2 Familles sommables à termes positifs

2.1 Rappels

Rappel 1.6.

La somme $x+y$ avec $x,y\in\overline{\mathbb{R}}$ , est définie à l’exception du cas où $x=\pm\infty$ et $y=-x$ .

Contrairement au cas des limites, on pose $0.+\infty=0$ , $t.+\infty=+\infty$ pour $t>0$ .

Pour un ensemble $A$ non-vide (non-nécessairement borné), on utilise $\sup A$ pour le plus petit majorant $M\in\overline{\mathbb{R}}$ de $A$ et $\inf A$ pour le plus grand minorant $m\in\overline{\mathbb{R}}$ de $A$ .

On utilisera aussi $\inf\emptyset=+\infty$ , $\sup\emptyset=-\infty$ .

Si $(a_{i})_{i=1,...,n}$ est une suite finie (disons de nombres complexes) et $\sigma:[\![1,n]\!]\to[\![1,n]\!]$ une bijection.

La propriété de commutativité de la somme donne:

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{\sigma(i)}.

Démonstration :

En voyant $\sigma$ comme produit de transpositions, il suffit de montrer le résultat pour $\sigma=(jk)$ une transposition avec $j<k$ .

Mais par commutativité ( $a+b=b+a$ ) et associativité ( $(a+b)+c=a+(b+c)$ ) de la somme:

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{\sigma(i)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{j-1}a_{% \sigma(i)}+a_{\sigma(j)}+\displaystyle\sum_{i=j+1}^{k-1}a_{\sigma(i)}+a_{% \sigma(k)}+\displaystyle\sum_{i=k+1}^{n}a_{\sigma(i)}=\displaystyle\sum_{i=1}^% {j-1}a_{i}+a_{k}+\displaystyle\sum_{i=j+1}^{k-1}a_{i}+a_{j}+\displaystyle\sum_% {i=k+1}^{n}a_{i}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}.

□

Corollaire 1.10.

Si $E$ est fini et $e:[\![1,n]\!]\to E$ une bijection, $f:E\to\mathbb{C}$ alors $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(e_{i})$ ne dépend pas de la bijection $e$ . On note

\displaystyle\sum_{e\in E}f(e)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(e_{i}).

Démonstration :

Si on prend une autre bijection $e^{\prime}$ on considère la bijection $\sigma=e^{-1}\circ e^{\prime}$ de sorte que $e\circ\sigma=e^{\prime}$ . La formule de commutativité de la somme conclut:

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(e_{i})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(e_{\sigma(i)}% )=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(e^{\prime}_{i}).

□

Le résultat suivant résume les propriétés de manipulation de ces sommes:

Proposition 1.11.

11.

Si $E$ fini, on a

$Card(E)=\displaystyle\sum_{e\in E}1.$
12.

(Sommation par paquet) Si $E$ fini est une union disjointe finie $E=\displaystyle\bigcup_{i\in I}E_{i}$ (c’est à dire $I$ fini et $E_{i}\cap E_{j}=\emptyset$ si $i\neq j$ ) et $f:E\to\mathbb{C}$ alors:

$\displaystyle\sum_{e\in E}f(e)=\displaystyle\sum_{i\in I}\displaystyle\sum_{e% \in E_{i}}f(e).$

En particulier, on a $Card(E)=\displaystyle\sum_{i\in I}Card(E_{i}).$
13.

(interversion de sommes finies) Si $E, F$ sont finis et $a:E\times F\to\mathbb{C}$ , alors:

$\displaystyle\sum_{e\in E}\displaystyle\sum_{f\in F}a_{e,f}=\displaystyle\sum_% {(e,f)\in E\times F}a_{e,f}=\displaystyle\sum_{f\in F}\displaystyle\sum_{e\in E% }a_{e,f}.$

En particulier, on a $Card(E\times F)=Card(E)Card(F)$ .

Démonstration :

1. Si $Card(E)=n$ , $E=\{e_{1},...,e_{n}\}$ pour une bijection $e:[\![1,n]\!]\to E$ , on a donc $\displaystyle\sum_{e\in E}1=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}1=n$ par définition.

2. On pose $j:[\![1,m]\!]\to I$ une bijection et $n_{i}=Card(E_{j(i)})$ On note $N_{0}=0,N_{i}=\displaystyle\sum_{l=1}^{i}n_{l}$ .

On a $N_{i}-N_{i-1}=n_{i},i\geq 1$ donc on a une bijection (en composant la soustraction de $N_{i-1}$ : $[\![N_{i-1}+1,N_{i}]\!]\to[\![1,n_{i}]\!]$ avec la bijection donnée par la définition du cardinal $[\![1,n_{i}]\!]\to E_{j(i)}$ , $g_{i}:[\![N_{i-1}+1,N_{i}]\!]\to E_{j(i)}.$ On pose $g(k)=g_{i}(k),$ si $k\in[\![N_{i-1}+1,N_{i}]\!]$ . Montrons que $g$ réalise une bijection de $[\![1,N_{m}]\!]\to E.$ En effet, par hypothèse, $E$ est l’union des $E_{j(i)}$ , dont tous les éléments sont atteints par $g_{i}$ , donc par $g$ qui est donc surjective. De plus, si $g(k)=g(l)\in E_{i}$ , comme l’union décrivant $E$ est disjointe, on a $k,l\in[\![N_{i-1}+1,N_{i}]\!]$ et $g_{i}(k)=g_{i}(l)$ et comme $g_{i}$ est injective, on déduit $k=l$ et donc comme $k, l$ sont arbitraires, on déduit que $g$ est aussi injective.

Donc par définition de la somme sur un ensemble (au début et aux deux dernières lignes):

\displaystyle\sum_{e\in E}f(e)=\displaystyle\sum_{k=1}^{N_{m}}f(g(k))=% \displaystyle\sum_{k=1}^{N_{1}}f(g(k))+\displaystyle\sum_{k=N_{1}+1}^{N_{2}}f(% g(k))+\cdots+\displaystyle\sum_{k=N_{m-1}+1}^{N_{m}}f(g(k))=\displaystyle\sum_% {l=1}^{m}\displaystyle\sum_{k=N_{l-1}+1}^{N_{l}}f(g(k))=\displaystyle\sum_{l=1% }^{m}\displaystyle\sum_{k=N_{l-1}+1}^{N_{l}}f(g_{l}(k))=\displaystyle\sum_{l=1% }^{m}\displaystyle\sum_{e\in E_{j(l)}}f(e)=\displaystyle\sum_{i\in I}% \displaystyle\sum_{e\in E_{i}}f(e)

Le résultat sur le cardinal est une application du 1. et de la sommation par paquet pour la fonction $f=1$ constante:

Card(E)=\displaystyle\sum_{e\in E}1=\displaystyle\sum_{i\in I}\displaystyle% \sum_{e\in E_{i}}1=\displaystyle\sum_{i\in I}Card(E_{i}).

3. Il suffit d’appliquer la sommation par paquet aux unions disjointes

E\times F=\cup_{e\in E}\{e\}\times F=\cup_{f\in F}E\times\{f\}.

Pour le cardinal on a par le 1 et la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition:

Card(E\times F)=\displaystyle\sum_{(e,f)\in E\times F}1=\displaystyle\sum_{e% \in E}\displaystyle\sum_{f\in F}1=\displaystyle\sum_{e\in E}Card(F)=Card(F)% \displaystyle\sum_{e\in E}1=Card(E)Card(F).

□

2.2 Définition et premières propriétés

$\bigstar$ Définition 1.4.

Une famille $(a_{i})_{i\in I}$ de nombres réels positifs est dite sommable si

\sup\left\{\displaystyle\sum_{j\in J}a_{j}:J\subset I,\ \mathrm{fini}\ \right% \}<\infty

et alors on note

\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i}=\sup\left\{\displaystyle\sum_{j\in J}a_{j}:J% \subset I,\ \mathrm{fini}\ \right\}.

Tout d’abord, le résultat simple suivant ramène au cas $I$ dénombrable, ce que l’on supposera par la suite:

Lemme 1.12.

Si $(a_{i})_{i\in I}$ est une famille sommable, alors le support $I_{0}=\{i\in I:a_{i}\neq 0\}$ est au plus dénombrable.

Démonstration :

Si $S=\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i}=0$ , alors $I_{0}=\emptyset$ . Sinon si $S=\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i}>0$ et si $I_{n}=\{i\in I:a_{i}\geq S/n\}$ , alors $I_{0}=\cup_{n\geq 1}I_{n}$ est au plus dénombrable comme union d’une suite d’ensembles finis car $Card(I_{n})\leq n$ . En effet, si $j\in I_{n}$ , $a_{j}\geq S/n$ donc si $J\subset I_{n}$ fini $S\geq\displaystyle\sum_{j\in J_{n}}a_{j}\geq SCard(J)/n$ donc $Card(J)\leq n$ et donc $Card(I_{n})\leq n.$ □

On résume les propriétés générales dans l’énoncé suivant:

Proposition 1.13.

14.

(critère des suites exhaustives) Si $(J_{n})_{n\geq 0}$ est une suite exhaustive de parties finies de $I$ , alors la famille $(a_{i})_{i\in I}$ est sommable si et seulement si la suite $(\displaystyle\sum_{i\in J_{n}}a_{i})_{n\geq 0}$ est bornée et alors on a

$\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i}=\sup_{n\in\mathbb{N}}\displaystyle\sum_{i\in J% _{n}}a_{i}=\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i\in J_{n}}a_{i}.$
15.

(lemme de domination) Si $a_{i}\leq b_{i}$ pour tout $i$ et $(b_{i})$ sommable, alors $(a_{i})_{i\in I}$ est sommable et alors $\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i}\leq\displaystyle\sum_{i\in I}b_{i}$ .
16.

(lemme de permutation) Si $(a_{i})_{i\in I}$ est sommable et $\sigma:I\to I$ est une bijection, alors $(a_{\sigma(i)})_{i\in I}$ est sommable de même somme.

Démonstration :

1/ La famille $\displaystyle\sum_{i\in J_{n}}a_{i}$ étant inclus dans la famille des sommes finies, il est clair qu’elle est majorée si la famille est sommable (et on a en passant au sup la partie $\geq$ de l’égalité énoncée). Mais réciproquement toute famille finie est inclus dans un certain $J_{n}$ , par définition d’une suite exhaustive, d’où la borne inverse et la réciproque.

2/ Il suffit de borner les sommes partielles finies $\displaystyle\sum_{i\in J}a_{i}\leq\displaystyle\sum_{i\in J}b_{i}$ et passer au sup.

3/ Pour tout $J$ fini, $\sigma(J)$ est fini donc $\displaystyle\sum_{i\in J}a_{\sigma(i)}=\displaystyle\sum_{i\in\sigma(J)}a_{i}% \leq\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i}.$ D’où la sommabilité et la première inégalité en passant au sup. En considérant la bijection réciproque $\sigma^{-1}$ on obtient de même l’autre inégalité. □

Le dernier résultat généralise la commutativité des sommes.

Corollaire 1.14.

Une famille à termes positifs $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est sommable si et seulement si la série $\displaystyle\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$ est convergente.

2.3 Sommation par paquet et applications

On conclut avec les deux résultats importants, le premier généralise l’associativité des sommes finies. On rappelle qu’une partition $(I_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ de $I$ est une famille d’ensembles 2 à 2 disjoints d’union égale à $I$ .

$\bigstar$ Théorème 1.15 (de sommation par paquets - Cas Positif).

Soit $(I_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ une partition de $I$ . Une famille $(a_{i})_{i\in I}$ est sommable si et seulement si on a à la fois les deux propriétés suivantes:

17.

pour chaque $\lambda\in\Lambda$ , $(a_{i})_{i\in I_{\lambda}}$ est sommable, disons de somme $\sigma_{\lambda}$
18.

et $(\sigma_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ est sommable.

Dans tous les cas (même en l’absence de sommabilité), on a l’égalité:

\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i}=\displaystyle\sum_{\lambda\in\Lambda}\sigma_{% \lambda}\equiv\displaystyle\sum_{\lambda\in\Lambda}\left(\displaystyle\sum_{i% \in I_{\lambda}}a_{i}\right).

Démonstration :

Commençons par la condition nécessaire. Si $(a_{i})_{i\in I}$ est sommable alors les sommes finies d’une sous famille $(a_{i})_{i\in I_{\lambda}}$ sont bornées par les sommes de la famille totale donc on a la première condition de sommabilité et $\sigma_{\lambda}\leq\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i}$ . Plus si on a des sous ensembles finis $J_{1}\subset I_{\lambda_{1}},...,J_{n}\subset I_{\lambda_{n}}$ pour des $\lambda_{j}$ distincts, ils sont disjoints et leur union $J=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}J_{k}$ est un sous-ensemble fini de $I$ donc

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\sum_{i\in J_{k}}a_{i}=\displaystyle% \sum_{i\in J}a_{i}\leq\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i}

Donc en passant successivement au sup sur les $J_{k}$ fini, on obtient :

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sigma_{\lambda_{k}}\leq\displaystyle\sum_{i\in I}a% _{i}.

Donc la famille $(\sigma_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ est sommable et on obtient la première inégalité $\geq$ en passant au sup.

Réciproquement, pour tout $J$ partie finie de $I$ on définit $J_{\lambda}=J\cap I_{\lambda}$ et on obtient un nombre fini de $\lambda$ tel que $J=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}J_{\lambda_{k}}$ . On déduit

\displaystyle\sum_{i\in J}a_{i}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\sum_{% i\in J_{k}}a_{i}\leq\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sigma_{\lambda_{k}}\leq% \displaystyle\sum_{\lambda\in\Lambda}\sigma_{\lambda}.

D’où la bornitude sur $J$ qui donne la sommabilité, et l’autre inégalité en passant au sup. □

Un cas particulier est la “version famille sommable” du théorème de Fubini (qui se généralise à un théorème d’intégration). Le cas positif est nommé théorème de Fubini-Tonelli. Il correspond à la décomposition

I\times J=\cup_{i\in I}\{i\}\times J=\cup_{j\in J}I\times\{j\}.

Il donne un résultat d’interversion des sommes.

$\bigstar$ Théorème 1.16 (de Fubini-Tonelli).

Une famille double $(a_{i,j})_{i\in I,j\in J}$ à termes positifs est sommable si et seulement si on a l’une des deux propriétés équivalentes suivantes:

19.

pour tout $i\in I$ , $(a_{i,j})_{j\in J}$ est sommable et la famille des sommes $(\displaystyle\sum_{j\in J}a_{i,j})_{i\in I}$ est sommable
20.

pour tout $j\in J$ , $(a_{i,j})_{i\in I}$ est sommable et la famille des sommes $(\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i,j})_{j\in J}$ est sommable

Dans tous les cas (même en l’absence de sommabilité), on a l’égalité:

\displaystyle\sum_{(i,j)\in I\times J}a_{i,j}=\displaystyle\sum_{i\in I}\left(% \displaystyle\sum_{j\in J}a_{i,j}\right)=\displaystyle\sum_{j\in J}\left(% \displaystyle\sum_{i\in I}a_{i,j}\right).

Démonstration :

C’est une application directe du résultat de sommation par paquets avec les partitions ci-dessus. □

Exemple 1.2.

Calculons la somme $\displaystyle I=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{j=0}^{% \infty}\frac{1}{(i+j+1)^{2}}$ .

Comme c’est une série à coefficient positifs, chaque somme est somme d’une famille sommable, donc par Fubini-Tonelli, on obtient une somme sur le produit:

I=\displaystyle\sum_{i\in\mathbb{N}}\displaystyle\sum_{j\in\mathbb{N}}\frac{1}% {(i+j+1)^{2}}=\displaystyle\sum_{(i,j)\in\mathbb{N}^{2}}\frac{1}{(i+j+1)^{2}}.

Comme chaque terme de la somme ne dépend que de $n=i+j+1$ , on a envie de considérer la partition de $\mathbb{N}^{2}=\cup_{n\in\mathbb{N}^{*}}\Lambda_{n}$ avec $\Lambda_{n}=\{(i,j)\in\mathbb{N}^{2}:i+j+1=n\}$ . Par le théorème de sommation par paquet, on a :

I=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{(i,j)\in\Lambda_{n}}\frac% {1}{(i+j+1)^{2}}.

Il suffit donc de calculer $\displaystyle\displaystyle\sum_{(i,j)\in\Lambda_{n}}\frac{1}{(i+j+1)^{2}}$ Mais $\Lambda_{n}$ est fini de taille $n$ vu $\Lambda_{n}=\{(i,n-1-i):0\leq i\leq n-1\}\simeq[\![0,n-1]\!]$ , donc $\displaystyle\displaystyle\sum_{(i,j)\in\Lambda_{n}}\frac{1}{(i+j+1)^{2}}=% \frac{\mathrm{Card}(\Lambda_{n})}{n^{2}}=\frac{1}{n}.$ C’est le terme d’une série de Riemann divergente, donc $I=+\infty$ et les familles ne sont pas sommables.

2 Familles sommables à termes positifs

2.1 Rappels

Rappel 1.6.

Corollaire 1.10.

Proposition 1.11.

2.2 Définition et premières propriétés

★ Définition 1.4.

Lemme 1.12.

Proposition 1.13.

Corollaire 1.14.

2.3 Sommation par paquet et applications

★ Théorème 1.15 (de sommation par paquets - Cas Positif).

★ Théorème 1.16 (de Fubini-Tonelli).

Exemple 1.2.

$\bigstar$ Définition 1.4.

$\bigstar$ Théorème 1.15 (de sommation par paquets - Cas Positif).

$\bigstar$ Théorème 1.16 (de Fubini-Tonelli).