Chapitre 4 Intégration de Lesbesgue: Construction de l’intégrale et grands théorèmes

Le but de ce chapitre “ Construction de l’intégrale et grands théorèmes” est de donner le cadre pour votre cours de probabilité du second semestre, en pensant l’espérance comme une intégrale, tout en généralisant l’intégrale de Riemann et la somme de séries vues en L1 ou en L2. Ce seront aussi les 2 exemples importants unifiés dans ce chapitre (qui donnent les exemples des variables aléatoires continues et discrètes).

On va se concentrer dans ce chapitre sur la construction de l’intégrale et les grands théorèmes qu’il faut apprendre à utiliser. On verra le minimum des définitions requises pour formuler cette construction. Pour cela, on va s’appuyer sur les similarités avec vos cours de probabilités et avec le chapitre 1. Ce sont des constructions importantes dont la démarche sera reprise par exemple au semestre prochain pour la construction de l’espérance conditionnelle. On reporte au deux chapitres suivants les résultats plus techniques dont il est moins important de retenir une idée des preuves.

Dans ce chapitre, le corps est $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ . Pour l’intégration, on a aussi besoin de la droite réelle étendue: $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ avec les mêmes conventions qu’au chapitre précédent: $\infty+\infty=\infty$ et $\lambda.\infty=\infty$ si $\lambda>0$ , $0.\infty=0$ .