Chapitre 1 Ensembles dénombrables et Familles sommables

Un espace de probabilité discret (disons dénombrable) associe des nombres, les probabilités aux évènements de base $\left\{{\omega }_i\right\}$, correspondant aux éléments ${\omega }_i$ de l’espace des réalisations et en sommant à des évènements plus compliqués. Comme ces nombres vont être associés à des ensembles, l’ordre de sommation de ces nombres ne doit pas importer. On va donc étudier une notion de sommation de série où l’ordre de sommation n’importe pas. Le but est donc pour une famille de nombres ${\left(u_i\right)}_{i\in I}$, indicée par un ensemble infini $I$ (le plus souvent dénombrable) de définir la somme:

en conservant les propriétés de commutativité et d’associativité des sommes finies.

Même dans le cas $I=\mathbb{N}$, le but est d’obtenir une notion de sommation qui ne privilégie pas les sous-ensembles finis $[[0,n]]$ comme la notion de somme de série usuelle. On verra que dans ce cas, cette notion de sommation coïncide avec la convergence absolue que vous connaissez déjà.

Le but de la Théorie de la mesure sera d’étendre cette construction à des espaces dits mesurés (de probabilité ou de masse totale différente de 1), incluant les espaces probabilités continues. Le principe de la construction sera le même et généralisera le cas plus simple de ce chapitre.