Résumé : Dans un travail commun avec Victor Ginzburg, nous avons introduit une généralisation des algèbres de réflexions symplectiques (ARS) d'Etingof et Ginzburg. Un intéret immédiat est la possiblité d'agrandir l'espace des paramètres de déformation. Le premier fait vérifié par les ARS généralisées est une propriété de Poincaré-Birkhoff-Witt (PBW). Pour la démontrer, nous énonçons et démontrons une version de type N du théorème de PBW. Ici N est le degré des relations, le cas des ARS de Etingof et Ginzburg correspondant à N=2.
Résumé : Si G est un groupe algébrique linéaire semisimple connexe, une G-variété magnifique est une G-variété algébrique projective avec des propriétés qui ont été inspirées par les compactifications d'espaces homogènes symétriques dues à De Concini et Procesi. Les variétés magnifiques ont un rôle central dans la théorie des variétés sphériques. Dans l'exposé, nous nous intéresserons à une question posée dans un article de Michel Brion en 1990: si X est une variété magnifique, on se demande si X peut être réalisée comme sous-variété de l'espace projectif d'un G-module simple.
Résumé :
Let B be a Borel subgroup in a reductive algebraic group over an
algebraically closed field k. In this talk, we shall study the
B-cohomology of 1-dimensional B-modules. In characteristic zero, this is
an easy well-known description of this cohomology whereas the
corresponding problem in characteristic p>0 is wide open. We shall
introduce some new techniques which enable us to compute all such
cohomology in degrees at most 3 when p is larger than the Coxeter number
for G. Our methods also apply to the corresponding question for quantum
groups at roots of unity.
This is joint work with H. H. Andersen.
Résumé : Dans cet exposé, nous utiliserons la combinatoire des carquois pour définir de nouvelles pseudo-résolutions des variétés de Schubert minuscules. Nous décrirons grâce à celles-ci le modèle canonique, ainsi que tous les modèles minimaux relatifs des variétés de Schubert minuscules. Nous expliquerons ensuite comment, à partir de ces modèles minimaux, décrire toutes les résolutions petites (au sens de la cohomologie d'intersection) des variétés de Schubert minuscules.
Résumé : A chaque variété torique, Cox a associé son "anneau des coordonnées" ; c'est une algèbre de polynômes qui contient beaucoup d'informations sur la variété. On expliquera comment généraliser cette construction aux variétés sphériques ; en général, on n'obtient plus une algèbre de polynômes, mais le quotient d'une telle algèbre par des relations de type quadratique. Par exemple, l'anneau des coordonnées sur la variété des drapeaux G/B est l'algèbre des fonctions régulières sur G/U.
Résumé : Après avoir présenté le point de vue introduit par V. G. Berkovich dans l'étude de la géométrie analytique sur un corps non archimédien, nous expliquerons qu'il existe une notion de convexité naturelle sur les espaces analytiques obtenus. Celle-ci, apparaissant comme un analogue précis de la théorie du (pluri-)potentiel sur les espaces analytiques complexes, a des applications arithmétiques que nous mentionnerons.
Résumé : We study generators and defining relations of automorphism groups of free algebras (associated to Koszul operads).
Résumé : On étudie la topologie des variétés de carquois étoilés de Nakajima et des variétés de représentations du groupe fondamental des surfaces de Riemann privées de points respectivement à l'aide des théories des caractères de gl(n,q) et GL(n,q). On donne une formule conjecturale pour le polynôme de Hodge mixte de ces variétés de représentations à l'aide de la théorie des fonctions symétriques à deux paramètres. (Travail en commun avec T. Hausel et F. Rodriguez-Villegas).
Résumé : Si G est un groupe réductif connexe complexe et V un G-module rationnel de dimension finie, V. Alexeev et M. Brion ont construit le schéma de Hilbert invariant, qui paramètre les sous-schémas de V fermés, G-stables dont l'algèbre des fonctions donne une représentation de G à multiplicités finies fixées. On décrira ce schéma dans le cas le plus simple, qui paramètre les déformations invariantes du cône des vecteurs de plus haut poids dans un G-module irréductible. La classification que l'on obtiendra est liée à celles (déjà connues) des algèbres de Jordan simples complexes d'une part, et des paires de variétés de drapeaux dont l'une est un diviseur ample de l'autre.
Résumé : Il y a une action naturelle du groupe SL(2,R) sur les strates de l'espace des modules des différentielles abéliennes, dont les orbites sont les disques de Teichmüller. On expliquera comment énumérer les orbites des surfaces à petits carreaux et compter les surfaces à petits carreaux de chaque orbite, dans le cas des différentielles abéliennes de genre deux avec un zéro double. Il s'agit de résultats obtenus avec Pascal Hubert et avec Emmanuel Royer.
Résumé :
Nous donnons une classification des idéaux à droite gradués
réflexifs d'une algèbre Artin-Schelter régulière cubique de dimension
trois. En particulier, nos résultats s'appliquent à l'algèbre
enveloppante de l'algèbre de Lie de Heisenberg et nous en déduisons une
classification des idéaux à droite de l'anneau d'invariants
A1⟨φ⟩ de la première algèbre
de Weyl
A1=k⟨x,y⟩/(xy-yx-1)
sous l'automorphisme φ(x)=-x,
φ(y)=-y.
Ce travail a été effectué en collaboration avec Koen De Naeghel.
Résumé : Dans cet exposé, nous allons définir une super-trace (notée Str) sur l'algèbre de Weyl W, à l'aide du star-produit de Moyal. Nous présenterons ensuite deux applications de cette définition : tout d'abord, nous examinerons les actions adjointe et adjointe tordue sur W. Puis, nous définirons une super-trace renormalisée sur un sous- espace de l'algèbre des opérateurs sur les polynômes. Cette super- trace étend d'une part, Str sur W, et d'autre part, la super-trace naturelle sur les opérateurs de rang fini.
Résumé : Dans cet exposé, je donnerai une méthode de calcul du produit de la classe d'un fibré en droites par la classe du faisceau structural d'une variété de Schubert dans la K-théorie équivariante d'une variété de drapeaux.
Résumé : Suivant Uglov, nous introduisons les espaces de Fock de niveau supérieur, qui sont certaines représentations de l'algèbre quantique affine de type A. La base canonique de l'espace de Fock est définie à l'aide d'une certaine involution. Nous donnons ici une expression combinatoire de la dérivée à q=1 de la matrice de cette involution. La matrice ainsi trouvée (au facteur 2 près) est en fait une matrice de valuations p-adiques de facteurs de déterminants de Gram qui apparaît dans la formule sommatoire de Jantzen pour les v-algèbres de Schur cyclotomiques de Dipper-James-Mathas.
Résumé : Dès l'introduction des algèbres de Hecke affines et de leurs versions doubles, des généralisations de la dualité de Schur-Weyl du cas classique ont été développées. Récemment, une généralisation de cette dualité a été donnée pour des versions dégénérées (algèbres de Cherednik) des doubles algèbres de Hecke affines, en type A. On propose une version en type B de cette généralisation.
Résumé : Le quotient d'un espace vectoriel de dimension finie par l'action d'un sous-groupe fini d'automorphismes est une variété en général singulière. Sous bonnes hypothèses, la correspondance de McKay relie la géométrie de bonnes résolutions des singularités aux représentations du groupe. Pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine, nous étudions comment différentes correspondances sont reliées les unes aux autres.
Résumé : Les algèbres clusters peuvent être réalisées comme algèbres codant une catégorie triangulée appelée catégorie des clusters. Cette réalisation repose essentiellement sur une propriété de type Calabi-Yau et sur une version réactualisée de la théorie des objects basculants (tilting objects).
Ce séminaire participe à l'ACM.
Voir la programmation du séminaire d'algèbre 2004-2005, 2003-2004 et 2002-2003.