Archives 2006-2007
Jeudi 7 juin, salle 112, à 16h00, Daniel TIEUDJO,
University of Ngaoundere, Cameroun : Titre : Sur une classe de groupes à un relateur.
Résumé : Cette note est une revue de quelques résultats obtenus sur la classe des
groupes à un relateur de présentation
< a; b; [a m; bn] = 1>, m; n > 1.
Soit Gmn un groupe quelconque de cette classe. Les endomorphismes de G mn sont
caractèrisés. Cette caractérisation permet de démontrer quelques propriétés des sous-
groupes images G mn φ t, où φ est un endomorphisme de Gmn et t, un entier positif.
Le groupe Aut(G mn) des automorphimes de Gmn est décrit et on montre que tout
automorphisme normal de Gmn est intérieur. Les propriétés résiduelles des groupes
Gmn sont étudiées : chaque groupe Gmn est résiduellement fini, résiduellement fini par
rapport à la conjugaison (conjugacy separable), résiduellement fini par rapport à toute
équivallence automorphique (residually finite with respect to automorphic equivalence)
et tout sous-groupe abélien finiment engendré d'un tel groupe est finiment séparable
(finitely separable).
Note : pour plus d'informations sur l'Université de Ngaoundere, vous pouvez consulter les pages :
http://site.voila.fr/cameroon_pics/
http://www.cm.refer.org/edu/ram3/univers/ungaou/ungaou.htm
Mardi 29 mai 2007, salle 112, à 15h30, Mark Sapir,
Vanderbilt University : Titre : Algorithmic and asymptotic properties of R. Thompson group F.
Résumé : Using the representation of F as a diagram group, I shall show how to solve some algorithmic problems in F, and how to embed a Cayley graph pf F into a Hilbert space with minimal possible distortion.
Jeudi 24 mai 2007, salle 112, à 16h00, Gabriel SABBAGH ,
Université Paris 7 : Groupes d'automorphismes de modeles de theories du premier ordre.
Résumé : On demontre que toute theorie du premier ordre ayant un modele infini possede un modele
dont le groupe des automorphismes a une theorie indecidable (cf. Le probleme 12.14 du recueil
de problemes de theorie des groupes de Kourovka). Le resultat decoule d'un nouveau resultat algebrique: l'existence d'un groupe
de presentation finie totalement ordonnable a droite ayant un probleme des mots indecidable.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec V.V. Bludov, M. Giraudet et A.M.W. Glass, dont l'origine
remonte aux premiers travaux de M. Giraudet.
Jeudi 26 avril 2007, salle 112, à 16h00, Daniele Otera,
Institut Fourier, Grenoble : Sur la topologie à l'infini des groupes discrets.
Résumé : Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des invariants de
quasi-isometrie définis à partir de la topologie à l'infini. Après avoir
définis les notions de bouts et de simple connexité à l'infini des groupes,
nous allons expliquer les théorémes de Hopf et de Stallings sur les bouts
des groupes. Nous introduirons aussi une façon quantitative (i.e. une fonction)
de "mesurer" la profondeur des bouts et le "type" de simple connexité à
l'infini, en démontrant l'invariance par quasi-isometries de la croissance
de ces fonctions.
Jeudi 19 avril 2007, salle 112, à 16h00, Isabelle Liousse ,
Université des Sciences et Technologies de Lille 1: Nombres de rotation dans les groupes de Thompson.
Résumé : En 1965, Richard J. Thompson découvrit les deux premiers groupes infinis
de présentation finie simples : T et V. Il réalisa T comme un
sous-groupe d'homéomorphismes affines par morceaux du cercle
R/Z : le groupe des homéomorphismes dyadiques,
c'est à dire donc les pentes sont des puissances de 2, dont les points
de coupures et leurs images sont des nombres dyadiques. Cette réalisation
suggère des généralisations :
En 1985, R. Bieri et R. Strebel définissent le groupe Tr,Λ,A
comme constitué des homéomorphismes affines par morceaux du cercle
R/rZ dont les pentes sont dans Λ (un
sous-groupe multiplicatif de R+*) et les points de coupures
et leurs images dans A (un sous-groupe additif de R contenant
r et Λ-invariant). D'après K. Brown et M. Stein, certains (pas
tous) parmi ces groupes sont de présentation finie et simples. Plusieurs
questions se posent :
- Ces groupes fournissent-ils de nouveaux exemples de groupes simples,
ou plus généralement sont isomorphes entre-eux ?
- Quels sont leurs groupes d'automorphismes ?
R. Bieri et R. Strebel ont décrit très précisément les
isomorphismes et automorphismes qui sont réalisés par des conjugaison
affines par morceaux.
Dans cet exposé, nous expliquerons comment l'étude des nombres de
rotation des éléments de ces groupes associée à des résultats de
rigidité topologique permet de répondre en partie à ces questions et de
mettre en évidence des phénomènes nouveaux dans ces groupes : par
exemple le groupe de Thompson classique T= T1,<2>,Z[1/2] peut être réalisé comme groupe de difféomorphismes
C∞ du cercle alors que le groupe T1,<2,3>,Z[1/6] n'admet pas de réalisation comme groupe de
difféomorphismes C8 du cercle.
Jeudi 22 mars 2007, salle 112, à 16h00, Pierre-Emmanuel Caprace ,
(Oxford): Proprietes de Hopf pour les groupes de Coxeter et complexes cubiques.
Résumé : Motive par les proprietes de Hopf pour les groupes de Coxeter,
on est amene a etudier les classes de conjugaison de certains sous-groupes
a un bout. Ceci est facilite par la geometrie cubique associee a ces groupes
via leur structure d'espaces a murs. Si le temps le permet, on mentionnera
une application a une propriete de finitude des groupes de Kac-Moody.
Jeudi 8 mars 2007, salle 112, à 16h00, Emmanuel Breuillard,
Ecole Polytechnique: Croissance des groupes lineaires et alternative de Tits.
Résumé : Etant donne deux matrices A et B de GL_d(C), combien y a-t-il de
produits de longueur n de ces deux matrices. Si A et B engendrent un
monoide libre, alors la reponse est 2^n bien sur. On tentera de donner des
elements de reponse a la question generale et on montrera comment des
versions uniformes de l'alternative de Tits, i.e. la presence de
sous-monoides ou de sous-groupes libres particuliers, entre en jeu.
Exceptionnellement, vendredi 2 mars, salle 112 à 16h00, Denis Osin,
The City College of New York, CUNY : Lacunary hyperbolic groups.Transparents
Résumé : The talk will be based on the joint paper with A.
Olshanskii and M. Sapir. We call a group lacunary hyperbolic if one of
its asymptotic cones is an R--tree. I will discuss:
1) A characterization of lacunary hyperbolic groups as direct limits
of Gromov hyperbolic groups satisfying certain restrictions on the
hyperbolicity constants and injectivity radii.
2) Common properties of lacunary and ordinary hyperbolic groups.
3) Examples of "exotic" lacunary hyperbolic groups (non--virtually
cyclic amenable, infinite simple, infinite periodic, etc.)
4) The answer to Gromov's question of whether the fundamental group of
any asymptotic cone of any finitely generated group is either trivial
or uncountable. The solution is based on the study of central
extensions of lacunary hyperbolic groups.
5) Solutions of various problems about cut points in asymptotic cones
in Cayley graphs of finitely generated groups.
Jeudi 22 février, salle 112, Laura Ciobanu,
CRM Barcelona : Solving equations in groups.
Résumé : In this talk I will give a short overview of what is known about solving equations in groups, and in particular in free groups. I will then present work on questions about decision problems in free groups, closure computation of subgroups in free groups, and random walks in trees. All these questions can be answered by
studying the solutions to relevant equations. .
Jeudi 8 février, salle 112, Annette Werner,
Stuttgart : Compactifications of Bruhat-Tits buildings and linear representations.
Résumé : Let G be a semisimple algebraic group over a non-Archimedean
local field. We show that linear representations of G give rise
to compactifications of the Bruhat-Tits building associated to G.
This can be seen as a non-Archimedean analogue of the family
of Satake compactifications for Riemann symmetric spaces.
Jeudi 25 janvier, salle 112, Leonid Potyagailo,
Université de Lille 1 : Reseaux non-uniformes et non-coherents dans l'espace hyperbolique.
Résumé : C'est un travail commun avec M. Kapovich et E. Vinberg dont le résultat principal
est que tous les réseaux arithmétiques non uniformes en dimensions
n > 5 ne sont pas cohérents
(i.e. ils contiennent des sous-groupes de type fini qui ne sont pas de présentation finie).
On a aussi des exemples des réseaux non-cohérents en chaque dimension n> 3 uniformes et non-uniformes, arithmétiques ainsi que non-arithmétiques.
Notons qu'en dimension 3 tous les réseaux sont cohérents grâce à un théorème de Pieter Scott. D. WIse a conjecturé qu'il existe un réseau cohérent en dimension n >3 mais c'est probablement faux.
Jeudi 11 janvier, salle 112, Gilbert Levitt,
Université de Caen : Complexité de points fixes d'automorphismes de groupes libres.
Résumé : La complexité d'un mot infini sur un alphabet fini est la fonction
qui compte, pour tout n, le nombre de sous-mots distincts
de longueur n. Un théorème de Pansiot (1984) affirme qu'il n'y a que
5 types de complexités possibles pour un point fixe de substitution
(=endomorphisme positif d'un groupe libre). On étudie la généralisation
de ce résultat aux automorphismes de groupes libres.
Jeudi 14 décembre, salle 112, Pietro dello Stritto ,
Leeds/ICJ : Measurable groups, fields and BN-pairs.
Résumé: Inspired by the work of Chatzidakis, van den Dries and Macintyre,
we introduce the concept of a measurable structure, an infinite
structure whose definable sets are equipped with a dimension
and a measure satisfying certain natural axioms. Pseudofinite
fields, ultraproducts of finite fields are important examples.
In this talk, we will mainly be concerned with measurable groups
and fields. We will start by reviewing some preliminary results.
We will show that under reasonably mild assumptions measurable
groups have infinite abelian subgroups. We will then sketch
the proof by Thomas Scanlon that an infinite measurable field
is quasifinite, perfect and has surjective maps for every
finite Galois extension. These properties motivate the following
conjecture:
Field conjecture: An infinite measurable field is pseudofinite.
We expect that an affirmative answer to this conjecture
will yield the classification of infinite measurable
Moufang polygons as those inherited from the
finite cases over pseudofinite fields. One motivation
behind this attempt of classification is the following
conjecture analogues of which are known for various
classes of groups (work of Tits; Kramer, Tent, van
Maldeghem):
Group conjecture: If G is an infinite simple
measurable group with a spherical BN-pair of Tits
rank $\geq 2$ then $G$ is isomorphic to a simple
Chevalley group or a twisted analogue over either
a pseudofinite field or a difference.
In the second part of the talk we will expose
recent advances towards the classification of measurable
Moufang polygons and the proof of the group conjecture.
We will also mention
the surprising interplay with octogons and ultraproducts
of Frobenius maps.
Jeudi 30 novembre, salle 112, Bertrand Rémy,
ICJ : Simplicité et super-rigidité des réseaux d'immeubles jumelés.
Résumé: Les groupes de Kac-Moody sont des groupes définis par
une présentation inspirée par la présentation abstraite de SL(n) par
les matrices unipotentes élémentaires. Malgré la motivation initiale
très algébrique de cette généralisation, ces groupes peuvent rapidement
être étudiés du point de vue de la géométrie. En effet, ils opèrent sur
des immeubles comme les groupes arithmétiques opèrent naturellement
sur des espaces symétriques et des immeubles euclidiens.
Le but de cet exposé sera d'expliquer que certains de ces groupes
fournissent une grande classe de groupes simples et de présentation
finie ; certains ont même la propriété (T) de Kazhdan et semblent
être les premiers specimens avec toutes ces propriétés). On expliquera
les aspects non techniques de la preuve, c'est-à-dire :
1) exploiter au maximum l'analogie avec les groupes arithmétiques pour
prouver certaines propriétés (par exemple : tout sous-groupe normal est
ou bien fini central ou bien d'indice fini) ;
2) compter sur d'ultimes différences avec les groupes linéaires de type
fini pour exclure l'existence de tout quotient propre.
On abordera les questions de super-rigidité sur les espaces à courbure
négative si le temps le permet.
Jeudi 23 novembre, salle 112, Damian Osajda,
Université Paris 6 : Boundaries of systolic groups.
Résumé: This is joint work with Piotr Przytycki (Wroclaw).
Systolic groups are the groups acting geometrically
on systolic complexes. They were introduced by Januszkiewicz-Swiatkowski and, independently, by Haglund.
Systolic complexes are simply connected simplicial complexes satisfying some local combinatorial conditions.
Their properties are similar to the ones of non-positively curved spaces.
We prove that there exists a reasonable (in the sense of the Z-structure of Bestvina) boundary of a systolic
group. In the torsion-free case this implies, e.g. that some homological properties of a group are related to topology of the boundary and that, by results of Carlsson-Pedersen, the Novikov conjecture holds. Moreover
we discuss the uniqueness of such a boundary and some invariants of a group it induces.
Jeudi 26 octobre, salle 112, exceptionnellement à 16h30, Eric Jaligot,
ICJ : Un théorème de finitude des classes de conjugaison pour les familles uniformément définissables de tores décents.
Résumé: L'énoncé suggéré par le titre était démontré par Cherlin pour les bons tores
des groupes de rang de Morley fini, et on le généralise aux tores décents.
Jeudi 19 octobre, salle 112, à 16h00, Marcin Petrykowsky,
ICJ : Countable coverings of groups.
Résumé: The following theorem has been proved in [1].
Theorem 1 (Newelski)
If an $\aleph_0$-saturated group G is covered by countably many
0-type-definable sets, then finitely many of them generate G in 3 steps.
(a subset A of G generates G in 3 steps if $G=(A \cup A^{-1})3$)
It turned out that for many groups 2 steps are always sufficient (i.e. for
each covering of a group by countably many 0-type-definable sets, finitely
many of them generate the group in 2 steps). For instance, it is so in the
case where a group is stable or abelian.
A similar property of groups (to be defined during the talk) may be
defined in a model-theory-free context. We denote it by K2 because it is
related to generating a group in 2 steps. Our main result is as follows.
Theorem 2 (MP)
AG is contained in K2 and K2 is contained in NF.
(here AG stands for the class of amenable groups and NF denotes the class
of groups without a free subgroup of rank 2)
[1] Ludomir Newelski, Marcin Petrykowski, "Coverings of groups and types",
Journal of the London Mathematical Society 71 (2005), 1-21..
Jeudi 5 octobre, salle 112, à 16h00, Alexey Muranov,
ICJ : Small-cancellation approach to constructing boundedly simple
groups and simple groups of infinite commutator width.
Transparents
Résumé: A group $G$ is $n$-boundedly simple if for every two its
nontrivial elements $g$ and $h$ of $G$, $g$ is the product of at most
$n$ conjugates of $h$ and $h^{-1}$. This is a first-order property,
unlike the property of being simple. Bounded simplicity implies simplicity.
The commutator width of a group $G$ is the maximum of the commutator
lengths of elements of its derived subgroup $[G,G]$, and the commutator
length of an element $g\in[G,G] is the minimal number of commutators
sufficient to express $g$ as their product.
In 1951, Oystein Ore conjectured that the commutator width of every
finite simple group is at most 1. This question still remains open. To the best
of my knowledge, no simple groups of commutator width greater than
$1$ were known until 1991.
As shown by Jean Barge and \'Etienne Ghys in 1991, there are infinite
(not finitely generated) simple groups of surface diffeomorphisms for
which the commutator width is infinite.
Finitely generated infinite simple groups of infinite commutator width,
as well as boundedly simple groups of large finite commutator width,
can be constructed using the small-cancellation theory.
Jeudi 28 septembre, salle 112, à 16h00, Alexey Muranov,
ICJ : Small-cancellation approach to constructing boundedly generated groups. Transparents
Résumé: A group is called boundedly generated iff it is the product of a finite
sequence of its cyclic subgroups.
Bounded generation is a property possessed by finitely-generated abelian
and by some linear groups.
In 1983, David Carter and Gordon Keller proved bounded generation of
$SL_n(\mathcal O)$, where $n\ge3$ and $\mathcal O$ is the ring of integers
of a finite extension of $\mathbb Q$.
Bounded generation has also been studied in connection with the congruence
subgroup property and Kazhdan's property (T).
Apparently, it was not known until recently whether all boundedly
generated groups are linear, or at least residually finite.
Another question about boundedly generated groups that was open for a
while is the following:
If a torsion-free group $G$ has a finite system of generators $a_1$,
\dots, $a_n$ such that every element of $G$ has a unique presentation in
the form $a_1^{k_1}\dots a_n^{k_n}$ where $k_i\in\mathbb Z$, is it true
then that $G$ is virtually polycyclic? (Vasiliy Bludov, Kourovka Notebook,
1995.)
Counterexamples that answer both questions negatively are found using
methods of ``small cancellations.''
More precisely:
1. there exists an infinite simple 2-generated group that is the product
of 27 cyclic subgroups, and
2. there exists a torsion-free group $G$ such that:
a) $G$ is generated by 63 elements $a_1$, \dots, $a_{63}$, and every
element of $G$ has a unique presentation in the form $a_1^{k_1}\dots
a_{63}^{k_{63}}$,
b) $G$ has free non-cyclic subgroups.
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