Ancien parcours de licence Mathématiques et Économie (site non à jour)

A faire pour la semaine du jeudi 16 avril

Cours

• Semaine de révision.
• Le chapitre sur le série de Fourier ne sera pas exigé. La lecture de ce chapitre est toutefois conseillée pour votre culture générale. Pour “voir” la décomposition de Fourier en images, consultez ce site : https://interstices.info/la-decomposition-en-series-de-fourier/

Exercices

• Voici un corrigé des exercices F4 et F5 : exoF4, exoF5.
• Exercice 2 de l'examen de 2018 : http://math.univ-lyon1.fr/~brandolese/enseignement/pharmacie/examen2018.pdf
• Exercices 1,2,3 de l'examen 2017 : http://math.univ-lyon1.fr/~brandolese/enseignement/pharmacie/examen2017-session1.pdf

A faire pour la semaine du jeudi 9 avril

Cours

• Étudier la section 6.3 sur les fonctions développables en série entière. Je vous rappelle que vous avez deux exemples de telles fonctions dans les exercices C2 et C3, déjà traités. Un autre exemple que vous connaissez est celui de la fonction 1/(1-x): son développement en série entière n'est rien d'autre que la série géométrique de raison x : voir le cours, exemple 3.3.
• Étudier la section 6.4 du cours. Cette section est une application de la théorie de séries entières aux fonctions exponentielle et trigonométriques complexes.

Exercices

• Comparez vos solutions des exercices F1, F2 et F3 avec ces corrigés : exo F1, exo F2, exo F3
• Étudier la solution de l'exercice à p.235 de : ce document. La solution d'équations différentielle est une application classique des séries entières.
• Utiliser la même méthode pour traiter les exercices F4 et F5.

A faire pour la semaine du jeudi 2 avril

Cours

L'objet de la semaine est le chapitre sur les séries entières.

• Relire la solution vue en classe des exercices C2 et C3.
  Nous étions allés au delà de l'énoncé et nous avions écrit la fonction exponentielle et la fonction logarithme comme la somme d'une série de fonctions bien précises. Vous avez là déjà deux exemples de séries entières.
• Regarder cette vidéo (surtout pour motiver le chapitre).
• Étudier les sections 6.1 et 6.2 du cours. Les démonstrations ne seront pas exigées, vous pouvez les sauter, au moins en première lecture.

Exercices

• Comparez vos solutions des exercices E1, E2 et E3 avec ces corrigés : exo E1, exos E2-E3.
• Étudier le corrigé de l'exercice 2 de ce sujet d'examen. Ensuite, utilisez la même méthode pour traiter l'exercice F1.
• Étudier le corrigé de l'exercice 2 de cet autre sujet. Appliquez la même méthode pour traiter l'exercice F2.
• Traiter l'exercice F3.

A faire pour la semaine du jeudi 26 mars

Cours

• Jouez avec cette application pour visualisez un exemple de convergence uniforme d'une suite de fonctions.

Vous avez en bleu le graphe d'une fonction f et en rouge la suite de fonctions (fn) (vous pouvez donner à n les valeurs 0,1,2,….). Observez comment fn s'approche de f lorsque n est large. Le paramètre epsilon mesure la précision de l'approximation : par exemple si vous voulez approximer f avec une erreur inférieur à 0.04, vous devez prendre, sur cet exemple, n supérieur à 25.

• Étudier le chapitre 5 (page 18).
• Visionner cette vidéo et retrouver les notions étudiées dans le chapitre 5. (Dans cette vidéo, vous pouvez penser que l'ensemble K est simplement l'ensemble R des nombres réels).

exercices

1. comparez votre solution des exercices D1,D2,D3 avec la mienne : exoD1,exoD2, exoD3.
2. Séries de fonctions : étudier la correction de l'exercice 1 et de l'exercice 5 de ce document.
3. traiter l'exercice E1 (Indication : essayer de démontrer que sur l'intervalle plus gros, il y a convergence simple, mais pas convergence normale, de la série de fonctions. Montrer ensuite que sur l'intervalle plus petit il y a convergence simple ET convergence normale de la série de fonctions).
4. traiter l'exercice E2 (Indication : démontrer que la série est normalement convergente sur R, donc uniformément convergente sur R. Conclure en appliquant le théorème approprié.
5. traiter, au choix, l'exercice E3 ou E4 (Indication : Pour démontrer que la série est uniformément convergente, ici il convient d'utiliser le théorème des séries alternées (notamment l'estimation du reste) et démontrer que la suite des restes de la série converge uniformément vers la fonction nulle).

A faire pour la semaine du jeudi 19 mars

Cours

1. Etudier la section 4.1 du cours (page 16).
2. Visionner la vidéo de cette page web. L'exemple qui commence à 2'40'' est particulièrement instructif.
3. Etudier la section 4.2 du cours (page 17).

Les notions des convergence simple et uniformes sont expliquées dans de nombreuses ressources. Voici par exemple une autre vidéo.

Exercices sur les suites des fonctions

1. Etudier attentivement la correction de l'exercice 3 de cette page web.
2. Traiter les exercices D1, D2, et D3.