Des pages et des documents à la portée d'un bon élève de terminale, écrits pour mes petits-enfants et pour d'autres curieux de mathématique ou physique.

Le théorème caché de Platon

Dans le livre V des Lois, Platon note que 5040 = 7! est divisible par tous les entiers de 1 à 10. Le mathématicien grec Andreas Zachariou a remarqué que 11 est le successeur de 7 dans la suite des nombres premiers, et a énoncé, sans démonstration, le théorème: Soit P premier, supérieur ou égal à 5, et Q le successeur de P dans la suite des nombres premiers. Alors tous les entiers de l'intervalle [1,Q-1] divisent P! qu'il a baptisé du nom de Le théorème caché de Platon. La première preuve semble remonter à 2003. Elle est élémentaire et repose sur le postulat de Bertrand, démontré par Tchebychev en 1850 qui dit que, pour tout entier N plus grand que 1, l'intervalle ouvert ]N, 2N[ contient au moins un nombre premier. Une démonstration plus simple encore a été proposée par un étudiant en première année de médecine à l'université de Thessalonique, en s'appuyant sur un lemme tout à fait élémentaire: Si N est un entier plus grand que 5, tous les entiers non premiers de l'intervalle fermé [N+1, 2N] sont des diviseurs de N!.

Test de Solovay-Strassen : construisez facilement de grands nombres premiers

Le test de Solovay-Strassen est un algorithme probabiliste permettant de construire facilement de très grands nombres premiers. Il n'utilise que des notions d'algèbre et théorie des nombres très élémentaires du niveau d'un bon élève de Terminale Maths Expertes ou première année de licence. Le fichier solovay-strassen.pdf d'une douzaine de pages, est destiné à un bon élève de Terminale Mathématiques, ou de première année de licence curieux de rafraîchir ses connaissances et de les joindre à la pratique en rédigeant ce module Python très simple. Celui qui voudrait un peu plus de rappels sur les notions les plus élémentaires d'algèbre et d'arithmétique ou sur les permutations d'un ensemble pourra les trouver dans rappels et compléments.

Un jeu de Nim

Deux joueurs sont devant une table sur laquelle sont posés des tas d'allumettes. À tour de rôle chacun d'eux choisit l'un des paquets et en retire une ou plusieurs allumettes, éventuellement toutes. Celui qui prend la dernière gagne. Ce jeu est une excellente occasion de s'initier à l'écriture des nombres en base 2. Voici un lien jeu de Nim sur une page consacrée à ce jeu.

Lumières, couleurs et autochromes

Lors d'une visite au musée Lumière à Lyon, j'ai été émerveillé par la contemplation de quelques autochromes illustrant la vie de cette famille aisée du début du XX^e siècle. Désireux de comprendre le procédé de fabrication de ces images, j'ai passé quelques heures à clarifier les vagues notions que j'avais à propos de la lumière et des couleurs, et préparer ce document, Lumières, couleurs et autochromes, à l'intention de mes petits-enfants ou d'autres curieux.

Plans projectifs, arithmétique modulaire et Dobble

Le jeu de Dobble, édité par Asmodée est un jeu s'adressant aux grands et aux petits. Il est constitué de 55 cartes. Sur chacune d'elles sont dessinées 8 petites images. La propriété remarquable de ce jeu est que deux cartes quelconques ont une, et une seule image en commun.

Dans le monde qui nous entoure, chaque droite a exactement autant de points qu'il existe de nombres réels, et deux droites distinctes ont un point commun, sauf si elles sont parallèles. Si l'on rajoute un point à l'infini dans chaque direction de droite on obtient un nouvel espace, le plan projectif réel, avec la propriété plus élégante: deux droites distinctes ont un unique point commun (éventuellement à l'infini).

A tout nombre premier p on peut associer un ensemble fini de p éléments, appelé le corps F_p, muni d'une multiplication et d'une addition avec les mêmes propriétés que l'addition et la multiplication des nombres réels. A partir de cet ensemble F_p, on construit un plan projectif de la même manière qu'on a construit le plan projectif réel. C'est le plan projectif sur F_p. Ce plan n'a qu'un nombre fini de points égal à p² + p + 1. Chaque droite est un ensemble de p+1 points, et il y a exactement p² + p + 1 droites. Deux droites distinctes ont toujours exactement un point commun.

Les deux cartes ci-dessus sont deux cartes d'un jeu de Dobble formé de 133 cartes de 12 images. Pour construire ce jeu on a construit P₁₁, le plan projectif sur le corps F₁₁ et associé une image à chacun des 133 points de P₁₁. Puis, pour chaque droite, on a dessiné la carte, formée des images associées aux points de cette droite. En choisissant p=7 on aurait construit un jeu de 7² + 7 + 1 = 57 cartes, chaque carte contenant 7 + 1 = 8 images, comme les cartes du jeu de Dobble d'Asmodée. Pourquoi n'y a-t-il que 55 cartes dans le jeu d'Asmodée alors qu'il est tout naturel d'en obtenir 57? Je ne sais pas.

Ceci est une excellente occasion d'introduire l'arithmétique modulaire, les nombres premiers, les corps finis et les plans projectifs. Le document dobble.pdf, 11 pages à la portée d'un bon élève de classe terminale, explicite les détails de cette construction. Vous pouvez jouer en ligne en suivant le lien dobble game. Pour chaque nouvelle paire de cartes vous devez cliquer sur l'image commune aux deux cartes présentées. En mode chrono, la partie se termine après 10 paires. Le score affiché est la durée de la partie, augmentée d'une pénalité de 5 secondes par erreur.

Il n'y a pas d'autres polyèdres réguliers que les cinq Solides de Platon

Cette page est consacrée aux polyèdres réguliers. Déjà au IV^e siècle av. J.‑C. on connaissait les 5 types de polyèdres réguliers. Elle s'adresse à des curieux dont les connaissances mathématiques sont du niveau des classes terminales de lycée en leur proposant quelques démonstrations.

Forme de la Terre

La forme attribuée à la Terre a évolué dans le temps. Plane autrefois, sphérique à partir du VI^e siècle av. J.‑C., ellipsoïdale depuis Newton (fin du XVII^e siècle), ce que confirment les mesures du XVIII^e siècle. Le modèle ellipsoïdal a été longtemps considéré comme suffisant. Les progrès de la précision des mesures font qu'on ne se contente plus maintenant de ces modèles idéaux purement géométriques. Les meilleurs ellipsoïdes ne peuvent approcher la surface de niveau 0 du globe physique avec une précision meilleure qu'une centaine de mètres. Cette surface de niveau 0 est appelée le Géoïde. Vous trouverez sur cette page La forme de la Terre un bref résumé de cette histoire, précédé de quelques rappels de notions géométriques et physiques élémentaires, qui permettent de donner un sens précis à cette notion de surface de niveau 0.

Loxodromies et orthodromies sur la carte de Mercator

Les cartes de Mercator préservent les angles, c'est-à-dire que deux routes terrestres qui se coupent avec un angle θ se coupent encore avec le même angle θ sur la carte. Mais les longueurs ne sont pas respectées. Plus on se rapproche des pôles plus les longueurs se dilatent sur la carte, et les pôles eux-mêmes sont rejetés à l'infini. C'est pourquoi on doit couper une telle carte au-delà d'une certaine latitude (82° sur la carte proposée ici). Ce phénomène est bien mis en évidence en traçant sur une carte de Mercator les deux loxodromies et l'orthodromie joignant deux points A et B. Une loxodromie de A à B est une route reliant A à B en conservant un cap constant c'est-à-dire toujours la même direction par rapport au nord. L'orthodromie de A à B est la route la plus courte de A à B.

Mesure de la vitesse de propagation du son

Sur les très intéressantes pages Conférences confinées de Julien Bobroff, plus précisément sur Conférence confinée 2, on montre comment réaliser simplement des mesures physiques à l'aide d'un téléphone mobile. Bien sûr, si vous avez un peu de temps, allez consulter directement ce site. Mais, si vous êtes pressé, voici un lien sur une courte page présentant une très belle expérience, la deuxième de cette conférence, assez facile à comprendre et à réaliser: mesurer la vitesse du son .

Estimer la masse volumique de l'air avec un téléphone

En 1648, à la demande de son beau-frère Blaise Pascal, Florin Périer réalise l'une des premières expériences mettant en évidence la décroissance de la pression atmosphérique avec l'altitude. Il a fallu pour cela qu'il monte au sommet du Puy de Dôme. De nos jours, avec un téléphone mobile, on peut mesurer la diminution de la pression atmosphérique en passant du rez-de-chaussée au premier étage d'une maison avec une précision suffisante pour en déduire la masse volumique de l'air.