Optimisation Numérique, M1 Ingénierie Mathématique

Calendrier et modalités

Cours : 30h de CM, le jeudi 15h45-17h15, salle 443 bât 450, et le vendredi 13h30-16h30, salle B14 bât 460 ;
TP : 4 séances de 2h le jeudis 13h30-15h30, salle 243 bât 440 (option modélisation) et le vendredi 10h-12h, salle 242 bât 440 (option stat);
Modalité d'examen : 1 écrit (75%) + 1 devoir maison de TP (25%).

Programme du cours

On traitera dans l'ordre :
  • les généralités sur les problèmes d'optimisation (existence, conditions d'optimalité...)
  • des algorithmes pour chercher les minimiseurs (en particulier pour les fonctions convexes), qu'on implementera lors des TP
  • des sujets complémentaires et plus avancés, qu'on ne traitera pas en TP

    • Le programme est plus ou moins le suivant:

  • Jeudi 25/1 Introduction à l'optimisation, existence des optima, semicontinuité
  • Vendredi 26/1 Conditions d'optimalité, multiplicateurs de Lagrange, exemples et exercices
  • Jeudi 31/1 Méthodes de Newton, théorème des contractions.
  • Vendredi 1/2 Optimisation en dimension 1 (Newton, dychotomie, section dorée) ; introduction à la minimisation des fonctions convexes, fonctions convexes, strictement convexes et elliptiques. Algorithme du gradient à pas fixe.
  • Jeudi 7/2 Algorithmes de gradient à pas variable et pas optimal.
  • Vendredi 8/2 Algorithme du gradient conjugué pour les fonctions quadratiques ; algoritme du gradient projeté pour la minimisation sous contrainte.
  • Jeudi 14/2 Méthode de pénalisation pour la minimisation sous contrainte et TD sur projection et minimisation sous contrainte.
  • Vendredi 15/2 Dualité et méthode d'Uzawa pour la minimisatin sous contrainte ; TD sur projection et minimisation sous contrainte ; sous-différentiel et algorithme de sous-gradient.
  • Jeudi 21/2Calcul des variations : équations d'Euler-Lagrange et conditions de transversalité ; discrétisation.
  • Vendredi 22/2 Exemple de non-existence ; Rôle de la convexité en Calcul des Variations ; exemples et TD.
  • Jeudi 28/2 Programmation dynamique en temps discret et horizon fini, croissance optimale à un secteur économique.
  • Attention, pas de cours le vendredi 29/2 et la semaine suivante
  • Jeudi 14/3 Programmation dynamique en temps discret et horizon infini, exemples et exercice.
  • Vendredi 15/3 Programmation linéaire : exemple du problème de transport optimal et algorithme du simplexe.
  • Jeudi 21/3 Exercices

    • Travaux Pratiques

    Les TP sont assurés par Monsieur le Professeur Frédéric Lagoutière, grand chef de notre M1. Les TP débuteront le jeudi 14/2. (attention !!)

    Bibliographie

    Une bonne partie du cours (les multiplicateurs de Lagrange, tous les algorithmes de gradient, le symplexe...) se trouve sur le livre de Ph. Ciarlet Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation.

    Pour le cours du 25/1 vous pouvez voir ce poly de calcul différentiel et en particulier les pages 93 et suivantes.
    Pour le cours du 26/1 vous pouvez voir le livre de Ciarlet, chapitre 7.2. et/ou le poly précédent, chapitre 9.
    Pour le cours du 31/1, Ciarlet, pages 158-166 (mais on n'a pas tout fait).
    Pour les cours du 1er février et 7 février, Ciarlet, Chap. 8.4 (sauf relaxation).
    Pour le cours du 8 février, Ciarlet 8.5 (grad. conjugué) + Ciarlet 8.6 (grad. projeté). Pour le cours du 14 février, encore Ciarlet 8.6. Pour le cours du 15 février, Ciarlet chapître 9 (en particulier 9.3 et 9.4). Pour le cours des 21 et 22 février, voir le chapitre 4 (calcul des variations) de ce poly de Guillaume Carlier sur l'optimisation dynamique.
    Pour les cours des 28/2 et 14/3, voir les chapitres 1, 2 et 3 du poly d'optimisation dynamique de Carlier. Pour le cours du 15/3, Ciarlet, 10.2 et 10.3

    Annales et exercices

    Sujet du dévoir maison donné en cours en 2011, avec l'examen de l'année précédente (attention : ne pas trop se fier au style de l'examen de 2010, c'était un autre prof).

    Corrigé du DM de 2011.
    Sujet et corrigé de l'examen du 24/3/2011.

    Devoir maison du 15 mars 2012 avec corrigé.
    Sujet de l'examen du 29 mars 2012.
    Sujet du rattrapage du 2 juillet 2012.

    Devoir maison pour le 15 mars 2013, avec correction partielle (ce qu'on n'a pas fait en classe).