4 Premières Inégalités de convexité

Fixons $y\ge 0$ et considérons la fonction $g:[0,+\mathrm{\infty }[\to ℝ$ définie par $g\left(x\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)-f\left(x+y\right)$.

Alors, pour tout , on a

Puisque ${\displaystyle \frac{f\left(b+y\right)-f\left(a+y\right)}{b-a}}={\displaystyle \frac{f\left(b+y\right)-f\left(a+y\right)}{\left(b+y\right)-\left(a+y\right)}}$ est le taux d’accroissement de $f$ entre $\left(b+y\right)$ et $\left(a+y\right)$, l’inégalité des pentes nous donne donc que ${\displaystyle \frac{g\left(b\right)-g\left(a\right)}{b-a}}\ge 0$, autrement dit $g$ est croissante.

Par conséquent, on a pour tout $x$ que $g\left(x\right)\ge g\left(0\right)=f\left(0\right)$, et donc $f\left(x\right)+f\left(y\right)-f\left(x+y\right)\ge f\left(0\right)\ge 0$, ce qu’on voulait démontrer.   □