découle.

jeudi 7 avril 2005 à 10h, Thomas Cluzeau, Université de Limoges: Algorithmique modulaire des équations différentielles linéaires.
(Dans le cadre d'une séance commune avec le séminaire de Théorie des nombres et Combinatoire.)

Résumé : Le but de ce travail est l'étude d'équations différentielles linéaires à coefficients dans C(x), où C est un corps de nombres, via des réductions modulo un nombre premier p.
Dans une première partie nous présenterons un algorithme de factorisation de systèmes différentiels à coefficients dans Fp(x), basé sur celui de M. van der Put. Nous détaillerons des comparaisons de stratégies et une analyse de leurs complexités. L'élément central pour factoriser en caractéristique p est la p-courbure. Nous exhiberons les liens entre cette p-courbure et l'eigenring et nous montrerons comment les utiliser pour obtenir un autre algorithme.
Une deuxième partie illustrera comment généraliser cet algorithme pour factoriser des systèmes d'équations aux dérivées partielles D-finis en caractéristique p.
Dans une troisième partie nous développerons l'idée de combiner des informations locales et modulaires pour obtenir des informations globales en caractéristique zéro. Nous nous intéresse\-rons pour ceci au problème du calcul de solutions exponentielles et nous montrerons comment cette approche permet de simplifier notablement les goulots combinatoires de l'algorithme usuel, et en particulier, évite de travailler dans d'inutilement grandes extensions algébriques du corps de base. Cette troisième partie constitue un travail en collaboration avec M. van Hoeij (Florida State University).

jeudi 17 mars 2005 à 10h, Sergei Starchenko, University of Notre Dame: On the topological degree of functions definable in o-minimal structures.

Abstract : This is a joint work with Y.Peterzil.
We work in an o-minimal expansion of a real closed field. Using piecewise smoothness of definable functions we define the topological degree for definable continuous functions.
Using this notion of the degree we obtain a new proof for the existence of torsion points in a definably compact group, and also the Brower fixed point theorem.

jeudi 10 mars 2005 à 11h, René David, Chambery: L'isomorphisme de Curry Howard.

Résumé : Après que, dans les années 30, Gentzen ait formalisé la notion de démonstration et montré que les règles de la déduction naturelle n'étaient pas contradictoires on aurait pu penser qu'il n'y avait plus rien à étudier en théorie de la démonstration.
Dans les années 70, il a été compris qu'il y avait un lien très fort (qu'on appelle maintenant l'isomorphisme de Curry Howard) entre la notion de démonstration et la notion de programme (au sens informatique du terme). Dans un premier temps ce lien n'existait que pour les démonstrations en logique intuitionniste (quand on n'utilise pas le raisonnement par l'absurde) puis, dans les années 90, on a pu étendre ce lien à la logique classique.
Cet exposé sera une introduction à la théorie de la démonstration « moderne ». Il parlera donc bien sûr de logique (classique et intuitionniste) mais aussi de lambda calcul (l'objet mathématique qui est « derrière » les programmes informatiques) et, un peu, de logique linéaire. J'évoquerai quelques problèmes mathématiques difficiles qui restent à résoudre et les applications très concrètes de tout cela.
Cet exposé ne nécessite, a priori, que très peu de connaissances & même en logique.


jeudi 3 mars 2005 à 10h, Sylvain Perifel, Ens-Lyon: Un résultat de transfert en complexité algébrique

Résumé : Dans l'esprit des classes de Valiant, on introduit une nouvelle classe de complexité algébrique, VPSPACE, concernant des familles de polynômes à coefficients entiers et à plusieurs indéterminées. On montre alors un "résultat de transfert" : sous l'hypothèse que les familles de polynômes VPSPACE sont calculables par circuits arithmétiques de taille polynomiale, on deduit que P et NP coïncident sur les nombres complexes.
On utilise pour cela le Nullstellensatz effectif (Kollar, 1988), qui permet de borner le degré des polynômes dans le théoreme des zéros de Hilbert. On utilise également l'élimination "efficace" des quantificateurs sur les nombres complexes (avec addition et multiplication), qui nous permet d'exprimer de maniere effective toute variété de C^n avec seulement n+1 polynômes, dès que l'on se restreint aux polynômes à coefficients entiers.

jeudi 24 février 2005 à 10h, Ivan Tomasic, Institut Camille Jordan: Le théorème de Cebotarev tordu.

Résumé : Hrushovski a montré une variante tordue de l'estimation de Lang-Weil qui permet de compter les points sur les schémas de différence au-dessus des corps munis des puissances du Frobenius. On va résoudre le problème de comptage dans le cadre des revêtements de Galois des schémas de différence. Ainsi on peut estimer le nombre de points sur les ensembles définissables au-dessus des corps avec Frobenius. On développe la théorie du groupe fondamental étale et la théorie de cohomologie étale des schémas de différence.

jeudi 17 février 2005 à 10h, Emmanuel Jeandel, Ens-Lyon: Calculs sur les groupes algébriques.

Résumé : Nous nous intéressons ici à des calculs sur des groupes algébriques donnés par générateurs.
On présentera un premier algorithme qui calcule, étant donné des matrices X_1 ... X_n, le groupe algébrique engendré par ces matrices. Les techniques utilisées sont principalement des techniques de variétés algébriques (dimension, composantes irréductibles).
Si le temps le permet, on parlera ensuite d'un problème plus précis : Etant donné un groupe G, décider si le groupe engendré par les matrices X_1 ... X_n est Zariski-dense dans G. On montrera que si G est réductif, il existe un algorithme polynomial qui répond à la question. Les techniques utilisées seront ici plus orientées groupes de Lie et algèbres de Lie.

jeudi 10 février 2005 à 10h, Alexandre Rambaud, Paris 7: O-minimalité, élimination des quantificateurs et quasi-analycité.

Résumé : Ces dernières années, de nombreux résultats concernant l'étude des classes de fonctions réelles restreintes ont été obtenus, notamment par van den Dries, Rolin, Speissegger... Le but de l'exposé est de présenter une généralisation de l'élimination des quantificateurs dans la plupart des classes de fonctions quasi-analytiques restreintes. Le procédé employé permet aussi de désingulariser de manière "effective" les courbes considérées.

jeudi 27 janvier 2005 à 10h, Jeff Burdges, Birmingham: Groupes simples minimaux ayant un sous-groupe fortement inclus II.

Abstract : This is part two of last week's seminar on minimal simple groups of finite Morley rank of odd type with strongly embedded subgroups. We shall discuss Sylow theory for p = 0, the analysis of nonabelian intersections of Borel subgroups, and the role these two topics play in the main theorem of last week.

jeudi 20 janvier 2005 à 10h, Eric Jaligot, Paris 7: Groupes simples minimaux ayant un sous-groupe fortement inclus I.

Résumé : Cet exposé est le premier d'une série de deux sur les groupes simples minimaux de rang de Morley fini de type impair ayant un sous-groupe fortement inclus. Le théorème principal est que le rang de Prüfer d'un tel groupe est 1, ce qui donne une borne absolue (2) sur le rang de Prüfer d'un contrexemple minimal à la conjecture de Cherlin-Zilber. Je donnerai une idée de la preuve dans des cas simples, notamment lorsque certaines intersections de sous-groupes de Borel sont abéliennes. Le cas général sera traité dans le deuxieme exposé par Jeff Burdges.

jeudi 13 janvier 2005 à 10h, Martin Hils, Lyon I: Actions semi-libres des groupes libres et univers.

Résumé : Récemment, Bruno Poizat a introduit la notion d'univers en théorie des modelès. Dans le "monde des univers", on peut reposer beaucoup de questions bien connues de la théorie des modèles classique, comme par exemple des questions de (non-)classification. Tandis que des théorèmes de non-classification ainsi que le théorème de Morley restent valables dans le nouveau contexte, la situation est plus difficile pour un analogue possible du théorème de Baldwin-Lachlan (c'est une des questions posées par Poizat dans son article sur les univers).
Nous étudions les univers semblables à l'univers associé à l'action libre d'un groupe G (infini, et finiment engendré en général). Il s'avère que l'on peut décrire ces univers d'une manière suffisamment concrète pour répondre (dans des cas importants) aux questions du type : est-ce que l'action libre est omniprésente? est-elle classifiante? Des propriétés comme la moyennabilité de G ou le nombre de bouts de G permettent de donner quelques résultats généraux. Finalement, nous donnons la classification des univers dénombrables semblables à une action libre du groupe libre à n générateurs F(n) (pour n un entier ou égal à $\omega$). Quand n est fini et supérieur à 1, cela nous donne un contre-exemple au théorème de Baldwin-Lachlan. Plus précisément, les univers forment une chaîne du type $Z\cup\{\infty\}$

jeudi 6 janvier 2005 à 10h, Immanuel Halupczok, Freiburg: La philosophie de Langlands locale.

Résumé : D'après la "philosophie de Langlands locale", pour un corps local K il y a une correspondence bijective entre les représentations de K* et les homomorphismes de G dans C*, où G est "à peu près" le groupe de Galois absolu de K. Je vais expliquer cette correspondance et des généralisations et donner des exemples. S'il me reste du temps, je vais montrer comment on peut obtenir, pour un groupe algébrique G et un sous-groupe K, les orbites de K sur la variété des drapeaux G/B. (On verra ce que ça a à faire avec la première partie de l'exposé.)

jeudi 16 décembre à 10h15, Yerulan Mustafin, IGD : Sous-groupes non-résolubles et superstables de PSL(2,K).

Résumé : C'est la suite de l'exposé "Sous-groupes superstables de PSL(2,K)" que j'ai fait au mois de mai. Maintenant nous démontrerons le résultat plus fort suivant : Si K est un corps algebriqument clos, tout sous-groupe G infini, non-résoluble et superstable de PSL(2,K) est conjugué de PSL(2,k), où k est un sous-corps algebriquement clos de K . Un de ses corollaires : Un mauvais groupe de rang trois n'est pas linéaire. Cette recherche a été faite en collaboration avec Bruno Poizat.

jeudi 9 décembre à 10h15, Rémi Soufflet, IGD : A propos d'une conjecture de van den Dries et Miller

Résumé : Soit X l'extension o-minimale des réels par les fonctions analytiques restreintes et les fonctions puissances à exposants réels, et soit LE l'extension o-minimale des réels par les fonctions analyiques restreintes et la fonction exponentielle. C'est évidemment une extension de X. Van den Dries et Miller ont conjecturé qu'il n'existe pas de structure o-minimale intermédiaire entre X et LE. Nous démontrerons un résultat partiel en ce sens : si A est intermédiaire alors ses fonctions d'une variables sont celles de X. Nous utiliserons pour cela l'existence de théorèmes de préparation pour ces classes de fonctions.

jeudi 2 décembre à 10h15, Ivan Tomasic, IGD : Constructible sheaves and definability

Abstract : We will study the relationship between the algebraic-geometric results on constructible sheaves and the consequences of the constructibilty related to definability over finite and pseudofinite fields. In particular, we will give a short and much more conceptual version of the results of Chatzidakis, van den Dries and Macintyre regarding estimates for definable sets over finite fields.

jeudi 25 novembre à 10h15, Ronald Bustamante-Medina, Paris 7 : Théorie des modèles des corps différentielment clos avec un automorphisme générique

Résumé : E. Hrushovski a montré que, dans le cas de caractéristique zéro, la théorie des corps différentiels des différences a une modèle-compagne, notée DCFA. On va donner une axiomatisation pour DCFA et mentioner quelques propriétés comme la description des complétions et de la clôture algébrique, la relation d'indépendence, la supersimplicité et l'élimination des imaginaires. En suite on va voir certains propriétés sur le corps fixe et le corps des constantes d'un modèle de DCFA. Finalement on parlera du rang SU et de la dichotomie.

jeudi 18 novembre, Franck Benoist, Paris 7 : Théorie des modèles des corps munis d'une dérivation de Hasse

Résumé : Nous décrirons les modèle-complétions des théories des corps munis d'une dérivation de Hasse de caractéristique quelconque fixée. Nous donnerons ensuite une généralisation des notions de la géométrie algébrique dans ces structures, ainsi que quelques éléments pour comprendre la structure supplémentaire des objets de la géométrie algébrique (principalement les groupes algébriques) apportée par la dérivation de Hasse.

jeudi 4 novembre, Frank Wagner, IGD : Groupes sous-simples

Résumé : Je définis une notion de générique pour les sous-groupes quelconques d'un groupe interprétable dans une théorie simple, et montrerai qu'un type générique pour un tel groupe est générique dans le plus petit sur-groupe hyperdéfinissable (la clôture définissable). La clôture définissable additive, multiplicative, et corporelle d'un sous-corps quelconque d'un corps simple coincident à indice borné près.

jeudi 28 octobre, Thomas Blossier, IGD : Un type minimal mince non très mince.

Résumé : Un type dans un corps séparablement clos est mince si le corps premier au dessus d'une de ses réalisations est de degré de transcendance fini. Ces types apparaissent naturellement dans le contexte des groupes algébriques définies sur un corps séparablement clos.
Récemment Anand Pillay et Martin Ziegler ont introduit la notion de types très minces. Ils ont donné un exemple de type mince non très mince qui est de rang U égal à 2 et ont posé la question de l'existence d'un type mince non très mince de rang U égal à 1. Avec Krzysztof Krupinski, nous avons répondu positivement à cette question. J'expliquerai la construction d'un tel type.

jeudi 21 octobre, Gregory Cherlin, Rutgers University - IGD : Groups of degenerate type à la lumière de Luminy.

Résumé : Peu est connu sur la structure des groupes simples de rang de Morley fini dont les 2-sous-groupes de Sylow sont finis. Pendant le congrès à Luminy de nouvelles idées ont émergé. En particulier, le résultat suivant semble être vrai: le 2-rang d'un groupe minimal connexe et simple de rang de Morley fini avec des 2-sous-groupes de Sylow finis et nontriviaux est deux. Par ailleurs, un théorème d'engendrement concernant les actions des 4-groupes sur des groupes sans involution suggère de nouvelles possibilités pour l'étude des groupes de type impair.

Abstract : Relatively little is known about the structure of simple groups of finite Morley rank with finite Sylow subgroups. During the Luminy conference some new ideas emerged. In particular, the following seems to hold: a minimal connected simple group of finite Morley rank with a finite and nontrivial Sylow 2-subgroup has 2-rank exactly two. In another direction, a generation theorem for actions of four-groups on groups without involutions hints at new possibilities for the study of groups of odd type.

jeudi 14 octobre, Abderrezak Ould-Houcine, IGD : Sur les groupes CSA superstables.
Transparents

Résumé : Je démontrerais qu'un groupe CSA non-abélien superstable a un sous-groupe définissable simple infini dont tout sous-groupe définissable et propre est abelien. Je démontrerais aussi qu'un modèle de la théorie universelle des groupes libres non-abeliens n'est pas simple. Cela donne une nouvelle démonstration du fait qu'un modèle superstable de la théorie universelle des groupes libres nonabeliens est abelien (résultat déemontré par Mustafin et Poizat).
Cela servira comme fil conducteur pour explorer les propriétés locales des mauvais groupes de rang de Morley fini 3. S'il reste du temps, je parlerais d'un rang sans-quantificateurs (Rang de Morley, Rang U), qui pourra être intéressant pour étudier les sous-groupes des groupes $\omega$-stables.

jeudi 7 octobre, Simon Thomas, Rutgers University : Property $(\tau)$ and countable Borel equivalence relations.

Abstract : A few years ago, Adams-Kechris used Zimmer's machinery to prove a purely Borel version of Zimmer's superrigidity theorem for the actions of lattices in higher rank simple Lie groups. Unfortunately a serious problem arises when we attempt to adapt the ideas of Adams-Kechris to the actions of groups such as $SL_{2}(\mathbb{Z}[1/p])$, since many of their arguments make essential use of the fact that lattices in higher rank simple Lie groups have the Kazhdan property. In this talk, I will explain how to obtain a corresponding Borel superrigidity theorem for such groups via the use of Property $(\tau)$, a weak form of the Kazhdan property. I will also discuss an application to the theory of torsion-free abelian groups of rank 2.

Dans le cadre du COLLOQUIUM, mercredi 6 octobre, à 16h30, Simon Thomas, Rutgers University : Superrigidity and the classification problem for the torsion-free abelian groups of finite rank.
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Abstract : In 1937, Baer solved the classification problem for the torsion-free abelian groups of rank 1. Since then, despite the efforts of such mathematicians as Kurosh and Malcev, no satisfactory solution has been found for the classification problem for the torsion-free abelian groups of rank $n \geq 2$. So it is natural to ask whether the classification problem is genuinely more difficult for the groups of rank $n \geq 2$. In this talk, I will explain how this question can be answered, using Zimmer's superrigidity theorem for actions of lattices in higher rank simple Lie groups.

Dans le cadre du COLLOQUIUM, lundi 4 octobre, à 16h30, Ehud Hrushovski, Jérusalem : Les imaginaires p-adiques

Résumé : A partir d'un théorème sur les relations d'équivalence définissables sur les corps p-adiques (uniformement en p), je vais parler en général de la notion d'un élément imaginaire, en donnant plusieurs exemples.

jeudi 30 septembre, bouillabaisse à Marseille.

jeudi 23 septembre (séance double) :

à 9h30, Assaf Hasson, Jerusalem : Collapsing structure and a theory of envelopes

Abstract : We give a general setting in which the locally modular strongly minimal dimensions of a first order theory can be controlled in a first order way. Already in the proof of the non-existence of finitely axiomatizable totally categorical theories Zilber introduced a tool which he called 'envelope' in order to control the size of (in his case - unique) locally modular strongly minimal dimension of $T$ and construct (finite) homogeneous approximations of the theory. Using known generalizations of Zilber's envelopes, we give sufficient (albeit very strong) conditions for a first order theory to have a nice theory of envelopes, i.e.:
a) $T$ has envelopes (with respect to a given class of strongly minimal dimensions).
b) Envelopes in $T$ are homogeneous.
c) Envelopes in $T$ are an elementary class (i.e. are the saturated models of a first order theory).
We will start by a warm up case which has the collapse in the Abelian fusion context as a special case. We will then present another orthogonal approach to the problem, present the main results, and sketch suggestions for various possible further generalizations.

à 11h15, Oleg Belegradek, Istambul : Expressive power of query languages for finite databases over infinite ordered structures

Abstract : An infinite ordered structure $(M,<,...)$ is said to exhibit collapse to order if any invariant under partial $<$-automorphisms query over finite databases over $M$ is first order expressible in $(M,<)$ provided it is first order expressible in $(M,<,...)$.
It was dicovered in the 90s that some interesting infinite ordered structures (in particular, the ordered field of reals and ordered group of integers) exhibit collapse to order. The most important result here was the theorem due to John Baldwin and Michael Benedikt that an infinite ordered structure exhibits collapse to order if there is a model of its theory in which some definable subset lacks the independence property. (In particular, any infinite ordered structure without the independence property exhibits collapse to order.) As all known examples of collapse to order were covered by this result, they asked whether the converse is true.
In the talk I will survey known results on collapse to order, and will answer Baldwin-Benedikt's question in the negative.

jeudi 16 septembre, Amador Martin Pizarro , Berlin : Supersimple fields

Abstract : The algebraic characterization of $\omega$-stable fields is well-known and widely used in Model Theory. They were shown to be algebraically closed by Macintyre. The proof was later generalized by Cherlin and Shelah to the superstable case. A similar characterization for the pure stable case is still open. It has been conjectured that they are separably closed.
Following Sehlah's original definition of forking, Kim and Pillay were able to extend some of the machinery of Geometric Model Theory to a wider class of theories: simple theories. Examples of simple unstable structures are, among others, the random graph, pseudofinite fields (shown by Chatzidakis-van den Dries-Macintyre) and perfect pseudo-algebraically closed fields (in short, PAC) with small absolute Galois group (shown by Hrushovski). In 1995 Pillay conjectured that a similar statement as in Macintyre's Theorem held: namely, supersimple fields were PAC. So far, this conjecture is still open.
In this talk, we will present an overview of the aforementioned topics, comparing which tolls can be carried over to the simple case and which techniques need to be developed. Although some content of the talk requires a certain familiarity with objects in algebraic geometry, we will try to present it in a self-contained way for a more general audience.



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