1 Ensembles Convexes

Soit $x,y\in E$ , on appelle segment d’extrémité $x$ et $y$ la partie

[x,y]=\{\lambda x+(1-\lambda)y,\lambda\in[0,1]\}.

On retrouve bien sûr la définition usuelle du segment dans $\mathbb{R}$ . (avec la notation inhabituelle $[-1,-2]=[-2,-1]$ )

$\bigstar$ Définition 3.1.

Un ensemble $C\subset E$ est dit convexe si $\forall x,y\in C,[x,y]\subset C$ .

Par convention , $C=\emptyset$ est convexe même si les convexes intéressants sont les convexes non-vides…

Proposition 3.1.

Si $E$ est un e.v.n., les boules (ouvertes et fermés) sont des convexes.

Démonstration :

Considérons le cas des boules ouvertes. Soient $x,y\in B(a,r)$ , $z=\lambda x+(1-\lambda)y$ , $\lambda\in[0,1]$ .

Par l’inégalité triangulaire et homogénéité, on a :

||z-a||=||\lambda(x-a)+(1-\lambda)(y-a)||\leq|\lambda|||x-a||+|1-\lambda|||y-a% ||<|\lambda|r+|1-\lambda|r=r.

Donc $z\in B(a,r)$ . Le cas des boules fermées est similaire. □

Exemple 3.1.

On pose $||(x,y)||_{1/2}=(|x|^{1/2}+|y|^{1/2})^{2}$ . On note $B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:||(x,y)||_{1/2}\leq 1\}$ . On remarque que $(1,0),(0,1)\in B$ , $(1/4,1/4)\in B$ mais $(1/2,1/2)\not\in B$ donc $B$ n’est pas convexe et $||\cdot||_{1/2}$ n’est PAS une norme sur $\mathbb{R}^{2}$ .

Exercice 3.1.

Montrer que les ensembles convexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles.

Le résultat suivant est laissé en exercice.

Proposition 3.2.

Si $C$ est convexe, alors son adhérence $\overline{C}$ et son intérieur $Int(C)$ sont convexes. Une intersection (finie ou infinie) d’ensembles convexes est convexe. Si $C_{1}\subset E,C_{2}\subset F$ sont convexes, alors $C_{1}\times C_{2}$ est convexe dans $E\times F$ .

1.1 Cônes tangents et normaux dans $\mathbb{R}^{n}$

On suppose $E=\mathbb{R}^{n}$ (ou un espace préhilbertien comme au dernier chapitre pour avoir un produit scalaire). On rappelle $\displaystyle\langle f,x\rangle=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f_{i}x_{i}$ , pour $f,x\in E$ .

Les deux ensembles suivant seront importants pour formuler des conditions pour des problèmes de minimisation sous contrainte. On rappelle que pour $A,B\subset E,C\subset\mathbb{R},x\in E$ , $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\},CA=\{ca,c\in C,a\in A\},A-x=\{a-x:a\in A\},x+A=\{a+x% :a\in A\}$ .

$\bigstar$ Définition 3.2.

Le cône tangent (au sens de l’analyse convexe) du convexe $S\subset E$ e.v.n. au point $x\in S$ est

T_{S}(x):=\overline{\{\frac{u-x}{s},u\in S,s>0\}}=\overline{\mathbb{R}_{+}^{*}% (S-x)},

Le cône normal est son polaire, c’est à dire le cône convexe fermé :

N_{S}(x):=\{f\in E:\forall u\in S,\langle f,u-x\rangle\leq 0\}=\{f\in E:% \forall v\in T_{S}(x)\langle f,v\rangle\leq 0\}.

Exercice 3.2.

Si $L$ est un s.e.v de $E$ (de dimension finie), $a\in L$ . Montrer que $T_{L}(a)=L$ et $N_{L}(a)=L^{\perp}=\{y\in E:\langle y,\ell\rangle=0\forall\ell\in L\},$ est l’orthogonal de $L$ .

Exercice 3.3.

Si $S$ convexe et $a\in Int(S)$ . Montrer que $T_{S}(a)=E$ et $N_{L}(a)=\{0\}$ .