Historique de la Licence – Double Licence Mathématiques et Économie

Topologie et théorie de la mesure

UE Topologie et théorie de la mesure.

Dénombrabilité et familles sommables.
• Ensembles dénombrable et au plus dénombrable : définitions et propriétés de base ( stabilité par union dénombrable et produit finis)
• Exemples d’ensembles non-dénombrables.
• Définition des familles sommables. Relation de la sommabilité à la convergence
d’une série et invariance par permutation.
• Théorème de Sommation par paquet
Espaces métriques
• Distance, boules, distance produit; suites : convergence, limite, valeurs d’adhérence.
• Espaces vectoriels normés : définitions ; exemples : normes sur R^n (normes p), normes sur des espaces de suites, normes sur des espaces de fonctions.
• Topologie des espaces métriques : ouverts, topologie ; fermés ; intérieur, adhérence,
espaces séparables : topologie induite.
• Applications continues : définition métrique, caractérisation topologique,
caractérisation séquentielle, continuité uniforme, applications lipschitziennes .
•Continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés (normes
subordonnées).
Espaces métriques complets
• Suites de Cauchy.
• Espaces complets. Séries dans un espace vectoriel normé complet.
• Applications de la complétude : Théorème du point fixe pour les applications contractantes. Théorème de prolongement des applications uniformément continues.
• Exemples d’espaces complets, espaces de Banach : espaces de fonctions (continues bornées, linéaires continues). Complétude d’un e.v.n de dimension finie et applications (équivalence des normes, continuité des applications linéaires)
Espaces métriques compacts
• Propriété de Bolzano-Weierstrass. (Propriété de Borel-Lebesgue facultative)
• Propriétés des parties compactes. Produit fini d’espaces métriques compacts.
• Les compacts d’un e.v.n. de dimension finie.
• Fonctions continues sur un compact (image d’un compact par une application continue, continuité uniforme
Convexité
• Convexité dans un espace vectoriel. Le cas de l’espace euclidien R^n..
• Propriétés des fonctions numériques convexes définies sur un intervalle de R. Caractérisation différentielle des fonctions convexes sur R^n.
• Optimisation sur R^n. : théorème de minimisation d’une fonction convexe sous contrainte convexe avec CNS du premier ordre.
Intégration
• Rappels sur les intégrales généralisées (intégrales de Riemann) : étude de la convergence des intégrales de fonctions positives, intégrales de référence, critères de comparaison. Compétence visée : savoir étudier l’intégrabilité de fonctions données explicitement.
• Notion de limsup et liminf.
• Tribus, tribus engendrées, tribu borélienne, Fonctions mesurables. Lemme de classe monotone (preuves admises)
• Mesures, exemples : mesure de comptage, mesure de Dirac, mesure de Lebesgue (construction admise).
• Définition de l’intégrale et propriétés générales (preuves admises)
• Théorèmes de convergence : théorème de convergence monotone ; lemme de Fatou ; théorème de convergence dominée.
• Lien avec l’intégrale de Riemann et les familles sommables.
• Intégrales à paramètre : continuité, dérivabilité.
• Mesure produit, théorème de Fubini. (admis)
• Inégalité de Jensen
• Changement de variables (admis).
• Introductions aux espaces L^p : inégalités de Hölder et Minkowski. Complétude.
Espaces de Hilbert
• Rappels : Inégalité de Cauchy-Schwartz, identité du parallélogramme,
• Théorème de la projection sur un ensemble convexe fermé.
• Théorème de représentation de Riesz
• Théorème des bases hilbertiennes. (Exemples : séries de Fourier et polynômes d’Hermite).

UE Analyse pour l’économie 1.

1. Intégrales impropres. Critères de comparaison, des équivalents, et de convergence absolue.

2. Séries numériques. Critères de comparaison et des équivalents. Critères de d’Alembert et Cauchy. Comparaison avec une intégrale impropre. Séries alternées.

3. Suites et séries de fonctions. Convergence simple et uniforme. Continuité, intégrale et dérivée de la limite d’une suite et d’une série de fonctions.

4. Séries entières réelles. Rayon de convergence. Développement en série entière des fonctions classiques. Exemples d’applications aux équations différentielles. Séries entières complexes : l’exponentielle.

5. Norme éuclidienne et autres normes sur Rn. Ouverts, fermés. Suites. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Compacts de Rn. Limites et continuité de fonctions de plusieurs variables. Théorème de Weierstrass.

6. Compléments. Le but de ce chapitre est de démontrer ce qui a été admis en L1 : Théorème de Bolzano-Weierstrass. Continuité uniforme. L’intégrale des fonctions en escalier. Intégrales des fonctions régléés. Définition de l’intégrale de Riemann.

Analyse pour l’économie 2.

1. Calcul différentiel dans Rn. Dérivées le long d’une direction. Le vecteur gradient. Dérivées partielles. Différentiabilité et théorème de la différentielle totale.

2. Matrice jacobienne. Inégalité de la moyenne. Différentiabilité de la fonction composée. Règle de la chaine.

3. Intégrales multiples. Intégrales doubles et triples de fonctions continues. Théorèmes de Fubini et du changement de variables (admis). Coordonnées polaires et sphériques.

4. Matrice hessienne. Formes quadratiques. La formule de Taylor d’ordre 2. Applications à la recherche d’extrema libres.

5. Courbes et surfaces. Courbes et surfaces paramétrées dans R2 et R3: droite tangente, verseur normal. Formules pour la longueur et l’aire (admises).

6. Fonctions implicites. Le théorème des fonctions implicites dans R2 et R3.

7. Optimisation sous contrainte. Théorème des multiplicateurs de Lagrange.

« Introduction à l’économie » 42H CM/18HTD

Jean-Louis Rullière & Caroline Champagne

Le programme de l’UE « introduction à l’Economie » est organisé avec un cours en deux parties et un travail de lecture sur un ouvrage précisé à l’étudiant qui lui permettra d’appréhender les problèmes économiques contemporains à travers le prisme de la la théorie économique.

-Dans une première partie, il est exposé les grands principes méthodologiques de cette discipline qui est nouvelle pour la plupart des étudiants.

A partir d’exemples très simples qui sont pour la plupart du temps tirés de la vie économique contemporaine, il est abordé des définitions fondamentales de concepts couramment utilisés: les différences entre optimum et équilibre; entre efficacité et efficience; entre valeur relative et valeur absolue en terme par exemple de prix ou de performance; entre équilibre général et équilibre partiel; entre micro-économie et macroéconomie. Une insistance est prononcée sur les différentes formes d’interaction économique qui permettent par la suite d’introduire les théories de la décision de l’interaction stratégique et des marchés parfaits. La distinction fondamentale entre bien privé, bien commun et bien public est aussi présentée, ainsi que le concept d’externalité positive et négative. Le cours présente aussi aux étudiants quelques-uns des grands enjeux de l’actualité économique, en mettant un peu plus l’accent sur les questions microéconomiques.

-Dans une seconde partie, l’UE est très largement consacré à la présentation des bases de la microéconomie en tant qu’instrument de conception de la prise de décision économique. Pour ce faire, cette partie est consacrée à la théorie du choix individuel et plus particulièrement sur le choix du consommateur. Le programme sur la décision de consommation est organisé autour de l’analyse :

– Des préférences et l’utilité du consommateur (structures des préférences, fonctions d’utilité, utilité marginale et TMS, fonctions analytiques de l’utilité)

– L’exogénéïté de la contrainte budgétaire dans un cadre de concurrence parfaite

– L’équilibre de décision individuel

– La fonction de demande et ses formes

– La dualité

– Les propriétés d’équilibre (Slutsky) – Relation de Roy. Variation équivalente du revenu (VE) et variation compensatrice du revenu (VC).

– Le surplus du consommateur.

Lecture d’un ouvrage économique (titre et auteur précisé en cours)

Bibliographie conseillée:

Varian, H.R.,(2015), Introduction à la microéconomie, de Boeck

Lesueur J.Y. (2004) , Microéconomie, Ed. Vuibert, coll. Dyna Sup, 2ème édition, Paris.

Pindyck R. et Rubinfeld D. (2017), Microéconomie, Ed. Pearson, 9ème édition, Paris.

Varian H.R. (2008): Analyse Microéconomique, Ed. De Boeck Université 3e ed. Bruxelles

Décision et Jeux

Ce cours comprend deux parties distincts

Partie 1 : Théorie de la Décision.

Essentiellement consacré à une présentation complète du Théorème de l’Utilité Espérée ; suivi des mesures d’aversion au risque (Arrow Pratt) ; y compris les protocoles expérimentaux.

Partie 2 : Théorie des jeux

Qu’est-ce qu’un jeu : représentation des jeux, taxinomie des jeux, convexité et coopération.

Jeux coopératifs et solution de négociation (Nash et Kalai Smorodinsky)

Jeux non coopératifs en information complète:(décision individuelle et dominance, équilibre de Nash, caractérisation élémentaire de l’équilibre)

Jeux séquentiels en information complète (rétroduction et crédibilité, représentation normale et stratégique d’un jeu, Equilibre de Nash parfait en sous jeu)

Les modèles de négociation : Nash, jeu de demande et modèle de Rubinstein. Applications à la négociation sur l’emploi et le salaire.

UE Microéconomie appliquée 2 – Introduction à la finance

L’objectif et d’acquérir les principes, les concepts théoriques, et les outils fondamentaux de la finance de marché et comprendre les différents instruments financiers. Ce cours a pour vocation de faire connaître les modèles fondateurs de l’évaluation des actifs financiers, comprendre la logique financière de leur développement et savoir les appliquer. Acquérir une connaissance des produits de marché (actions, obligations, produits dérivés).

Le programme est le suivant :

Chapitre 1 : Vue d’ensemble des marchés financiers. Fonctions et structure des systèmes financiers. Organisation des marchés financiers. Instruments des marchés financiers.

Chapitre 2 : Marchés des taux d’intérêt. Mesurer les taux d’intérêt ; distinction entre taux d’intérêt et rendement. Structure par risque et structure par terme des taux d’intérêt. Marché monétaire. Marché obligataire.

Chapitre 3 : Marché des actions. Actions et droits des actionnaires. Principaux marchés d’actions et leurs indices. Evaluation d’actions.

Chapitre 4 : Instruments à terme. Utilisation des produits dérivés. Contrats à terme. Options.

Chapitre 5 : Techniques de gestion de portefeuille. Bases théoriques. Diversification des portefeuilles d’actions. Modes de gestion. Mesure de la performance.

Bibliographie conseillée :

Mishkin, Frederic (traduction francaise par Ch. Bordes, D. Lacoue-Labarthe, N. Leboisne, JC Poutineau) (2013) : Monnaie, banque et marchés financiers, Pearson, 10e édition

Portait, Rolland et Poncet, Patrice (2014) : Finance de marché, Dalloz, 4e édition

UE Microéconomie appliquée 1 – Concurrence imparfaite

La concurrence imparfaite désigne une situation de concurrence sur un marché où une au moins des conditions de la concurrence parfaite n’est pas respectée.

Cette unité d’enseignement a pour objectif de comprendre le fonctionnement des marchés imparfaitement concurrentiels à travers l’étude de l’exercice et de l’impact des principales sources du pouvoir de marché (nombre limités d’offreurs, barrières à l’entrée, collusion) et des interactions stratégiques entre entreprises rivales . Elle constitue aussi une introduction à l’application de la microéconomie de la concurrence imparfaite dans de nombreux domaines de la science économique.

Face à la concurrence parfaite, la concurrence imparfaite offre une très grande diversité de situations. Les thématiques retenues dans ce cours portent sur :

-Le passage de la concurrence parfaite à la concurrence imparfaite (relâchement des hypothèses de la concurrence parfaite).

– l’analyse étendue du pouvoir du monopole avec d’une part les problématiques de la place du(des) monopole(s) dans la filière de production (double marge, monopole en chaine) et des questions relatives aux fusions et restrictions verticales . D’autre part, la question de la discrimination par les prix du monopole et son impact sur le bien-être de la société.

-L’oligopole et la prise en compte des interdépendances des décisions des agents (Duopole de Cournot, duopole de Stackelberg et duopole de Bertrand).

– La prise en compte de la différenciation des produits en oligopole et la question de l’entrée sur un marché différencié (Concurrence monopolistique)

-Thèmes de microéconomie industrielle et de politique de la concurrence

-La question de l’entrée sur un marché et l’abus de position dominante.

-Les ententes et la politique de la concurrence.

– Les fusions horizontales et le contrôle des concentrations.

Bibliographie conseillée:
Gabszewicz J.J.,(2003), La concurrence imparfaite, La Découverte

Varian H.R. (2008). Analyse microéconomique, De Boeck université

UE Lecture d’économie 1.

Le but de cette UE est l’analyse critique d’articles de l’actualité économique. L’autre finalité est de renforcer les étudiants à la pratique de l’exposé oral en public. Une liste de thèmes et de lectures est proposée par l’équipe pédagogique. Les étudiants doivent effectuer une présentation structurée devant la classe. Les présentations seront suivies d’un temps d’échange.

UE -Lectures d’économie 2.

A partir d’un article de recherche en économie portant sur les thèmes du programme d’économie effectué au cours des semestres précédents ou de regards croisés, l’étudiant devra réaliser une fiche de lecture sur une question microéconomique ou macroéconomique qu’il faudra rédiger et présenter à l’oral devant un ou plusieurs enseignants. Il sera demandé à l’étudiant de contextualiser et de décrypter la ou les questions de recherche auxquelles le ou les auteur(s) essaient de répondre, en s’attachant à la méthodologie retenue et aux résultats obtenus ainsi qu’à la discussion de ces résultats par les auteurs.

UE Analyse des données.

L’objectif de cette UE est de proposer une introduction à l’analyse de données et la classification. Cet enseignement peut-être vu comme une première étape avant l’étude de méthodes de machine learning et d’apprentissage statistique. Ces domaines sont en pleine expansion, aussi du point de vue pratique que théorique, et ouvre la porte à de nombreuses applications. Les outils nécessaires aux enseignements proposés dans cette UE s’inscrivent dans la continuité des thèmes abordés au sein de la licence Mathématiques et Economie: probabilités, statistique, algèbre linéaire, analyse, etc… Programme: Quelques éléments d’analyse descriptive (1CM), Analyse en composantes principales et éventuelles variantes (4CM + 2TP), Clustering et classification non-supervisées (3CM + 2TP), Classification supervisée (3CM + 2TP), Introduction aux réseaux de neurones.

UE Recherche opérationnelle.

Cette UE a pour but d’introduire les méthodes de la programmation mathématique classiquement utilisées en recherche opérationnelle :

Programmation mathématique classique (formulation d’un programme linéaire, algorithme et méthode du simplexe, théorème de dualité), application aux problèmes posés en variables entières et/ou booléennes.

Ordonnancement : méthodes MPM et PERT.

Eléments de programmation convexe : méthode de Franck et Wolfe, méthode des plans sécants de Kelley

Eléments de programmation sans contraintes : méthodes de gradient, méthodes directes, méthodes par essaims particulaires et autres méthodes modernes (heuristiques et méta-heuristiques).

Un tour d’horizon des logiciels de résolution de ces différents problèmes est prévu.

UE Informatique et bases de données.

Ue mutualisée avec la L3 mathématiques générales

Ce cours permet d’aborder :

La notion de complexité : étude de différentes méthodes de tri. Des algorithmes numériques : résolutions d’équations linéaires à l’aide du pivot de gauss, décomposition LU de matrices, inverses de matrices. Des algorithmes non numérique : Les problèmes élémentaires sur les graphes (fermeture transitive, plus court chemin, arbre de poids minimal), parcours des graphes en largeur et profondeur (utilisation des files et piles et de la récursivité).

Implémentation en langage python. Remise a niveau dont lecture de fichiers nettoyage de données et sauvegarde dans des fichiers.

UE Mathématiques financières.

L’objectif de ce cours est de présenter les notions principales de mathématiques financières et d’expliquer la notion de la valeur temporelle de l’argent. Dans un premier temps, les différents types de taux (intérêts simples, intérêts composés) seront présentés. Le cours permettra ensuite d’appliquer ces notions au calcul d’échéanciers de flux (annuités constantes, annuités non-constantes). Enfin, ces notions seront appliquées aux emprunts obligataires et aux emprunts indivis.

UE Probabilités approfondies.

Variables aléatoires discrètes et absolument continues. Indépendance. La loi forte des grands nombres, lemme de Borel-Cantelli.
Convergence en loi, théorème de P. Lévy, théorème central limite.
Vecteurs gaussiens : définition, indépendance, densité.
Conditionnement : espérance conditionnelle, cas des variables discrètes et continues, cas gaussien.
Chaînes de Markov: définition, propriété de Markov, classification des états, loi stationnaire.

UE Économétrie 2.

Ce cours propose des compléments sur le modèle linéaire général et présente les tests et solutions en cas de violation de certaines hypothèses du théorème de Gauss-Markov. Il aborde la question de l’autocorrélation des erreurs, puis celle de la présence d’hétéro-scédasticité, introduisant les estimateurs des Moindres Carrés Généralisés et Quasi-Généralisés, et de la multi-colinéarité. Il propose aussi une introduction à l’économétrie des séries temporelles et à l’économétrie des variables qualitatives (modèles binaires : logit, probit). Ces notions sont abordées en portant une attention particulière à l’utilisation pratique de l’outil et logiciels économétriques pour répondre à des questions économiques à partir de données réelles.

UE Équations différentielles

UE mutualisée avec la L3 mathématiques générales

On traite des équations différentielles dans R^n.

Rappels sur les équations linéaires scalaires du premier ordre ; lemme de Gronwall.
Problème de Cauchy. Notion de solutions maximales, globales.
Théorème de Cauchy-Lipschitz.
Théorème des bouts.
Étude des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.
Étude qualitative. Équilibres, stabilité. Portraits de phase.

Anglais : La TR5 propose des contenus travaillant les 5 compétences langagières. Le prérequis de cet enseignement est le niveau B1 du cadre européen de référence, et les objectifs sont :

– Obtenir le niveau B2 du cadre européen de référence.
– Acquérir l’anglais de spécialité (lexique, particularités de la langue) .
– S’exprimer à l’oral en situation similaire à des situations professionnelles (entretien d’embauche, réunions, débats, échanger avec des pairs, savoir parler de sa formation et son expérience).
– Aborder la lecture d’article scientifique et pouvoir le décrire à l’oral dans une situation informelle de discussion avec des pairs et progresser en expression et compréhension orales et écrites (CV, lettres de motivation).

– Développer un regard critique sur les documents (niveau de fiabilité du document, ton, information implicite, humour, cohérence…

– Etre capable de rédiger une synthèse de différents documents

Les étudiants étrangers non-francophones d’origine inscrits à l’université Lyon 1 rencontrant des difficultés langagières ne leur permettant pas de suivre de manière optimale leurs études ont la possibilité de choisir FLE (Français Langue Etrangère) à la place de l’anglais. L’enseignement vise le développement des compétences de compréhension et expression orales et écrites axées sur le monde du travail et la poursuite des études.

UE Microéconomie Avancée – Économie des ressources humaines

L’économie des ressources humaines est devenue depuis quelques années un domaine spécifique de l’économie du travail, au même titre que l’économie de la famille ou encore l’économie de l’éducation. Ayant acquis ses titres de noblesse outre atlantique via les travaux sur le Personnel economics de E.P. Lazear, cette littérature aborde des problèmes d’économie du travail appliqués à l’entreprise. Ce domaine de spécialité de l’économie du travail a pu se développer et s’enrichir à partir des travaux de la nouvelle microéconomie qui centre l’éclairage sur les problèmes d’incitation en présence d’asymétries informationnelles dans le contrat de travail. Il s’agit ainsi d’ouvrir la boite noire du contrat de travail pour aborder dans un cadre d’information incomplète, les problèmes auxquels sont régulièrement confronté, les employeurs comme les salariés dans l’entreprise. Les champs de réflexion abordés dans ce cours couvrent toutes les étapes de la vie active d’un salarié dans une entreprise, de son entrée à sa sortie. On y étudie le problème du financement de la formation professionnelle, de la sélection des candidats lors de l’embauche, de la mise en place d’un schéma de motivation du personnel via le recours à des incitations monétaires ou non monétaires, des mécanismes de promotion, de la gestion des coûts de rotation de main d’œuvre, de la détermination d’un job design optimal pour apparier les compétences aux tâches, jusqu’à la gestion des conflits dans l’entreprise. Une des difficultés majeures du management des ressources humaines est de pouvoir concilier l’efficacité des mécanismes de marché (incitations versus sanctions) avec l’existence d’institutions et de règles (lois, conventions collectives, syndicat) qui visent à corriger les inégalités et à protéger les salariés dans leurs conditions de travail. Comment concilier le critère de Pareto qui gouverne l’efficacité du marché avec le critère de justice sociale Rawlsien sur la base duquel sont généralement fondées les institutions du marché du travail ? Au-delà, les travaux de l’économie comportementale ont fait apparaitre de nombreux biais comportementaux qui centrent l’éclairage sur les limites de la rationalité des agents et la prise en compte nécessaire de leurs émotions (culpabilité, honte, sens du devoir, aversion à la compétition, à l’inégalité, procrastination, locus de contrôle…) dans leurs décision en matière de management des RH. Les nombreuses applications économétriques menées sur données d’entreprises, les études de cas et les illustrations offertes par les expériences naturelles ou en laboratoire de l’économie expérimentale, fournissent des illustrations concrètes tout au long du cours.
Sans vouloir être exhaustif sur un sujet régulièrement alimenté par une littérature internationale particulièrement dense tant dans le domaine appliqué que théorique, le cours est structuré de la manière suivante :

Introduction : Genèse de l’économie des Ressources Humaines et enjeux
CH1: Le recrutement comme investissement en capital humain
CH2: Sélection à l’embauche et signalement en information asymétrique
CH3: Systèmes de rémunération et incitations monétaires
CH4: Schémas de motivation et incitations non monétaires
CH5: Institutions, captures de rentes et gestion des conflits

Bibliographie: NB: Le cours est construit à partir d’articles publiés dans la littérature internationale. Les éléments de bibliographie ci-dessous offrent un simple cadrage méthodologique qui ne saurait se substituer au contenu du cours. Lazear E. P. And M. Gibbs (2014), Personnel economics in Practice, 3nd ed. John Wiley and sons, NY, 416 pages Lazear E.P. (1998), Personnel economics for Managers, John Wiley and sons, NY Ed, 538 pages Lazear E.P. (1996), Personnel economics, The MIT Press ed., Cambridge, 170 pages Lesueur J.Y. et M. Sabatier (2008), Microéconomie de l’emploi: Théories et applications, Ed. de boeck, coll. Ouvertures économiques, 256 pages Milgrom P. et J. Roberts, (1997), Economie, Organisation et Management, Ed. De Boeck Univ. Coll. Ouvertures économiques, 830 pages. Stankiewicz F. (1999), Economie des Ressources Humaines, Ed; La Découverte, coll. Repères, 111 pages

UE Économétrie 1

Ce cours est une introduction à l’économétrie. Il s’intéresse à la définition de l’économétrie, à sa méthodologie et il illustre l’approche économétrique par des exemples économiques simples. Le but de ce cours est de fournir les instruments à ce type d’approche en donnant des détails nécessaires pour comprendre pourquoi et quand tel ou tel instrument est nécessaire. La mise en œuvre des techniques d’estimation via des logiciels sera présentée. L’idée est de permettre aux étudiants l’acquisition d’outils d’économétrie linéaire qu’ils pourront ensuite appliquer aux différents domaines de l’économie.

UE- Structures discrètes et applications.

Le cours présente des concepts fondamentaux de la théorie de l’ordre et des graphes. Ces concepts sont à la base de méthodes d’organisation, de reconstruction, d’extraction et de traitement de données. Ces méthodes sont utilisées en Economie, Sciences Sociales, Informatique, Recherche Opérationnelle ou Biologie.

Une introduction à l’ordre (les théorèmes de Erdös-Szekeres, de Dilworth, Sperner,Szpilrajn, Tarski).
Les objets de base. Pré-ordres, ordres, partitions, arbres ; relations d’incidence. Comparaison et proximité (métrique, métrique sur les arbres, arbres phylogéniques). Treillis complets ; fermeture, pré-fermeture, engendrement, partie libre, famille de Moore, fermeture algebrique, matroïdes, antimatroïdes.
Fonctions boolénnes (le ou, le et, le non, le implique, par les tableaux; le treillis des propositions, complétude).
Correspondance de Galois et treillis de Galois; exemples : complété de MacNeille et treillis des sections initiales. Relations Ferrers. Ordres et graphes d’intervalles. Introduction l’analyse formelle des concepts, analyse de questionnaires. Dépendances, implications, échelle de Guttman, base canonique d’un treillis de Galois (Guigues – Duquenne).
Représentation d’un ensemble ordonné dans un produit de chaînes, dimension au sens de Dushnik-Miller. Extensions linéaires et sections initiales. Dualité entre ensembles ordonnés et treillis des sections initiales.
Graphes; chemins, connexité, cycles eulériens et hamiltoniens, nombre chromatique. Graphes et matrices.
Mots sur un alphabet fini; mots bien parenthésés, énumération de motifs, codes, comparaison de séquences. Brève introduction aux automates finis et aux langages reconnaissables.

Ordres et choix : agrégation des préférences (des choix individuels au choix collectif), paradoxe de Condorcet, le théorème de McGarvey, la règle de Borda, le théorème de Arrow. Analyse de scrutins.
Eléments de géométrie combinatoire. Equivalences et carrés latins. Plans d’expériences.

UE Algèbre linéaire, bilinéaire et analyse matricielle.

UE mutualisée avec la L3 mathématiques générales

Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques, dualité. Rang, forme non dégénérée. Matrice d’une forme, formule de changement de base, matrices congruentes, orthogonal d’une partie, formule sur la dimension de l’orthogonal. Un espace et son orthogonal, existence d’une base orthogonale.

Classification des formes quadratiques sur R, signature. Décomposition d’une forme quadratique en sommes et différences de carrés (algorithme de Gauss).
Classification des formes quadratiques sur C.
Espaces euclidiens (rappels) : inégalité de Cauchy-Schwarz. Procédé d’orthonormalisation. Endomorphisme adjoint. Diagonalisation des endomorphismes symétriques. Réduction des endomorphismes orthogonaux.
Espaces hermitiens : endomorphisme adjoint, endomorphisme hermitien. Diagonalisation des endomorphismes normaux dans une base orthonormale.
Décompositions : LU, QR, en valeurs singulières.
Normes matricielles, normes subordonnées. Lien avec le rayon spectral. Suites de matrices, itérées de matrices.
Théorème de Perron-Frobenius.
Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires.
Approximation spectrale, méthode de la puissance.
Approximation par la méthode des moindres carrés.
Algorithmes de gradient

UE de Stage.

Ce stage constitue une première exposition avec les conditions réelles d’exercice d’une profession. Le stage peut être effectué en entreprise, ou dans un laboratoire ou un établissement publique, en liaison avec le projet professionnel de l’étudiant. Il doit conduire à une connaissance de l’entreprise ou de l’administration, et de son fonctionnement spécifique.

L’étudiant recherche lui-même son établissement d’accueil, éventuellement avec l’aide du SOIE. Son choix doit être validé par le responsable de l’UE via l’application Ellipse et faire l’objet d’une convention d’accueil. Le stage comporte au minimum une soixantaine d’heures de présence dans l’établissement. Hormis une phase préalable d’observation, le stagiaire doit, en accord avec son maitre de stage, effectuer des tâches en participation accompagnée, et dans la mesure du possible, des tâches en pleine responsabilité.

Rapport de stage et Soutenance : À l’issue du stage, l’étudiant rédige un rapport de cinq à dix pages qu’il remet à son tuteur pédagogique (l’un des membres du jury de l’UE). Ce rapport fait l’objet d’une soutenance de 10-15 minutes devant un jury.

Evaluation : L’évaluation de l’étudiant est alors faite par l’ensemble du jury en fonction du contenu du stage, de la qualité du rapport et de la soutenance.

Idéalement, ce stage doit avoir une durée entre 4 et 8 semaines et être effectué en été après le semestre 4, pour être ensuite crédité au semestre 5. Les étudiants n’ayant pas commencé leur stage avant le début du semestre 5 ne pourront avoir d’inscription pédagogique à cette UE: une autre UE de 6 ECTS leur sera proposée en alternative à l’UE « Stage ».

UE Probabilités – Statistiques 2.

UE mutualisée avec la licence accès santé

L’objectif est d’initier les étudiants à la statistique inférentielle : estimation ponctuelle, par intervalle de confiance, test d’hypothèses, comparaison de moyennes et de fréquences, tests du chi2, tests non paramétriques. Une série de TP est proposée sur le logiciel libre R. – Rappels sur les bases des probabilités (retour sur la modélisation, conditionnement, indépendance, variables aléatoires discrètes, à densité, fonction de répartition, espérance, variance) – Fonctions génératrices, moments – Théorèmes limites (loi des grands nombres, théorème central limite) – Statistiques descriptives – Estimation et échantillonnage – Tests de Student – Tests non paramétriques

UE Microéconomie 2 – Marchés et Equilibre Général

Ce cours a pour objectif de développer la capacité à expliquer certains faits stylisés de la concurrence contemporaine et les orientations de la politique de la concurrence, à partir des outils étudiés dans les chapitres du cours et de comprendre les fondements de la politique de redistribution des revenus et des choix collectifs à travers:

-Les extensions de l’étude des équilibres d’agent et applications (arbitrages inter-temporel, choix en avenir incertain, biais comportementaux, économie de l’assurance…)

– La Modélisation des formes contemporaines de la concurrence et compréhension des fondements de la déréglementation des marchés et de la dérégulation des monopoles;

-L’Etude des mécanismes de formation des prix en équilibre partiel dans les situations de concurrence imparfaite sur le marché des produits et sur le marché du travail (monopole vs monopsone);

-L’Introduction à l’équilibre général et à la théorie du bien être dans une économie d’échange et application à la nouvelle théorie de la réglementation (modèle principal – agent et ses extensions).

Le programme du cours est le suivant :

Chapitre1 : Equilibres d’agents : Extensions

Section 1 : La théorie du consommateur : rappels. Section 2 : Le paradoxe de l’offre de travail. Section 3 : Economie du crime et paradoxe de la délinquance. Section 4: Choix inter-temporel et incohérence dynamique. Section 5 : Choix en incertitude : la fonction d’utilité VNM.

Chapitre 2 : Marchés de référence, dérèglementation et contestabilité.

Section 1 : La Concurrence Pure et Parfaite et ses limites. Section 2 : Monopole, surplus collectif et tarification. Section 3 : Monopsone et discrimination. Section 4 : Marchés contestable et déréglementation.

Chapitre 3 : L’échange en équilibre général.

Section 1 : Notations et présentation de l’économie d’échange. Section 2 : La boîte d’Edgeworth. Section 3 : L’échange par les prix et l’équilibre général. Section 4 : Equilibre général et loi de Walras. Section 5 : Equilibre général et économie du bien–être. Section 6 : Modèle principal – agent, réglementation des contrats et bien être collectif. Section 7 : Introduction à l’économie de l’assurance.

Bibliographie recommandée : En microéconomie :

Lesueur J.Y. (2004) : Microéconomie, Ed. Vuibert, coll. Dyna Sup, 2ème édition, Paris.

Lesueur J.Y. et Sabatier M. (2008), Microéconomie de l’Emploi, Ed. De Boeck, Bruxelles.

Picard P. (2011) : Elements de Microeconomie, Tome 1 : Théorie et applications, 8ème Ed., Domat Montchrestien, Paris.

Pindyck R. et Rubinfeld D. (2017), Microéconomie, Ed. Pearson, 9ème édition, Paris.

Schotter A. (1996), Microéconomie : une approche contemporaine, Ed. Vuibert, Paris.

Varian H.R. (2008): Analyse Microéconomique, Ed. De Boeck Université 3e ed. Bruxelles

UE Application économiques sous Python

Ce cours a pour objectif de préparer les étudiants à utiliser les outils informatiques pour répondre à des problématiques présentant une dimension économique. Il s’appuiera sur le langage Python pour aborder des implémentations de solutions utiles à des applications telles que l’optimisation de portefeuille ou le problème du voyageur de commerce.

Après quelques rappels sur le stockage de l’information dans les principaux systèmes d’exploitation, une première partie portera sur les environnements au sein desquels la programmation et l’exécution de code Python peuvent avoir lieu. Des bonnes pratiques de programmation seront également présentées.

Un second volet portera sur les détails du langage Python et les structures de données qu’il offre pour la programmation d’un certain nombre d’algorithmes classiques. La mesure des performances du code, et le concept de complexité seront abordés. Une sélection de bibliothèques classiques dans le contexte de la data science (chargement de données, visualisation, calcul) seront introduites à travers les diverses applications qui seront proposées.

UE Microéconomie 2 – Introduction à la gestion

Le cours introduit les notions, démarches et outils fondamentaux de la gestion. Présentation des notions essentielles : gestion, environnement, marché et stratégie,

UE Microéconomie appliquée 2 – Économie Publique

Si Le premier théorème fondamental du bien-être établit que l’équilibre de marché conduit à un optimum économique sous certaines hypothèses. Ce cours s’attache précisément à étudier les conséquences d’une remise en cause de ces hypothèses. On parle alors de défaillance du marché, et l’équilibre n’est plus optimal. Après une révision et discussion des théorèmes du bien-être le cours aborde spécifiquement deux sources de défaillances de marché : les externalités (théorème de Coase, taxe pigouviennes, tragédie des communs, externalités de position) et les biens publics (Mécanisme de Lindhal, bien public dichotomique, mécanisme de Clarke-Groves). Une dernière section traite spécifiquement de la question de l’agrégation des préférences et présente le théorème d’impossibilité d’Arrow. Le programme est le suivant :

Introduction. Définition de l’économie publique. Les principales questions en économie publique. Quelques statistiques sur les dépenses publiques.- Quelques théories sur l’intervention de l’état.

Chapitre 1. Les théorèmes du bien-être. -Les deux théorèmes fondamentaux. -Les hypothèses de l’utopie. L’intervention dans une économie de marchés concurrentiels : défaillance des marchés et politique redistributive.

Chapitre 2 : Les Externalités. Les types d’externalités. Définitions : externalité de consommation et de production. Cas particuliers : La tragédie des communs et les externalités de position.Les différentes solutions. Normes et standards. Taxes pigouviennes. Théorème de Coase. Marchés de droits d’émissions.

Chapitre 3 : Biens publics. Définitions. Biens publics et biens privés. Typologies des biens publics. Expérience du resquilleur. L’offre de bien publics. Provision optimale et condition de Samuelson Allocation, distribution et mécanisme de Lindahl. Le financement des biens publics. Bien public dichotomique : Mécanisme à pivot. Mécanisme de Clarke-Groves.

Chapitre 4 : La taxation. Les effets économiques de la fiscalité. Théorie de l’incidence fiscale. Distorsions fiscales et les pertes sociales. La théorie de l’impôt optimal. Légitimité de l’impôt. Critères d’efficacité et d’équité.

Chapitre 5 : L’agrégation des préférences. Principe de la règle majoritaire. Propriétés de la majorité simple. Théorème de l’électeur médian. Alternatives à la majorité simple et propriétés de la règle de Borda. Analyse du choix collectif. Théorème d’impossibilité de Arrow. Théorème de Hansson. Théorème de Gibbard et Satterthwaite.

Bibliographie conseillée :

– Dennis C. Mueller (2010). Choix publics, De Boeck université

– Salanié B. (1998). Microéconomie, Les défaillances du marché, Economica

– Salanié B. (2002). Théorie économique de la fiscalité, Economica

– Varian H.R. (2008). Analyse microéconomique, De Boeck université

UE Macroéconomie 2. 21h CM/9hTD

Partie 1 – Economie Ouverte

Chapitre 1 : Taux de change et balance courante.

Chapitre 2 : La balance commerciale et l’équilibre de la balance des paiements (modèle de Mundell Fleming).

Chapitre 3 : Les régimes de change et politiques économiques

Partie 2 – Fluctuation et croissance

Chapitre 1 : Faits stylisés sur la croissance économique.

Chapitre 2 : Modèle de Solow.

« Probabilités et statistiques 3 »

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L’objectif est d’initier les étudiants aux modèles linéaires suivants : Régression linéaire simple ; Régression linéaire multiple ; Analyse de la variance à un ou deux facteurs ; Analyse de la covariance. Une série de TP est proposée sur le logiciel libre R.

« Diagonalisation et Algèbre bilinéaire. »

Algèbre linéaire : Rappels sur les espaces vectoriels et les matrices. Déterminant et trace. Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique. Théorème de Cayley-Hamilton, polynôme minimal. Diagonalisation des matrices. Puissances d’une matrice, exponentielle de matrices.

Algèbre bilinéaire. Formes bilinéaires, orthogonalité, formes quadratiques, réduction de Gauss, signature, théorème de Sylvester. Produits scalaires, espaces vectoriels euclidiens. Réduction des matrices symétriques réelles.

Ouvertures :

Aux côtés des unités d’enseignement (UE) fondamentales propres à chaque discipline, les étudiants choisissent un ECUE complémentaire et d’ouverture qui fait partie intégrante de la formation. Ces ouvertures sont rattachées à des domaines de compétences tels que techniques de communication, sensibilisation à l’entreprenariat, sensibilisation aux métiers de l’enseignement, gestion de projets, développement durable. Cette diversité de choix d’ouvertures validée par les équipes de formation autorise la découverte, aiguise la curiosité et l’envie d’approfondir les connaissances, qualités fondamentales de tout diplômé. Ces ECUE d’ouverture sont proposés sur 3 semestres et recouvrent 6 crédits pour la licence. Ils participent à la construction d’un parcours plus personnalisé pour l’étudiant et lui permettent de développer des compétences qui seront amenées à évoluer et à s’enrichir au fil de son cursus universitaire.

Projet Personnel & Professionnel PPP4 : Analyser ses compétences et exprimer son projet personnel et professionnel

Les objectifs de cet enseignement sont :

– Se positionner dans un projet de métier et élaborer une stratégie de formation

– Exprimer son projet professionnel afin de se préparer à de futurs entretiens

– Analyser et valoriser ses compétences

– Obtenir une évaluation constructive visant à améliorer une prochaine prestation

Les étudiants sont amenés à travailler sur une expérience professionnelle ou personnelle qu’ils ont vécue par l’intermédiaire de l’outil PEC. L’objectif pédagogique est d’identifier les compétences mises en œuvre et de les valoriser dans le cadre d’un futur projet professionnel. Enfin le PPP4 met les étudiants en situation d’entretien de motivation cours d’une audition individuelle de 10 minutes avec un jury (enseignants, doctorants et professionnels, anciens étudiants de l’université). Au cours de cette présentation, l’étudiant expose ses objectifs professionnels actuels, son parcours personnel, ses stratégies, ses points forts. Il s’agit d’une mise en situation formative pour préparer d’éventuels entretiens de sélection. L’étudiant prend conscience en direct, à travers les réactions du jury, de ce qu’il doit encore préciser dans son projet ou améliorer dans sa présentation.

Compétences linguistiques :

Anglais : La TR4 se concentre sur la compréhension de l’oral et l’expression écrite. Le prérequis de cet enseignement est le niveau A2+ du cadre européen de référence, et les objectifs sont :

– Obtenir le niveau B1 du cadre européen de référence.
– Etre capable de comprendre à l’oral dans des situations variées (débit rapide, bruit de fond, accents, thèmes et niveaux de langue divers…) et savoir transférer des informations obtenues à l’écrit et à l’oral en forme écrite (pas une traduction, mais un transfert de données d’une compétence linguistique à une autre).
– Exploiter les documents écrits et oraux pour son usage personnel (lexique, expressions…).
– S’entraîner de manière systématique à la compréhension audio (logiciels, documents vidéo, DVD, télévision, entraînement avec les tuteurs, ressources Internet.

Les étudiants étrangers non-francophones d’origine inscrits à l’université Lyon 1 rencontrant des difficultés langagières ne leur permettant pas de suivre de manière optimale leurs études ont la possibilité de choisir FLE (Français Langue Etrangère) à la place de l’anglais. L’enseignement vise le développement des compétences de compréhension et expression écrites à partir de différents supports (articles, documents vidéos et audio techniques).

Projet Personnel & Professionnel PPP3 : Découvrir les réalités professionnelles

6 conférences apportent aux étudiants une vision globale du monde de l’entreprise (connaissance de l’entreprise, initiation au droit du travail,…) et leur donnent les bases pour concevoir leurs outils de recherche de stage/emploi (initiation au CV, usages des réseaux, etc).

Anglais : Le prérequis de cet enseignement est le niveau A2 du cadre européen de référence, et les objectifs sont :
– Obtenir le niveau A2+ du cadre européen de référence.
– Progresser en compréhension écrite et expression orale.
– Savoir transférer des informations obtenues à l’écrit et à l’oral en forme orale (pas une traduction, mais un transfert de données d’une compétence linguistique à une autre).
– Acquérir une lecture rapide, par exemple rechercher efficacement des informations sur Internet.
– Rendre les étudiants suffisamment autonomes dans la lecture de textes scientifiques.
– Donner les outils nécessaires aux étudiants pour l’apprentissage de la prononciation et du vocabulaire liés à leurs domaines.

Les étudiants étrangers non-francophones d’origine inscrits à l’université Lyon 1 rencontrant des difficultés langagières ne leur permettant pas de suivre de manière optimale leurs études ont la possibilité de choisir FLE (Français Langue Etrangère) à la place de l’anglais. L’enseignement est axé plus particulièrement sur une amélioration des compétences de compréhension et expression orales.

Activités sportives

Cette formation vise à développer chez l’étudiant les qualités, entre autres, de communication, la prise de responsabilités et les capacités à travailler en équipe. Elle lui permet également d’élaborer et de mener à terme des projets à travers la pratique des activités physiques, sportives et artistiques. Deux niveaux de pratique sont possibles :

Niveau 1 Initiation et Perfectionnement : Il s’agit de suivre un cours d’éducation physique et sportive dans une activité au choix, avec un enseignant spécialiste, où les objectifs sont d’acquérir des savoirs faire et des savoirs être liés à cette activité.

Niveau 2 Pratique Sportive Compétitive : Il s’agit de pratiquer une activité physique et sportive dans un cadre associatif et compétitif. Cette pratique a pour but de déboucher sur des compétitions interuniversitaires organisées par le Comité Régional du Sport Universitaire (CRSU) de Lyon.

Projet Personnel & Professionnel PPP2 : Exploration professionnelle

Les objectifs de cet enseignement sont :

– Mieux se connaître

– Mieux connaître le monde professionnel

– Identifier ses valeurs

– Anticiper ses choix d’orientation, en fonction de ses choix propres et des représentations sociales associées aux différents métiers

Cet enseignement demande aux étudiants de prendre des contacts avec les milieux professionnels et ainsi de confronter aux réalités leurs représentations des activités professionnelles envisagées: une démarche active de recherche et de traitement de l’information est requise. Il propose une découverte de l’outil PEC, utilisé de façon plus approfondie dans la suite de la formation universitaire.

Le dossier de PPP2 est l’occasion de mettre en pratique les techniques de recherche documentaire apprises au même semestre.

Compétences linguistiques :

Anglais : L’objectif principal de la TR2 est de mettre l’accent sur la pratique de l’expression orale :
– Obtenir le niveau A2 du cadre européen de référence.
– Pouvoir s’exprimer simplement, clairement et sans appréhension à l’oral.
– Acquérir l’anglais « de survie » (situations, vocabulaire essentiel, etc…).
– Comprendre le sujet d’un document oral ou écrit et pouvoir le restituer simplement à l’oral.
– Acquérir des méthodes d’apprentissage adéquates.

Les étudiants étrangers non-francophones d’origine inscrits à l’université Lyon 1 rencontrant des difficultés langagières ne leur permettant pas de suivre de manière optimale leurs études ont la possibilité de choisir FLE (Français Langue Etrangère) à la place de l’anglais. L’enseignement est axé sur une amélioration des compétences de compréhension et expression orales et écrites et sur les spécificités culturelles ou industrielles de la France, par exemple.

Anglais : l’enseignement est dispensé dès le 1er semestre de la première année. Le prérequis de cet enseignement est le niveau A1 du cadre européen de référence, et les objectifs sont :

Pour les étudiants de niveau A1

– Obtenir le niveau A2 du cadre européen de référence.

– Pouvoir s’exprimer simplement, clairement et sans appréhension à l’oral.

– Acquérir l’anglais « de survie » (situations, vocabulaire essentiel, etc…).

– Comprendre le sujet d’un document oral ou écrit et pouvoir le restituer simplement à l’oral.

– Acquérir des méthodes d’apprentissage adéquates.

Pour les étudiants plus avancés:

– Progresser dans leur niveau du cadre européen de référence.

– Pouvoir s’exprimer clairement et sans appréhension à l’oral, avec un vocabulaire et une structure adéquate correspondant à leur niveau.

– Comprendre le sujet d’un document oral ou écrit et pouvoir le restituer à l’oral et le résumer dans une rédaction écrite qui tient compte de la situation de rédaction (formelle, informelle, etc.)

– Acquérir des méthodes d’apprentissage adéquates.

Cet enseignement comprend, en alternance, 10h présentielles et 10h d’apprentissage en autoformation guidée (1 cours et un travail personnel de type encadré par un enseignant la semaine suivante sur le modèle des classes inversées), terminées par un bilan personnel qui place l’étudiant dans un niveau (avis consultatif de l’enseignant) et permet à l’étudiant de définir un projet d’apprentissage personnalisé. Dans le cas particulier du cursus préparatoire au métier d’ingénieur (PMI), l’enseignement des langues est totalement présentiel (20h).

Les étudiants étrangers non-francophones d’origine inscrits à l’université Lyon 1 rencontrant des difficultés langagières ne leur permettant pas de suivre de manière optimale leurs études ont la possibilité de choisir FLE (Français Langue Etrangère) à la place de l’anglais. L’enseignement en TR1 est axé sur une mise à niveau des compétences de compréhension et expression orales et écrites et la familiarisation avec l’université française et les méthodes de travail à la française.

Élaborer une stratégie de recherche en fonction de ses besoins d’information, rechercher efficacement des ouvrages, des articles ou des informations sur le web et évaluer les résultats de ses recherches sont des compétences indispensables à tout étudiant qui souhaite réussir à l’Université.

Pour répondre à ces objectifs, l’enseignement est centré sur trois axes :

– Acquisition de connaissances : les différents types de documents et d’outils, les éléments d’une référence bibliographique, le plan de classification en bibliothèque

– Acquisition des compétences d’analyse et de synthèse : méthodologie, préparation de stratégie de recherche, évaluation de l’information.

– Acquisition de savoir-faire : utilisation des fonctionnalités des outils de recherche (recherche avancée sur le web, utilisation de moteurs de recherche et de bases de données scientifiques comme Techniques de l’Ingénieur, manipulation de catalogues de bibliothèques et de librairie)

Cet enseignement permet de couvrir le domaine 4 du référentiel national du C2i® niveau 1 et vient donc compléter l’enseignement « usages du numérique » qui s’est déroulé au semestre précédent (TR 1).

Au cours de cet enseignement, les étudiants constituent la bibliographie de leur dossier pour PPP2, bibliographie qui est évaluée dans le cadre de l’ECUE Recherche Documentaire.

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Représentation binaire des réels (pour Info, avec TP) : Nombres dyadiques, développement binaire. Relation à la représentation des nombres entiers en binaire et décimal.
Nombres réels : nombres rationnels et irrationnels, densité de Q dans R, partie entière, nombres décimaux, approximation d’un réel par un décimal, développement décimal d’un rationnel. La construction de R est hors programme.
Dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations. Dérivabilité implique continuité. Caractérisation de la dérivabilité en un point par les DL d’ordre 1. Calcul de valeurs approchées à l’aide d’un DL d’ordre 1, majoration de l’erreur.
Extremum local et point critique.
Egalité et inégalité des accroissements finis.
Caractérisation des fonctions dérivables constantes, monotones, strictement monotones sur un intervalle.
Suites récurrentes, ordre de convergence en liaison avec le théorème des accroissements finis. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2. Suites extraites.
Fonctions de classe C^k. Opérations.
Développements limités et Formule de Taylor-Young. On limitera la pratique aux petits ordres et aux calculs simples. Développements asymptotiques, interprétation/utilisation des DL à l’ordre 2, extrema, ordre de convergence, étude asymptotique des fonctions et des suites, etc.
Convexité. Définition, propriété du graphe, caractérisation à l’aide des dérivées. Applications : inégalités de convexité et extrema.
Formule de Taylor-Lagrange.
Méthode de Newton pour la résolution de f(x)=0 pour une fonction f de R dans R. Ordre de convergence en liaison avec Taylor-Lagrange d’ordre 2.
Applications à l’Interpolation (pour Info, avec TP) : Splines cubiques. Erreurs d’interpolation (sans preuve). On illustrera en TP sans détailler les algorithmes de résolution de systèmes linéaires.
Intégrale de Riemann : définition succincte de l’intégrale de Riemann, preuves omises, l’étude détaillée de l’intégrale de Riemann et les preuves seront faites en Analyse 3. Théorème fondamental du calcul intégral (admis). Primitives. Intégration par parties, changement de variables. Primitives de fractions rationnelles. Formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre n pour les fonctions C^{n+1}.
Équations différentielles linéaires du 1er ordre, Principe de linéarité. Méthode de variation de la constante. Problème de Cauchy bien posé.
Équations différentielles linéaires du 2nd ordre à coefficients constants. On se limitera aux seconds membres simples.

Ce cours est un premier cours de probabilités. Il doit tout d’abord permettre aux étudiants d’appréhender la notion de modélisation probabiliste grâce à un espace de probabilité et à des variables aléatoires. Les étudiants apprennent aussi à mettre en œuvre des calculs simples, en utilisant en particulier les lois de probabilité usuelles.

– Espace probabilisé – Conditionnement et indépendance – Variables aléatoires discrètes, lois classiques : loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique, loi de Poisson, loi uniforme – Espérance, variance – Couples de variables aléatoires discrètes – Variables aléatoires continues : loi uniforme, loi normale et loi exponentielle – Théorèmes limites : une introduction.

Chapitre 1 : objets d’étude de la macroéconomie. Présentation théorique et empirique des principaux agrégats macroéconomiques. Grands principes méthodologiques. Historique des grandes étapes historiques de la construction de la macro-économie

Chapitre 2 : la synthèse néoclassique et le modèle keynésien.

Chapitre 3 : le modèle IS-LM.

Chapitre 4 : le modèle offre globale / demande globale.

Chapitre 5 : premiers enjeux de l’économie monétaire.

Ce cours est très largement consacré à la présentation des bases de la microéconomie en tant qu’instrument de conception de la prise de décision des entreprises dans un marché concurrentiel.

L’introduction traite des fondements du raisonnement économique (rareté, raisonnement à la marge, coûts d’opportunité, profit économique, efficience) et des problèmes économiques auxquels font face les entreprises (nature et quantité de biens à produire, techniques de production à utiliser, organisation de la production, recours ou non à la sous-traitance, détermination des salaires, coordination avec le marché).

Les chapitres suivants traitent de l’efficacité des technologies de production, des rendements d’échelle, du profit, des fonctions de coûts et de la différence entre le court terme et le long terme en économie.

Ces concepts permettent de définir et résoudre le programme d’optimisation des entreprises, c’est-à-dire de déterminer les quantités que l’entreprise concurrentielle a intérêt à produire et par quel processus de production.

De cette théorie du producteur (individuel), il est ensuite possible de dériver une analyse de l’offre de marché, par agrégation de l’offre de chaque entreprise.

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Calcul matriciel : opérations, inverse, opérations élémentaires. Calcul de l’inverse. Déterminant des matrices 2×2. Interprétation matricielle d’un système linéaire. Pivot de Gauss.
Espaces vectoriels : définition d’un corps commutatif (on se limitera aux espaces vectoriels sur Q, R et C dans ce cours). Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels. Familles libres, génératrices, bases (on se limitera à des familles finies). Somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires. Espaces vectoriels de dimension finie. Exemples d’espaces vectoriels : description de tous les sous-espaces vectoriels de R^2 et R^3, R^n, espaces de fonctions, de suites (suites récurrentes linéaires d’ordre deux), de matrices, K_n[X]. Théorème de la base incomplète.
Applications linéaires : définition, matrice d’une application linéaire, noyau, image, caractérisation de l’injectivité. Image d’une famille libre/génératrice/base, rang, théorème du rang. Retour sur les matrices : rang/noyau d’une matrice, matrices équivalentes, toute matrice est équivalente à une matrice diag(1,…,1,0…0), transposition, rg(A) = rg(tA), trace, changement de base, matrices semblables. Endomorphismes, exemples : projections, symétries, rotations dans le plan, contre-exemple des translations.
Applications en TD aux droites, cercles, plans, sphères et leurs intersections. Pivot de Gauss sur de petits systèmes en liaison avec la géométrie.

Géométrie cartésienne : Calcul vectoriel en coordonnées dans la base canonique de R^2 et R^3. Équation des droites et des coniques du plan en forme canonique (cercle, ellipse, parabole, hyperbole). Transformations du plan (translations, applications linéaires comme rotations, réflexions, homothéties), similitudes directes et inverses. Interprétation complexe. Équations des plans, des droites et des sphères, cylindres et cônes en forme canonique dans l’espace. Similitudes directes (en particulier translations, homothéties, rotations), critère de cocyclicité.

L’UE LIFAP1 proposée aux étudiants de première année de Licence Math / Info permet d’acquérir des connaissances de base en algorithmique. Une fois la syntaxe algorithmique assimilée, la traduction se fera dans un langage impératif. Ainsi, le programme de l’UE peut se subdiviser en deux grandes parties :

1- Algorithmique :

syntaxe algorithmique
écriture d’algorithmes
structures de contrôle : itérations, conditions
sous-programmes (fonctions / procédures)
mode de passage des paramètres dans des sous programmes
tableaux / chaînes de caractères
structures

2- Programmation impérative : Traduction dans un langage de programmation adapté des notions algorithmiques étudiées (fonction/ procédure, alternative, séquence, structures, tableaux, chaînes de caractères, …)

Culture numérique (3 crédits ECTS):

Les enjeux de la maîtrise des compétences numériques sont nombreux, car ces compétences sont indispensables pour évoluer librement, de manière responsable et en toute autonomie dans un environnement quotidien fortement imprégné d’usages numériques. Ainsi, cet enseignement porte sur les compétences numériques utiles aux personnes engagées dans des formations de l’enseignement supérieur dans une perspective de formation tout au long de la vie. Les champs de compétence couverts sont structurés en différents domaines qui répondent aux situations rencontrées dans un contexte de formation en présence ou à distance, en formation initiale ou tout au long de la vie. En effet, en tant qu’apprenant il est notamment nécessaire de rendre compte de son travail en produisant des documents efficacement (Domaine 3), de communiquer avec ses pairs et son institution (D5) dans le respect des règles et usages (D2) inhérents au travail dans un environnement numérique riche et évolutif (D1).

Cet enseignement, qui permet ainsi de couvrir 4 des 5 domaines du référentiel national du C2i® niveau 1, est complété au semestre suivant (TR 2) par celui de « Recherche Documentaire » qui porte plus particulièrement sur la nécessité de se documenter et de se tenir informé (D4).

Cet enseignement comprend, en alternance, 12h présentielles et 10h d’apprentissage en autoformation guidée (1 cours et un travail personnel de type encadré par un enseignant la semaine suivante sur le modèle des classes inversées), terminées par un bilan personnel qui place l’étudiant dans un niveau (avis consultatif de l’enseignant) et permet à l’étudiant de définir un projet d’apprentissage personnalisé.

« Introduction à l’économie » 42H CM/18HTD

Jean-Louis Rullière & Caroline Champagne

Le programme de l’UE « introduction à l’Economie » est organisé avec un cours en deux parties et un travail de lecture sur un ouvrage précisé à l’étudiant qui lui permettra d’appréhender les problèmes économiques contemporains à travers le prisme de la la théorie économique.

-Dans une première partie, il est exposé les grands principes méthodologiques de cette discipline qui est nouvelle pour la plupart des étudiants.

A partir d’exemples très simples qui sont pour la plupart du temps tirés de la vie économique contemporaine, il est abordé des définitions fondamentales de concepts couramment utilisés: les différences entre optimum et équilibre; entre efficacité et efficience; entre valeur relative et valeur absolue en terme par exemple de prix ou de performance; entre équilibre général et équilibre partiel; entre micro-économie et macroéconomie. Une insistance est prononcée sur les différentes formes d’interaction économique qui permettent par la suite d’introduire les théories de la décision de l’interaction stratégique et des marchés parfaits. La distinction fondamentale entre bien privé, bien commun et bien public est aussi présentée, ainsi que le concept d’externalité positive et négative. Le cours présente aussi aux étudiants quelques-uns des grands enjeux de l’actualité économique, en mettant un peu plus l’accent sur les questions microéconomiques.

-Dans une seconde partie, l’UE est très largement consacré à la présentation des bases de la microéconomie en tant qu’instrument de conception de la prise de décision économique. Pour ce faire, cette partie est consacrée à la théorie du choix individuel et plus particulièrement sur le choix du consommateur. Le programme sur la décision de consommation est organisé autour de l’analyse :

– Des préférences et l’utilité du consommateur (structures des préférences, fonctions d’utilité,utilité marginale et TMS, fonctions analytiques de l’utilité)

– L’exogénéïté de la contrainte budgétaire dans un cadre de concurrence parfaite

– L’équilibre de décision individuel

-La fonction de demande et ses formes

– La dualité

-Les propriétés d’équilibre (Slutsky) – Relation de Roy. Variation équivalente du revenu (VE) et variation compensatrice du revenu (VC).

– Le surplus du consommateur.

Lecture d’un ouvrage économique (titre et auteur précisé en cours)

Bibliographie conseillée:

Varian, H.R.,(2015), Introduction à la microéconomie, de Boeck

Lesueur J.Y. (2004) , Microéconomie, Ed. Vuibert, coll. Dyna Sup, 2ème édition, Paris.

Pindyck R. et Rubinfeld D. (2017), Microéconomie, Ed. Pearson, 9ème édition, Paris.

Varian H.R. (2008): Analyse Microéconomique, Ed. De Boeck Université 3e ed. Bruxelles

Algèbre 1

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Calculs algébriques : manipulation des sommes et des produits de familles finies de nombres réels, sommes et produits télescopiques, sommes géométriques, factorisation de a^n-b^n par a-b, factorielle et coefficients binomiaux, formule du binôme de Newton, sommes doubles et produit de deux sommes finies.

Vocabulaire et raisonnement mathématique : Notion de axiome, définition, proposition, théorème, corollaire, lemme, conjecture, hypothèse, thèse.
Logique : connecteurs « et » et « ou », quantificateurs, implications, contraposition, équivalences, négation, types de preuves : disjonction de cas, contraposition, absurde, analyse-synthèse, récurrence. Principes de rédaction. Illustrer avec des exemples issus du lycée. Il s’agit de donner le vocabulaire et les notations. La manipulation se fera au fur et à mesure des UE de première année.
Ensemble : appartenance, inclusion, parties, opérations : union, intersection, complémentaire, produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles, ensemble des parties d’un ensemble (recouvrement, partition). Il s’agit de donner le vocabulaire et les notations, la manipulation se fera au fur et à mesure des UE de première année. L’interprétation combinatoire de coefficient binomial “k parmi n” comme le nombre de k-parties d’un ensemble à n éléments. Triangle de Pascal.
Applications : image directe, image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité, composition.
Ensembles avec opérations : Opérations internes, propriétés (associative, commutative, distributive, élément neutre). Définition de groupe, groupe abélien, anneau, anneau commutatif, corps, corps commutatif. Exemples (ensembles de nombres, ensembles finis, contre-exemples). Ces notions sont données sans prétention, pour familiariser les étudiants aux termes et pouvoir les utiliser partout dans la suite (comme le vocabulaire mathématique).
Nombres complexes : (la construction de C est hors programme) forme algébrique (parties réelle et imaginaire), opérations, conjugaison, module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d’Euler, formule de Moivre. Rappels et applications à la trigonométrie : linéarisation / polynomialisation. Racines nièmes. Extension au cas complexe des sommes géométriques, de la factorisation de a^n-b^n par a-b et de la formule du binôme de Newton.
Interprétation géométrique des complexes : droites, cercles, affixe d’un point, d’un vecteur, interprétation du module, de l’argument, de la conjugaison,
Équations polynomiales de degré 2 : équations à coefficients réels, équations à coefficients complexes.
Nombres entiers et arithmétique : (Z/nZ hors programme) Divisibilité, diviseurs, multiples, division euclidienne, congruences, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide. Identité de Bézout, théorème de Gauss, équations ax + by = c. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers. Bases de la numération. Relations d’équivalence (la notion d’ensemble quotient est hors programme).
Polynômes sur R ou C. La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, théorème de d’Alembert-Gauss (admis).
Fractions rationnelles. Forme irréductible d’une fraction rationnelle. Fonction rationnelle. Degré, partie entière, zéros et pôles, multiplicités. Décomposition en éléments simples.

Analyse 1 pour mathématiciens

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Les réels : inégalités, valeur absolue, inégalité triangulaire, intervalles, parties majorées, minorées, bornées, majorant, minorant, maximum, minimum. Sup et inf : il s’agit d’introduire ces concepts mais leur maîtrise n’est pas un attendu de cette UE.
Fonctions de R dans R, graphe de fonction, fonction associée à un graphe (domaine, codomaine), opérations sur les graphes : translations et dilatations horizontales et verticales, réflexions par rapport aux axes, restriction, co-restriction, prolongement. Symétries : parité, périodicité. Fonctions majorées/minorées. Sens de variation, fonctions monotones.
Composée de deux fonctions, compatibilité des domaine/image, domaine de la fonction composée. Fonction bijective : une fonction est bijective si son graphe coupe toute droite horizontale en exactement un point.
Image directe, image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité, bijection réciproque, opérations (somme, produit, composition). On mettra l’accent sur le lien entre les propriétés des fonctions et de leurs graphes.
Limite d’une fonction en un point, continuité, dérivabilité (dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un quotient, d’une fonction composée), lien monotonie/signe de la dérivée, théorème des valeurs intermédiaires. On pourra dans un premier temps définir formellement la limite d’une fonction sans démontrer les propriétés relatives aux limites, à la continuité et à la dérivabilité.
Fonctions usuelles : log, exp, cos, sin, tan, ch, sh, th + arcsin, arccos, arctan.
Inéquations, en particuliers inéquations de degré 2.
Suites réelles : définition, monotonie, suites minorées, majorées, bornées. Définition de la limite, convergence, opérations sur les limites, théorème d’encadrement, suites croissantes et majorées/décroissantes minorées (admis). Suites adjacentes. Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Suite extraites et théorème de Bolzano-Weierstrass (admis, la maîtrise des suites extraites et du théorème de Bolzano-Weierstrass n’est pas attendue). Suites de Cauchy, critère de Cauchy.
Limites de fonction. Limites à droite, limites à gauche, unicité de la limite, opérations sur les limites, caractérisation séquentielle de la limite, passage à la limite dans des inégalités, existence d’une limite par encadrements.
Équivalents, petits o, grands O. Croissance comparée. Croissance comparée de base en l’infini (cas O(log(n)) < O(n^k) < O(k^n), f(n) + g(n) = O(f(n)) si g est négligeable devant f).
Continuité en un point. Continuité à gauche, à droite. Caractérisation séquentielle de la continuité en un point. Opérations sur les fonctions continues en un point : combinaison linéaire, produit, quotient, composition.
Continuité sur un intervalle. Théorème des valeurs intermédiaires. Algorithme de dichotomie. (Preuves facultatives en Info 🙂 Image d’un intervalle par une fonction continue. Corollaire : cas d’une fonction continue strictement monotone. Théorème des bornes atteintes : toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Image d’un segment par une fonction continue. Une fonction continue sur un intervalle, à valeurs réelles et injectives, est strictement monotone. Toute fonction réelle strictement monotone, définie et continue sur un intervalle, admet une fonction réciproque de même monotonie, définie et continue sur un intervalle.
Interpolation et visualisation (pour Info, avec TP) : Introduction à un logiciel de calcul numérique (Python+ SciPy / Numpy / Matplotlib). Visualisations de fonctions en 2D. Illustration de l’algorithme de dichotomie. Illustration d’interpolations : Interpolations polynomiales (polynômes de Lagrange et forme de Newton), Interpolation linéaire par morceaux.