Épreuve orale d'analyse à l'agrégation.
Leçon: Utilisation de la notion de compacité.
Extraits de rapport de jury:
Dans cette leçon, il est souhaitable de
présenter un théorème utilisant la méthode diagonale ; les candidats n'ont que l'embarras
du choix : théorèmes d'Ascoli, de Montel, compacité faible séquentielle de la boule unité
d'un espace de Hilbert, etc.
Confusion entre la notion de compacité et l'utilisation de la
compacité. Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale, sans proposer
des exemples d'utilisation significatifs. On ne peut pas proposer en développement des théorèmes de
caractérisation de la compacité, a contrario le théorème de Stone-Weierstrass, par exemple, trouve
largement sa place dans cette leçon.
(2011) Il est important de ne pas concentrer la leçon sur la compacité générale (confusion générale entre utilisation de la notion compacité et notion de compacité), sans proposer des exemples significatifs d'utilisation (Stone-Weierstrass, point fixe, voire étude qualitative d'équations différentielles, etc.).
Documents:
Fonctions à variation bornée
Théorèmes de Riesz-Kolmogorov et de Helly
Livres recommandés:
H. Brézis (Analyse fonctionnelle), W. Rudin (Analyse réelle et complexe).
Leçon: Connexité. Exemples et applications.
Extraits de rapport de jury (2011):
Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité. Bien distinguer connexité et connexité par arcs.
Leçon: Applications linéaires continues entre espaces vectoriels normés. Exemples et
applications.
Extrait de rapport de jury:
Lister tous les théorèmes de Banach ne constitue pas un test très probant,
il serait plus intéressant de se limiter à quelques énoncés en les illustrant par des exemples
significatifs, par exemple dans la théorie des séries de Fourier.
Livres recommandés:
H. Brézis (Analyse fonctionnelle), W. Rudin (Analyse réelle et complexe), D. Serre (Les matrices),
M. Reed and B. Simon (Fourier Analysis, Self-Adjointness).
Leçon: Parties convexes, fonctions convexes.
Documents:
Formule de Lax
Entropie
Calcul des variations
Leçon: Théorèmes du point fixe. Exemples et applications.
Extraits de rapport de jury:
Le théorème de Peano est parfois
présenté comme application du théorème de Schauder. Présenter un tel développement
lorsqu'on n'a aucune idée de la déemonstration des théorèemes d'Ascoli, Brouwer et Schauder
est quelque peu gênant. Signalons que la méthode très ingénieuse (et simple !) de
Carathéodory permet d'obtenir le résultat à l'aide du seul théorème d'Ascoli.
Les applications aux équations différentielles sont importantes. Il faut
préparer des contre-exemples.
Documents:
Théorème de Brouwer par A. Monier (journal de maths des élèves de l'ENS Lyon)
Autour du point fixe par J. Mawhin.
Une application du théorème de Brouwer
Contre-exemples en dimension infinie
Livre recommandé:
L.C. Evans (Partial Differential Equations): pp. 439-442 (thm de Brouwer), pp. 502--505 (thms de Schauder et Schaefer).