ALGEBRES DE LIE DE DIMENSION INFINIE : GEOMETRIE ET COHOMOLOGIE

Programme du colloque :

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Résumés


Yvette Kosmann-Schwarzbach De Lecomte--Roger à Monge--Ampère
Le "grand crochet", crochet de Poisson gradué pair introduit par Kostant et Sternberg, a d'aboord joué un rôle dans la théorie des bigèbres de Lie due à Pierre Lecomte et Claude Roger. Une jolie formule de "crochet dérivé" liant grand crochet et crochet de Schouten--Nijenhuis se trouve dans l'article de Claude Roger pour le colloque Souriau (Prog. Math. 99, 1991). Ici nous montrons le rôle du grand crochet dans la théorie des structures compatibles (telles que les structures Poisson--Nijenhuis) sur les algébroïdes de Lie, ainsi que des exemples de telles structures en géométrie et en "géométrie généralisée" sur les équations de Monge--Ampère.
Camille Laurent : Deux points de vue équivalents sur les gerbes et leur connections
"Nous donnons une approche en terme de groupoïde d'une connection sur une gerbe est strictement équivalente à une construciton précédente due à Breen et Messing."
Jean-Louis Loday : Produits de Massey supérieurs
Le produit de Massey de trois classes de cohomologie a, b et c est bien defini lorsque les cup-produits de a et b, puis de b et c sont nuls. On donne les conditions suffisantes pour que le produit de Massey de quatre éléments soit bien défini. On montre comment ces produits s'interprètent en termes A-infini algèbres, puis comment on peut généraliser à tout type d'algèbres sur une opérade de Koszul.
Dmitry Millionshchikov : The Variety of Lie algebras of maximal class
We present an explicit description of the affine variety MFil of Lie algebras of the maximal class (filiform Lie algebras): the formulas of polynomial equations that determine this variety are written. The affine variety MFil can be considered as the base of the nilpotent versal deformation of N-graded Lie algebra m0. The positive part of Virasoro algebra is an important point of the variety MFil.
Friedrich Wagemann : L'homomorphisme des periodes et classes d'obstruction de gerbes
Etant donné un 2-cocycle d'algèbres de Lie à coefficients triviaux c\in Z^2(g,z), on peut définir un homomorphisme de périodes per_c:\pi_2(G) -> z, où G est un groupe de Lie d'algèbre de Lie g, en intégrant la 2-forme invariante à gauche sur G sur des classes d'homotopie qui sont représentées par des cycles lisses. Associé à per_c, il y a une hierarchie de problèmes d'extension. Le plus simple et le premier dans la liste est celui de trouver une extension centrale de G dont le cocycle infinitésimal est c. Neeb a montré que ce problème possède une solution si l'image I de per_c est discrète et l'extension \hat{G} se fait donc par Z=z/I. Ces problèmes d'extension sont ordonnés de façon hierarchique, i.e. le (k+1)ème problème se pose seulement si le kème problème a eu une solution. Supposons donc qu'il existe une telle extension \hat{G}. Dans notre travail en cours avec Karl-Hermann Neeb, nous nous occupons du deuxième problème, à savoir étant donné un G-fibré principal P sur une variété M, est-ce qu'il existe un \hat{G}-fibré principal \hat{P} sur M tel que \hat{P}/Z\cong P ? Nous montrons que la solution de ce problème dépend encore une fois de l'homomorphisme per_c. Par ailleurs, le problème nous amène à considérer des "lifting gerbes" sur M. Nous montrons les liens entre ces deux types d'objets géométriques sur M.