Progression du Cours
Cours du 01/09/2026 (3H): Rappels sur les ensembles. Ensembles (au plus) dénombrables. Caractérisation concrète et en terme de surjection depuis . Stabilité par produits. Exemples classiques. Stabilité par union dénombrable des ensembles au plus dénombrables. Théorème de Cantor et exemple usuel d’ensembles non-dénombrables.
Cours du 4/09/2026 (1H30): Rappels sur les sommes finis (sommation par paquet et interversion de sommes). Définition d’une famille sommable à termes positifs. Dénombrabilité du support. Premières propriétés (relation à la convergence absolue, lemme de permutation) Théorème de sommation par paquet (cas positif), Théorème de Fubini-tonelli. Exemple de calcul d’une somme double.
Cours du 08/09/2026 (1H30): Espace vectoriel des familles sommables (à coefficients complexes) Théorème de sommation par paquet ( général) Théorème de Fubini. Chapitre 2: Distances, normes
Cours du 11/09/2026 (1h30) : Exemples de Distances. Distances équivalentes, Boules et bornés, Convergence de suite, suite de Cauchy et définition de la complétude. Complétude (caractérisation des Banach en terme de convergence de séries),
Cours du 15/09/2026 (1h30) : Théorème du point fixe de Banach. Ouverts, Intérieur.
Cours du 18/09/2026 (1h30) : Fermés, adhérence, densité, frontière, fonctions continues (caractérisation séquentielle et topologique)
Cours du 22/09/2026 (1h30) : Thm de Prolongement des identités. Fonctions uniformément continues, Exemples de fonctions uniformément continues. Thm de prolognement des fonctions uniformément continues. Norme infinie sur les fonctions continues bornées (complétude si espace d’arrivée complet). Applications linéaires continues, norme subordonnée.
Cours du 25/09/2025 (1h30) : Caractérisation des formes linéaires continues et application à la complétude des evn de dimensions finies. Isométrie, complétude de L(E,F) pour F complet. Propriétés particulières aux evn de dimension finie (continuité des applications linéaires et équivalence des normes),
Cours du 29/09/2025 (1h30) : Compacité : définition et exemple de fermés non compacts et de fermés bornés non compacts. Image continue d’un compact et conséquences. Compacts en dimension finie. Théorème de Heine. Propriété de Borel-Lebesgue pour la compacité topologique (facultatif). Espaces métriques séparables.
Cours du 02/10/2026 (3h) : Rappels sur l’intégrale de Riemann (à valeur Banach): fonctions continues par morceau et en escalier, formule dans le cas en escalier, prolongement, propriétés usuelles dont inégalité triangulaire, linéarité. Bref rappel sur les intégrales impropres, les fonctions intégrables et les dominations usuelles. Convexité: ensembles convexes, exemple des boules d’evn. Cône tangent et normal à un convexe. Fonctions convexes (définition et premières propriétés). Formule de calcul du cône normal à un convexe défini par des contraintes convexes . (admis)