Mathias Pétréolle

Thème de recherche

Mon thème de recherche principal est la combninatoire énumérative et algébrique, et s'articule essentiellement autour de deux sous-axes, les partitions d'entiers et les groupes de Coxeter.
Le premier axe concerne les partitions d'entiers, et plus particulierement l'utilisation d'icelles pour obtenir des développements combinatoires des puissances (non nécessairement entières) de la fonction êta de Dedekind en termes de longueurs d'équerres, à l'instar de Han et Nekrasov-Okounkov. Mon approche, bijective, utilise notament les identités de Macdonald en types affines (en particulier le type afine C), généralisant ainsi l'approche de Han pour ces types. Les développements obtenus sont ensuite étendus avec des paramètres supplémentaires, grâce à de nouvelles propriétés de la décomposition de Littlewood vis à vis des partitions et des statistiques utilisées.
Le second axe concerne les groupes de Coxeter, et plus précisément les éléments cycliquement pleinement commutatifs de ces groupes. Nous avons développé une construction, la clôture cylindrique, qui fournit un cadre analogue pour l'étude de ces éléments à ce que fut la théorie des empilements pour l'étude des éléments pleinement commutatifs. Cette construction permet de donner une caractérisation de tels éléments, et ainsi de les énumérer suivant la longueur pour les groupes de Coxeter finis et affines.De plus, en utilisant la théorie des automates finis, nous avons montré que la série génératrice de ces éléments est toujours une fraction rationnelle.
Le manuscrit (en français) de la thèse se trouve ici.

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