3 Théorème de changement de variables

En pratique, pour calculer une intégrale multiple, on est souvent amené à faire un changement de variables pour se ramener à un domaine plus simple sur lequel appliquer le théorème de Fubini. On énonce le théorème dans le cadre le plus courant où les fonctions que l’on peut utiliser pour faire un changement de variables sont les difféomorphismes de classe $\mathcal{C}^{1}$ .

3.1 Cas affine

On commence par montrer le cas des fonctions affines. Nous allons baser la preuve sur une caractérisation de la mesure de Lebesgue:

Théorème 5.7.

(admis) La mesure de Lebesgue sur $R^{n}$ est invariante par translation, au sens où pour tout $A\in\mathcal{B}(R^{n})$ et tout $x\in R^{n}$ , on a $\lambda_{n}(x+A)=\lambda_{n}(A)$ avec $x+A:=\{x+a,a\in A\}$ .

Inversement, si $\mu$ est une mesure sur $(R^{n},\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}))$ finie sur les parties bornées et invariante par translation, alors il existe une constante $c\geq 0$ telle que $\mu=c\lambda_{n}$ .

Exercice 5.3.

On cherche à montrer l’unicité. On pose $c=\mu([0,1[^{n})$ . Montrer en utilisant des recouvrements par des translations d’un ensemble fixé que

1.

$\mu([0,\frac{1}{m}[^{n})=c\frac{1}{m^{n}}$
2.

pour $a_{1},...,a_{n}\geq 0$ , on a

$\mu(\prod_{i=1}^{n}[0,\frac{\lfloor mai\rfloor}{m}[)=c\frac{\prod_{i=1}^{n}% \lfloor mai\rfloor}{m^{n}}$

En déduire que $\mu(\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}[)=c\prod_{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})$ et conclure (en utilisant un corollaire du lemme de classe monotone).

Lemme 5.8.

Soit $b\in\mathbb{R}^{n}$ et $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ une matrice inversible. On pose $f(x)=Ax+b$ avec $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ , alors pour tout borélien $B$ de $\mathbb{R}^{n}$ , on a:

\lambda_{n}(f(B))=|det(A)|\lambda_{n}(B).

Exercice 5.4.

Si $A$ n’est pas inversible montrer que $\lambda(f(B))=0.$ (Indication: on pourra montrer que $f(B)$ est inclus dans un hyperplan affine, i.e. un sous-espace affine de dimension $n-1$ , dans le cas $b=0$ dans un s.e.v. de dimension $n-1$ ).

Démonstration :

$f(B)=(f^{-1})^{-1}(B)$ est bien borélien car $f^{-1}$ est linéaire (en dimension finie donc) continue donc borélienne. De même $\lambda(f(\cdot))=f^{-1}.\lambda$ est la mesure image par $f^{-1}$ donc c’est bien une mesure finie sur les parties bornées (car $f(B)$ est borné pour tout borné $B$ , cf chapitre 3 $f(B(0,M))\subset B(0,||b||+M|||f|||)$ avec $|||f|||$ la norme subordonnée de $f$ ). Montrons qu’elle est invariante par translation.

On a pour $a\in\mathbb{R}^{n}$ $\lambda_{n}(f(a+B))=\lambda_{n}(b+A(a+B))=\lambda_{n}(Aa+f(B))=\lambda_{n}(f(B))$ par invariance par translation de la mesure de Lebesgue. Le théorème précédent montre donc que $\lambda_{n}(f(B))=c\lambda_{n}(B)$ pour tout borélien $B$ . Il suffit donc de bien choisir le borélien pour chaque $A$ pour montrer que $c=|det(A)|$ .

Par décomposition polaire, une matrice réelle s’écrit $A=OS$ avec $O$ orthogonale et $S$ symétrique. Cette matrice $S$ peut se diagonaliser en base orthogonale $S=O_{2}^{t}DO_{2}$ donc, ensemble, cela donne une décomposition $A=O_{1}DO_{2}$ où $O_{1}=OO_{2}^{t},O_{2}$ sont orthogonales et $D$ est diagonale réelle.

Comme $\lambda_{n}$ est invariante par translation, on est donc ramené au cas $b=0$ .

On est donc ramener au deux cas $A$ orthogonale et $A$ diagonale inversible.

Si $A$ orthogonale, alors on choisit la boule unité euclidienne $B=B_{n}$ car une matrice orthogonale laisse invariante cette boule (c’est par définition une isométrie pour la norme euclidienne) donc $\lambda_{n}(f(B_{n}))=\lambda_{n}(B_{n})$ et $c=1=|det(A)|$ (vu $AA^{t}=I$ , $det(A)^{2}=det(A)det(A^{t})=det(I)=1$ ).

Si $A=diag(d_{1},...,d_{n})$ alors on prend $B=[0,1]^{n}$ car $A(B)=\prod_{i=1}^{n}[0,d_{i}]$ avec $[0,d_{i}]=[d_{i},0]$ si $d_{i}<0$ . Dans tous les cas $\lambda_{n}(A(B))=\prod_{i=1}^{n}|d_{i}|=|det(A)|\lambda(B)$ comme voulu.

Dans le cas général, $A=O_{1}SO_{2}$ , par composition, on obtient:

\lambda(A(B))=|det(O_{1})||det(D)|\det(O_{2})|\lambda(B)=|\det(A)|\lambda(B).

□

3.2 Rappel (de L2) sur les difféomorphismes

Définition 5.2.

Soient $U\subset\mathbb{R}^{n},V\subset\mathbb{R}^{p}$ . Une application $f:U\to V$ une fonction différentiable. $f$ est un difféomorphisme si $f$ est bijective et que $f^{-1}$ est différentiable.

On dit que $f$ est un $\mathscr{C}^{k}$ -difféomorphisme ( $k\in\mathbb{N}^{*}\cup{\infty}$ ) si de plus $f$ et $f^{-1}$ sont de classe $\mathscr{C}^{k}$ .

Proposition 5.9.

Soit $f:U\to V$ un difféomorphisme, alors $\forall x\in U$ , $df(x):\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{p}$ est un isomorphisme linéaire (en particulier nécessairement $n=p$ ) et on a :

(df(x))^{-1}=df^{-1}(f(x)).

Remarque 5.2.

1.

Le résultat précédent montre que la dimension est invariante par difféomorphisme. De même des ouverts de $\mathbb{R}^{n}$ et $\mathbb{R}^{p}$ ne peuvent être homéomorphes que si $n=p$ mais c’est beaucoup plus dur (Théorème d’invariance du domaine de Brouwer). Par contre, il existe des applications continues surjectives de $[0,1]$ dans $[0,1]^{2}$ .
2.

Le théorème d’inversion locale va donner des conditions pour la réciproque de la proposition précédente

Démonstration :

Comme $f^{-1}\circ f(y)=y$ , en différenciant $f^{-1}\circ f$ par le théorème des fonctions composées en $x$ , on obtient : $df^{-1}(f(x))\circ df(x)=id.$

De même en différenciant $f\circ f^{-1}(y)=y$ en $z=f(x)$ on obtient : $df(f^{-1}(z))\circ df^{-1}(z)=Id$ . Donc $df(x)$ et $df^{-1}(f(x))$ sont inverses l’une de l’autre, ce qui conclut. □

Définition 5.3.

Soit $f:U\to\mathbb{R}^{p}$ une application différentiable sur un ouvert $U\subset R^{n}.$ $f(x)=(f_{1}(x),...,f_{p}(x)).$ La matrice de l’application linéaire $df(x)$ dans les bases canoniques de $\mathbb{R}^{n}$ et $\mathbb{R}^{p}$ est appelée, matrice jacobienne de $f$ et notée $J(f)(x)$ :

(J(f)(x))_{ij}=(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(x)).

Remarque 5.3.

Le théorème de dérivation des fonctions composées donne donc :

J(g\circ f)(x_{0})=J(g)(f(x_{0}))J(f)(x_{0}),

et le résultat pour les inverses de la proposition précédente s’écrit :

J(f^{-1})(y_{0})=[J(f)(f^{-1}(y_{0}))]^{-1}.

Le théorème suivant avec $k=1$ permettra de vérifier l’hypothèse du théorème de changement de variable.

Théorème 5.10 (d’inversion globale).

Soit $f:U\to\mathbb{R}^{n}$ une application de classe $\mathscr{C}^{k}$ (avec $k\geq 1$ ) injective et telle que pour tout $x\in U$ , $df(x):\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ est un isomorphisme linéaire, alors $f(U)$ est un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$ et $f:U\to f(U)$ est un $\mathscr{C}^{k}$ -difféomorphisme.

Remarque 5.4.

$df(x)$ est un isomorphisme si et seulement si $det(Jf(x))\neq 0.$

3.3 Cas général (admis)

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème de changement de variables.³³ 3 Cette sous-section reprend le cours de 2018-2019 de T. Blossier, M. Carrizosa et J. Melleray.

$\bigstar$ Théorème 5.11 (Théorème de changement de variables).

Soient $U, V$ deux ouverts de $\mathbb{R}^{n}$ , et $\varphi\colon U\to V$ un difféomorphisme de classe $\mathcal{C}^{1}$ . Rappelons qu’on note $\lambda_{n}$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^{n}$ . Alors on a:

1.

Pour toute partie $B$ borélienne de $U$ , $\displaystyle\lambda_{n}(\varphi(B))=\int_{B}|\det(J\varphi(x))|d\lambda_{n}(x)$ .
2.

Si $f\colon V\to[0,+\infty]$ est borélienne, alors

$\int_{V}f(x)d\lambda_{n}(x)=\int_{U}f\circ\varphi(y)|\det(J\varphi(y))|d% \lambda_{n}(y)\ .$
3.

Si $f\colon V\to\mathbb{R}$ est intégrable, alors $y\mapsto f\circ\varphi(y)|\det(J\varphi(y))|$ est intégrable sur $U$ et on a

$\int_{V}f(x)d\lambda_{n}(x)=\int_{U}f\circ\varphi(y)|\det(J\varphi(y))|d% \lambda_{n}(y)\ .$

Remarque 5.5.

Le cas affine est une conséquence du lemme 5.8 et du théorème de transfert appliqué $f=\varphi^{-1}:(V,\mathcal{B}(V),\lambda_{n})\to(U,\mathcal{B}(U))$ . Le $1$ du théorème ou le lemme 5.8 ci-dessus, s’interprète comme le calcul de la mesure image de la mesure de Lebesgue induite sur $V$ : $(\lambda_{n,V})_{X}$ ayant une densité $f_{X}(x)=|\det(J\varphi(x))|1_{U}(x)$ par rapport à $\lambda_{n}$ . Le résultat correspond à $h=f\circ\varphi$ de sorte que:

\int_{V}fd\lambda_{n}=\int_{V}h(X)d\lambda_{n}=\int_{\mathbb{R}^{n}}h(y)f_{X}(% y)d\lambda_{n}(y)=\int_{U}f\circ\varphi(y)|\det(J\varphi(y))|d\lambda_{n}(y).

Exemple 5.2.

On considère l’application $\phi:U=]0,+\infty[\times]0,2\pi[\to\mathbb{R}^{2}$ définie par $\phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ .

Alors, la matrice jacobienne de $\phi$ est $\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}$ , de déterminant $r$ .

De plus, $\phi$ est injective et $\phi(U)=\mathbb{R}^{2}\setminus([0,+\infty[\times\{0\})=V$ .

Ainsi, $\phi$ est un $\mathcal{C}^{1}$ -difféomorphisme de $U$ sur $V$ . Comme $\lambda_{2}(\mathbb{R}^{2}\setminus V)=0$ , c’est-à-dire $\mathbb{R}^{2}\setminus V$ est négligeable, il n’est pas gênant que $\phi$ ne soit pas un difféomorphisme de $U$ sur $\mathbb{R}^{2}$ tout entier.

Par exemple, calculons

I=\int_{D}(x+y)^{2}dxdy\text{, où }D=\{(x,y)\colon x^{2}+y^{2}<1\}.

En utilisant le théorème de changement de variables avec les coordonnées polaires (et le théorème de Fubini), on obtient $\phi^{-1}(D\cap V)=]0,1[\times]0,2\pi[$ et

I=\int_{D\cap V}(x+y)^{2}dxdy=\int_{\phi^{-1}(D\cap V)}(r\cos\theta+r\sin% \theta)^{2}rdrd\theta=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2\pi}r^{3}(\cos^{2}\theta+% \sin^{2}\theta+2\cos\theta\sin\theta)d\theta\right)dr=\int_{0}^{1}r^{3}\left(% \int_{0}^{2\pi}(1+\sin 2\theta)d\theta\right)dr=\int_{0}^{1}2\pi r^{3}dr=% \cfrac{\pi}{2}\ .

Exemple 5.3.

Calculons $\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0}^{+\infty}t^{-1/2}e^{-t}dt$ .

On commence par le changement de variable (pour les intégrales à une variable) $u^{2}=t$ , $dt=2udu$ :

\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0}^{+\infty}t^{-1/2}e^{-t}dt=2\int_{0}^{+\infty}e^{-% u^{2}}du=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^{2}}du

avec la dernière égalité venant de la parité de la fonction $u\mapsto e^{-u^{2}}.$

Enfin, on calcule le carré de cette intégrale en utilisant d’abord Fubini-Tonelli pour obtenir une intégrale double (on utilise $\mathbb{R}^{2}\setminus(\{0\}\times[0,+\infty[)=V$ vérifiant $\lambda_{2}(V^{c})=0$ comme à l’exemple précédent).

(\Gamma(\frac{1}{2}))^{2}=\left(\int_{-\infty}^{+\infty}dx\int_{-\infty}^{+% \infty}dy\ e^{-x^{2}-y^{2}}\right)=\int_{\mathbb{R}^{2}}dxdy\ e^{-x^{2}-y^{2}}% =\int_{V}dxdy\ e^{-x^{2}-y^{2}}

d’où par changement de variable en coordonnée polaire (comme à l’exemple précédent on utilise $\phi^{-1}(V)=U$ pour le domaine d’intégration):

(\Gamma(\frac{1}{2}))^{2}=\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{+\infty}dre^{-% r^{2}}2r/2\right)=\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta 1\right)\left[-e^{-r^{2}}/2% \right]_{0}^{+\infty}=(2\pi).\frac{1}{2}=\pi.

On a aussi vérifier que

\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^{2}}du=\sqrt{\pi}.

En faisant, le changement de variable linéaire $u=x/\sqrt{2}$ , on obtient:

\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}/2}dx=\sqrt{\pi}.

(5.1)