Un jeu de Nim

Deux joueurs sont devant une table sur laquelle sont posés des tas d'allumetes. À tour de rôle chacun d'eux choisit l'un des paquets et en retire une ou plusieurs allumettes, éventuellement toutes. Celui qui prend la dernière gagne. Ce jeu est une excellente occasion de s'initier à l'écriture des nombres en base 2. Voici un lien jeu de Nim sur une page consacrée à ce jeu.

Lumières, couleurs et autochromes

Lors d'une visite au musée Lumière à Lyon, j'ai été emerveillé par la contemplation de quelques autochromes illustrant la vie de cette famille aisée du début du 20 ème siècle. Désireux de comprendre le procédé de fabrication de ces images, j'ai passé quelques heures à clarifier les vagues notions que j'avais à propos de la lumière et des couleurs, et préparer ce document, Lumières, couleurs et autochromes, à l'intention de mes petits enfants ou d'autres curieux.

Partitions binaires et jeu 2048

Dans le document pdf Partitions binaires et jeu 2048, d’un niveau élémentaire, on s’ intéresse aux partitions des entiers en puissances de 2 et à leur écriture en base 2. On y donne enfin une preuve de ce que le plus grand entier qui puisse apparaître sur une case du jeu 2048 est 2¹⁷ = 131 072.

Plans projectifs, arithmétique modulaire et Dobble

Le jeu de Dobble, édité par Asmodée est un jeu s'adressant aux grands et aux petits. Il est constitué de 55 cartes. Sur chacune d'elles sont dessinées 8 petites images. La propriété remarquable de ce jeu est que deux cartes quelconques ont une, et une seule image en commun.

Dans le monde qui nous entoure, chaque droite a exactement autant de points qu'il existe de nombre réeels, et deux droites distinctes ont un point commun, sauf si elles sont parallèles. Si l'on rajoute un point à l'infini dans chaque direction de droite on obtient un nouvel espace, le plan projectif réel, avec la propriété plus élégante: deux droites distinctes on un unique point commun (éventuellement à l'infini).

A tout nombre premier p on peut associer un ensemble fini de p éléments, appelé le corps F_p, muni d'une multiplication et d'une addition avec les mêmes propriétés que l'addition et la multiplication des nombres réels. A partir de cet ensemble F_p, on construit un plan projectif de la même manière qu'on a construit le plan projectif réel. C'est le plan projectif sur F_p. Ce plan n'a qu'un nombre fini de points égal à p² + p + 1. Chaque droite est un ensemble de p+1 points, et il y a exactement p² + p + 1 droites. Deux droites distinctes ayant toujours exactement un point commun.

Les deux cartes ci-dessus sont deux cartes d'un jeu de Dobble formé de 133 cartes de 12 images. Pour construire ce jeu on a construit P₁₁, le plan projectif sur le corps F₁₁ et associé une image à chacun des 133 points de P₁₁. Puis, pour chaque droite, on a dessiné la carte, formée des images associées aux points de cette droite. En choisissant p=7 on aurait construit un jeu de 7² + 7 + 1 = 57 cartes, chaque carte contenant 7 + 1 = 8 images, comme les cartes du jeu de Dobble d'Asmodée. Pourquoi n'y a-t-il que 55 cartes dans le jeu d'Asmodée alors qu'il est tout naturel d'en obtenir 57? Je ne sais pas.

Ceci est une excellente occasion d'introduire l'arithmétique modulaire, les nombres premiers, les corps finis et les plans projectifs. Le document dobble.pdf, 11 pages à la portée d'un bon élève de classe terminale, explicite les détails de cette construction. Vous pouvez jouer en ligne en suivant le lien mode telephone mobile ou paysage ou paysage large. Pour chaque nouvelle paire de cartes vous devez cliquer sur l'une des 2 images communes aux deux cartes présentées. Le jeu est terminé après 8 succès. Le score affiché est la durée de la partie, augmentée d'une pénalité de 5 secondes par erreur.

Il n'y a pas d'autres polyèdres réguliers que les cinq Solides de Platon

Cette page, est consacrée aux polyèdres réguliers. Déjà au IV^ème siècle avant JC on connaissait les 5 types de polyèdres réguliers. Elle s'adresse à des curieux dont les connaissances mathématiques sont du niveau des classes terminales de lycée en leur proposant quelques démonstrations.

Forme de la terre

La forme attribuée à la terre a évolué dans le temps. Plane autrefois, sphérique à partir du VI^eme av. J-C, ellipsoïdale au XVII^eme siècle. Le modèle ellipsoïdal a été longtemps considéré comme suffisant. Les progrès de la précision des mesures font qu'on ne se contente plus maintenant de ces modèles idéaux purement géométriques. Les meilleurs ellipsoïdes ne peuvent approcher la surface de niveau 0 du globe physique avec une précision meilleure qu'une centaine de mètres. Cette surface de niveau 0 est appellée le Géoïde. Vous trouverez sur cette page La forme de la Terre un bref résumé de cette histoire, précédé de quelques rappels de notions géométriques et physiques élémentaires, qui permettent de donner un sens précis à cette notion de surface de niveau 0.

Loxodromies et orthodromies sur la carte de Mercator

Les cartes de Mercator préservent les angles, c'est à dire que deux routes terrestres qui se coupent avec un angle θ se coupent encore avec le même angle θ sur la carte. Mais les longueurs ne sont pas respectées. Plus on se rapproche des pôles plus les longueurs se dilatent sur la carte. C'est pourquoi il est impossible de représenter sur une telle carte les points au delà d'une certaine latitude. Ce phénomène est bien mis en évidence en traçant sur une carte de Mercator les deux loxodromies et l'orthodromie joignant deux points A et B. Une loxodromie de A à B est une route reliant A à B en conservant un cap constant c'est à dire toujours la même direction par rapport au nord. L'orthodromie de A à B est la route la plus courte de A à B.

Mesure de la vitesse de propagation du son

Sur les très intéressantes pages Conférences confinées de Julien Bobroff, plus précisément sur Conférence confinée 2, on montre comment réaliser simplement des mesures physiques à l'aide d'un téléphone mobile. Bien sûr, si vous avez un peu de temps, allez consulter directement ce site. Mais, si vous êtes pressé, voici un lien sur une courte page présentant une très belle expérience, la deuxième de cette conférence, assez facile à comprendre et à réaliser: mesurer la vitesse du son .

Estimer la masse volumique de l'air avec un téléphone

En 1648, à la demande de son beau-frère Blaise Pascal, Florin Périer réalise l'une des premières expériences mettant en évidence la décroissance de la pression atmosphérique avec l'altitude. Il a fallu pour celà qu'il monte au sommet du Puy de Dôme. De nos jours, avec un téléphone mobile, on peut mesurer la diminution de la pression atmosphérique en passant du sol au plafond d'une pièce avec une précision suffisante pour en déduire la masse volumique de l'air.