Math VI-ALGEBRE

Math VI-ALGEBRE

Nouvelles du cours :

Cours 1. Rappels sur la matrice d'une application linéaire. Formules de changement de bases. Espace dual. Matrice d'une forme linéaire. Base duale. Orthogonalité: Hyperplan, orthogonal d'un sous-espace du dual. Dimension de l'orthogonal. L'orthogonal est décroissante pour l'inclusion et transforme la somme en intersection et inversement.

Cours 2. Le bidual. Isomorphisme canonique entre un espace de dimension finie et son bidual. Transposée d'une application linéaire. Diverses propriétés de la transposée, involution, compatibilité avec Id, ker, im...

Cours 3. Espaces hermitiens. Définition d'une norme hermitienne, à partir d'une norme quadratique. Produit hermitien, polarisation. Version matricielle du produit hermitien, changement de base.

Cours 4. Orthogonal pour un produit hermitien. Propriétés de l'orthogonal. Endomorphismes normaux. Définition, exemples d'endomorphismes normaux (ex1: matriceis hermitiennes, ex2: matrices antihermitiennes, ex3: matrices unitaires). Diagonalisation des endomorphismes normaux en base unitaire.

Cours 5. Groupes abéliens finis. Définition et exemples de groupes. Isomorphismes de groupes et exemples. Action de groupe, les deux définitions. Les orbites forment une partition. Exemple d'actions. Dual d'un groupe. Structure de groupe sur le dual d'un groupe. Dual de Z/nZ.

Cours 6. Isomorphisme entre le dual d'un produit et le produit des duaux. Théorème d'extension des caractères. Isomorphisme canonique avec le bidual. Théorème de structure des groupes abéliens finis.

Cours 7. Forme hermitienne sur l'espace des fonctions complexes sur G. Base canonique de l'espace des fonctions, et base des caractères. La seconde est unitaire et la première l'est presque. Formule de changement de bases et transformée de Fourier. Propriétés de la transformée de Fourier discrète: c'est "presque" une isométrie, en tout cas, c'est un isomorphisme et pour la formule d'inversion, c'est l'identité de Perseval.

Cours 8. Convolution des fonctions. La transformée de Fourier discrète fournit un isomorphisme d'algèbres entre C[G] muni de la convolution et C[\hat G] muni de la multiplication. Introduction de la FFT (Fast Fourier Transform) et application à la multiplication sur les calculettes (plus généralement, à la multiplication polynomiale).

Cours 9. Introduction à la théorie des représentations. Premières définitions: définition en terme de G-module (action linéaire) et sous-forme de morphisme de groupes. Sommes directes, irréductibilité. Représentation duale, représentation "Hom". Exemples. Forme hermitienne invariante sur l'espace des représentations.

Cours 10. Retour sur la forme hermitienne sur l'espace des fonctions. Lemme de Schur. Notion de caractère d'une représentation. Calcul du caractère de la somme directe, de la représentation duale, et de la représentation "Hom". Cartère de la représentation par permutation d'une action: le caractère vaut le nombre d'invariants (on enlève 1 quand on considère la représentation orthogonale d'une composante triviale). Interprétation finale: les caractères forment une famille unitaire dans l'espace des fonctions centrales sur G. Corollaire: un caractère est irréductible si et seulement si sa norme vaut 1.

Cours 11. Corollaire: le caractère caractérise: deux représentations sont isomorphes si et seulement si elles ont même caractère. Projecteur sur une composante isotypique d'une représentation. Application: la composante isotypique est unique. Application à l'analyse harmonique sur un cube: description du cube, axes de symétrie, isométries directes du cube (rotations), action du groupe sur les 4 grandes diagonales du groupes et isomorphisme entre les groupe des rotations du cube et S4. On en déduit la table de caractères de S4: 5 classes de conjugaison-5 caractères irréductibles: la triviale, la signature, la naturelle, la naturelle déformée par la signature, et enfin, la représentation provenant de l'action du groupe du cube sur les 3 axes. Programme du contrôle continu: Transformée de Fourier discrète, convolution, toute la théorie des représentations jusqu'à l'analyse harmonique sur le cube (non compris).

Correction du partiel 2012

Partiel 2013

Correction du partiel 2013

Partiel 2014

Correction du partiel 2014

Partiel 2015

Examen 2014