2 Une Inégalité de convexité: l’Inégalité de Jensen

D’abord, par le théorème 3.9, $\phi$ est dérivable à droite et à gauche, donc continue sur l’intérieur de $I$, donc borélienne sur $I$ (exo) donc la composée $\phi \circ g$ est bien mesurable. Posons $m={\int }_{X}g𝑑\mu$. Notons que $m\in I$. En effet $I$ est définie par une ou deux inégalités, $I=I_1\cap I_2$ avec ($I_1=\{x:x\ge a\}$ ou $I_1=\{x:x>a\}$ ou $I_1=ℝ$) et de même ($I_2=\{x:x\le b\}$ ou ou $I_2=ℝ$). Expliquons d’abord que si $g$ est à valeur dans $I_1=\{x:x\ge a\}$, alors comme l’intégrale préserve les inégalités larges ${\int }_{X}g𝑑\mu \ge {\int }_{X}a𝑑\mu =a$ car $\mu \left(X\right)=1$ et donc $m\in I_1$. De même si $I_1=\{x:x>a\}$ si on n’avait pas ${\int }_{X}g𝑑\mu >a$, on aurait donc ${\int }_{X}g𝑑\mu =a={\int }_{X}a𝑑\mu$ donc ${\int }_X\left(g-a\right)𝑑\mu =0$ mais alors $g-a$ serait nulle $\mu$-presque partout, donc $\{x\in X:g\left(x\right)>a\}=X$ serait de mesure nulle, contredisant l’hypothèse que $X$ est un espace de probabilité. On conclut donc aussi dans ce cas ${\int }_{X}g𝑑\mu \in I_1$. On raisonne pareil pour $I_2$ (ou on applique le premier cas à $-g$ pour changer le sens des inégalités).

Maintenant qu’on a vu que $m\in I$, on distingue 3 cas. Si jamais $m$ est le minimum de $I$ (s’il existe!) alors on a ${\int }_X\left(g-m\right)𝑑\mu =0$ et $g-m\ge 0$, donc $g-m$ est nulle presque partout, par conséquent on a

On traite de même le cas où $m$ est le maximum de $I$; finalement, le cas qui nous reste est celui où $m$ appartient à l’intérieur de $I$.

Alors, on sait que ${\phi }_g^{\prime }\left(m\right)$ existe et en posant $\alpha ={\phi }_g^{\prime }\left(m\right)$, le théorème 3.9 donne que

En particulier, pour tout $x\in X$ on a $\phi \left(g\left(x\right)\right)\ge \phi \left(m\right)+\alpha \left(g\left(x\right)-m\right)$. Comme $g$ est intégrable et les fonctions constantes sont intégrables (car $\mu$ est finie), donc la borne inférieure est intégrable, et on en déduit que la partie négative de $\phi \circ g$ est d’intégrale finie; et en intégrant cette inégalité, on obtient aussi que

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On fixe $x_1,\mathrm{\dots },x_n\in I$ et on considère l’espace mesuré d’ensemble sous-jacent $X=\{x_1,\mathrm{\dots },x_n\}$, où toutes les parties sont mesurables et $\mu ={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\alpha }_i{\delta }_{x_i}$, où ${\delta }_{x_i}$ désigne la mesure de Dirac en $x_i$. Alors $\mu$ est une mesure de probabilité; de plus pour toute fonction $g:X\to ℝ$ on a

En considérant pour $g$ la fonction identité, on a donc ${\displaystyle {\int }_X}\phi \circ g𝑑\mu ={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\alpha }_i\phi \left(x_i\right)$, et ${\displaystyle {\int }_X}g𝑑\mu ={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\alpha }_i{x}_i$. L’inégalité de Jensen nous donne donc comme attendu

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