| Cours |
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| 1er cours. |
Relation d'équivalence. Exemple : l'anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) de congruence modulo \(n\). Définitions d'un semigroupe, un monoide et un groupe. Exemples : \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\ast\), \(GL(n,\mathbb{R})\), \(SL(n,\mathbb{R})\), le groupe symétrique \(S_X\) d'un ensemble X, etc. Proposition : Un semigroupe G est un groupe ssi les équations \(ax = b\) et \(xa = b\) sont résolubles pour tous \(a, b \in G\). |
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| 2ème cours. |
Sous-groupes, classes à gauche et classes à droite. Théorème de Lagrange. Définition d'un sous-groupe distingué. Définition du sous-groupe engendré par un sous ensemble de \(G\), de l'ordre d'un élément, des groupes cycliques et groupes monogènes. Propriétés de l'ordre d'un élément. |
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| 3ème cours. |
Sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) et \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). Homomorphismes de groupes. Théorème de Cayley : tout groupe d'ordre \(n\) est un sous-groupe de \(S_n\). Groupes quotients. Théorème de factorisation des homomorphismes. |
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| 4ème cours. |
Description des groupes cycliques et monogènes et de leurs sous-groupes. Théorèmes d'isomorphisme : \((G/K)/(H/K) \simeq G/H\) et \(KH/H \simeq K/(K \cap H)\). Produits directs. Définition de l'action de groupe. |
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| 5ème cours. |
Stabilisateur et orbite d'un point sous une action de groupe ; premières propriétés et exemples. Produit semi-direct : 1) action d'un groupe sur le groupe des automorphismes d'un autre groupe ; 2) sous-groupes \(M\) et \(N\) d'un groupe \(G\) tels que \(G = MN\), \(M \cap N = \{e\}\) et \(N \triangleleft G\). Formule des classes. |
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| 6ème cours. |
Formule des classes. Centre d'un \(p\)-groupe. Formule de Burnside sur le nombre d'orbites. Généralités sur le groupe symétrique \(S_n\). |
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| 7ème cours. |
Simplicité de \(A_n\) pour \(n \geq 5\). Premier théorème de Sylow : tout groupe fini admet un \(p\)-groupe de Sylow pour tout premier \(p\). |
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| 8ème cours. |
Théorèmes de Sylow : tout \(p\)-groupe est contenu dans un \(p\)-Sylow ; les \(p\)-Sylow sont conjugués ; les nombres \(n_p\) de \(p\)-Sylow vérifient \(n_p \equiv 1 \pmod{p}\) et \(n_p \mid m\) où \(|G| = p^k m\) avec \(k \geq 0\) et \(p \nmid m\). Relations entre les \(p\)-Sylow d'un groupe, de ses sous-groupes et de ses groupes quotients. |
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| 9ème cours. |
Définition du groupe orthogonal réel \(O(n)\) : groupe des matrices \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) telles que \(A {}^t A = I_n\) ou groupe des transformations linéaires de \(\mathbb{R}^n\) qui sont des isométries. Théorème : \(g\) isométrie de \(\mathbb{R}^n\) alors \(g = t \circ f\) avec \(t\) translation et \(f \in O(n)\). Théorème : Les éléments de \(SO(2)\) sont les rotations autour de l'origine et les éléments de \(O(2) \setminus SO(2)\) sont les réflexions d'axe passant par l'origine. |
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