Chapitre 3 Ensembles et fonctions convexes, Introduction à l’optimisation

Vous avez vu en L2 qu’une fonction $C^1$ $f$ qui atteint un minimum sur un ouvert en $x$ satisfait une condition nécessaire du première ordre $\nabla f\left(x\right)=0$ et si $f$ est $C^2$ on peut garantir que c’est un minimum local si sa hessienne est définie positive.

Il reste les questions : comment avoir un minimum global ? comment avoir unicité du minimum ? Une réponse va être obtenue en étudiant une notion, qui, dans le cas des fonctions $C^2$, sera équivalente à une positivité globale de la hessienne. L’avantage est qu’on peut trouver une définition : la notion de fonction convexe, sans hypothèse de dérivabilité et qui va être robuste et permettre d’obtenir aussi des critères d’optimisation du premier ordre, sur des ensembles eux aussi convexes (pas forcément ouverts).

On suppose donc que $E$ est un espace vectoriel (e.v.) sur $ℝ$.