1 Mesure produit et théorèmes de Fubini

1.1 Tribus produits

La méthode de base pour calculer une intégrale d’une fonction de $2$ variables est de se ramener à des intégrales de fonctions de $1$ variable. Pour cela il nous faut d’abord expliquer comment on peut munir $X\times Y$ d’une structure d’espace mesuré quand $X, Y$ sont tous les deux munis d’une telle structure.

$\bigstar$ Définition 5.1.

Soient $(X,\mathcal{A},\mu_{1})$ et $(Y,\mathcal{B},\mu_{2})$ deux espaces mesurés $\sigma$ -finis. On note $\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$ la tribu engendrée par les parties de la forme $A\times B$ , où $A\in\mathcal{A}$ , $B\in\mathcal{B}$ ; on l’appelle tribu produit des tribus $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ .

Lemme 5.1.

Si $\mathcal{A}=\sigma(\mathcal{E})$ et $\mathcal{B}=\sigma(\mathcal{F})$ , on a $\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}=\sigma\Big{(}\{E\times F,E\in\mathcal{E},F\in% \mathcal{F}\}\Big{)}.$

En particulier, $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n+m})=\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\otimes\mathcal{B}(% \mathbb{R}^{m})$ . De plus, si $f:(X,\mathcal{A})\to(Z,\mathcal{C})$ et $g:(Y,\mathcal{B})\to(Z,\mathcal{D})$ sont mesurables, l’application $(f,g):(X\times Y,\mathcal{A}\otimes\mathcal{B})\to(Z\times T,\mathcal{C}% \otimes\mathcal{D})$ définie par $(f,g)(x,y)=(f(x),g(y))$ est mesurable.

Démonstration :

Vu $\{E\times F,E\in\mathcal{E},F\in\mathcal{F}\}\subset\mathcal{A}\otimes\mathcal% {B}$ , on obtient en passant à la tribu engendrée $\mathcal{G}:=\sigma\Big{(}\{E\times F,E\in\mathcal{E},F\in\mathcal{F}\}\Big{)}% \subset\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$ .

Réciproquement, on pose $\mathcal{A}^{\prime}=\{A\in\mathcal{A}:\forall F\in\mathcal{F},A\times F\in% \mathcal{G}\}$ . On a clairement que $\mathcal{A}^{\prime}$ contient $\mathcal{E}$ et on vérifie facilement que c’est une tribu (vu que $A^{c}\times F=(\Omega\times F)-(A\times F)\in\mathcal{G}$ pour $F\in\mathcal{F}$ .) D’où $\mathcal{A}^{\prime}=\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{A}$ . De même, on pose ensuite, $\mathcal{B}^{\prime}=\{B\in\mathcal{B}:\forall A\in\mathcal{A},A\times B\in% \mathcal{G}\}$ et on déduit du point précédent que $\mathcal{F}\subset\mathcal{B}^{\prime}\subset\mathcal{B}$ et comme avant que $\mathcal{B}^{\prime}$ est une tribu d’où $\mathcal{B}=\mathcal{B}^{\prime}$ . Finalement, on a donc $\mathcal{A}\times\mathcal{B}\subset\mathcal{G}$ d’où l’inclusion complémentaire de tribus.

Le cas particulier $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n+m})=\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\otimes\mathcal{B}(% \mathbb{R}^{m})$ est une conséquence immédiate du Corollaire 4.16.

Pour le dernier point, comme $\mathcal{C}\otimes\mathcal{D}=\sigma\Big{(}\{E\times F,E\in\mathcal{C},F\in% \mathcal{D}\}\Big{)}$ il suffit de noter que $(f,g)^{-1}(E\times F)=f^{-1}(E)\times g^{-1}(F)\in\mathcal{A}\times\mathcal{B}% \subset\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$ et le lemme 4.13 conclut. □

1.2 Mesure produit

Théorème 5.2 (définissant la mesure produit).

Soient $(\Omega_{1},\mathcal{T}_{1},\mu_{1})$ et $(\Omega_{2},\mathcal{T}_{2},\mu_{2})$ deux espaces mesurés $\sigma$ -finis. Alors il existe une unique mesure $\nu$ sur $\mathcal{T}_{1}\otimes\mathcal{T}_{2}$ vérifiant

\nu(A\times B)=\mu_{1}(A)\mu_{2}(B)

pour tout $A\in\mathcal{T}_{1}$ et tout $B\in\mathcal{T}_{2}$ (avec la convention usuelle $0.(+\infty)=0$ ). Cette mesure est notée $\mu_{1}\otimes\mu_{2}=\nu$ , et est $\sigma$ -finie.

Exemple 5.1.

Si $\lambda_{n}$ désigne la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^{n}$ , alors on a toujours $\lambda_{n+m}=\lambda_{n}\otimes\lambda_{m}$ . On applique le corollaire 4.19 au lemme de classe monotone à l’ensemble des pavés $\mathcal{E}$ . Par définition, $\lambda_{n+m},\lambda_{n}\otimes\lambda_{m}$ coïncident sur les pavés. Or $\cup_{M\in\mathbb{N}}[-M,M]^{n+m}=R^{n+m}$ et $\lambda_{n+m}([-M,M]^{n+m})=(2M)^{n+m}=(\lambda_{n}\otimes\lambda_{m})([-M,M]^% {n+m})<+\infty$ donc on conclut à l’égalité voulue.

La preuve va être basée sur le fait de montrer un cas particulier du théorème de Fubini suivant pour les fonctions indicatrices.

Démonstration :

Unicité On applique le même corollaire 4.19 au lemme de classe monotone. ON prend $\mathcal{E}=\{A\times B,A\in\mathcal{T}_{1},B\in\mathcal{T}_{2}\}$ qui engendre $\mathcal{T}_{1}\otimes\mathcal{T}_{2}$ par définition. Deux mesures $\nu_{1},\nu_{2}$ vérifiant le théorème coïncident sur $\mathcal{E}$ . Or comme $\mu_{1},\mu_{2}$ sont $\sigma$ -finies, on obtient $\Omega_{i}=\cup_{n}A_{i,n}$ avec $A_{i,n}\in\mathcal{T}_{i}$ et $\mu_{i}(A_{i,n})<+\infty$ . Alors, on a $A_{1,n}\times A_{2,n}\in\mathcal{E}$ et est de mesure $\mu_{1}(A_{1,n})\mu_{2}(A_{2,n})<+\infty$ pour $\nu_{1},\nu_{2}$ . Ceci donne la dernière hypothèse du corollaire 4.19 qui conclut à $\mu_{1}=\mu_{2}.$

Existence Pour $C\in\mathcal{T}_{1}\otimes\mathcal{T}_{2}$ , on pose $C_{x}=\{y\in\Omega_{2}:(x,y)\in C\}$ . On cherche à voir que $C_{x}\in\mathcal{T}_{2}$ . Supposons d’abord $\mu_{2}$ finie. On considère

\mathcal{C}=\{C\in\mathcal{T}_{1}\otimes\mathcal{T}_{2}:\forall xC_{x}\in% \mathcal{T}_{2}\ \mathrm{et}\ x\mapsto\mu_{2}(C_{x})\ \mathrm{est\ }\mathcal{T% }_{1}-\mathrm{mesurable}\}.

Alors on a

‣

$\mathcal{C}$ contient les pavés mesurables $C=A\times B$ avec $A\in\mathcal{T}_{1},B\in\mathcal{T}_{2}$ car $(A\times B)_{x}\in\{\emptyset,B\}$ en distinguant le cas $x\in A,x\not\in A$ donc $\mu_{2}(C_{x})=1_{A}(x)\mu_{2}(B).$
‣

$\mathcal{C}$ est une classe monotone car si $C^{\prime}\subset C,C^{\prime}\in\mathcal{C}$ $(C\setminus C^{\prime})_{x}=C_{x}\setminus C^{\prime}_{x}$ d’où la mesurabilité et $\mu_{2}(C\setminus C^{\prime})_{x}=\mu_{2}(C_{x})-\mu_{2}(C^{\prime}_{x})$ par finitude de $\mu_{2}$ qui est mesurable par différence donc $C\setminus C^{\prime}\in\mathcal{C}$ . De même si $C_{n}$ est une suite croissante $(\cup_{n}C_{n})_{x}=\cup_{n}(C_{n})_{x}$ qui est dans $\mathcal{T}_{2}$ et $\mu_{2}((\cup_{n}C_{n})_{x})=\sup_{n}\mu_{2}((C_{n})_{x})$ est bien mesurable.

Donc $\mathcal{C}$ contient la classe monotone engendrée par les pavés, donc (par le lemme de classe monotone) est égale à $\mathcal{T}_{1}\otimes\mathcal{T}_{2}$ .

Si $\mu_{2}$ est $\sigma$ -finie, on regarde les mesures induites et déduit le même résultat de mesurabilité de $\mu_{2}(C_{x})$ par limite croissante.

On peut donc poser

\nu(C)=\int_{\Omega_{1}}\mu_{2}(C_{x})d\mu_{1}(x).

Il faut voir que c’est une mesure en montrant la $\sigma$ -additivité: Soient $C^{n}$ des ensembles mesurables disjoints, (en utilisant qu’alors les $C^{n}_{x}$ sont disjoints), il suffit d’utiliser l’interversion série intégrale:

\nu(\displaystyle\bigcup_{n}C^{n})=\int_{\Omega_{1}}\mu_{2}(\displaystyle% \bigcup_{n}C^{n}_{x})d\mu_{1}(x)=\int_{\Omega_{1}}\displaystyle\sum_{n}\mu_{2}% (C^{n}_{x})d\mu_{1}(x)=\displaystyle\sum_{n}\int_{\Omega_{1}}\mu_{2}(C^{n}_{x}% )d\mu_{1}(x)=\displaystyle\sum_{n}\nu(C^{n}).

Enfin, $\nu$ convient par le calcul précédent de $\mu_{2}((A\times B)_{x})$ :

\nu(A\times B)=\int_{\Omega_{1}}1_{A}(x)\mu_{2}(B)d\mu_{1}(x)=\mu_{1}(A)\mu_{2% }(B).

□

1.3 Théorème de Fubini-Tonelli et Fubini (admis)

La mesure produit $\mu_{1}\otimes\mu_{2}$ étant définie à partir de $\mu_{1}$ et $\mu_{2}$ , on s’attend à ce qu’il en soit de même de l’intégrale d’une fonction mesurable relativement à $\mu_{1}\otimes\mu_{2}$ .¹¹ 1 Cette sous-section reprend le cours de 2018-2019 de T. Blossier, M. Carrizosa et J. Melleray. Et c’est effectivement le contenu des théorèmes de Fubini. On commence par le cas positif.

$\bigstar$ Théorème 5.3 (Fubini–Tonelli).

Soient $(\Omega_{1},\mathcal{T}_{1},\mu_{1})$ et $(\Omega_{2},\mathcal{T}_{2},\mu_{2})$ deux espaces mesurés $\sigma$ -finis. Soit $f\colon\Omega_{1}\times\Omega_{2}\to[0,+\infty]$ une fonction $\mathcal{T}_{1}\otimes\mathcal{T}_{2}$ -mesurable. Alors:

1.

$y\mapsto f(x,y)$ est une fonction mesurable (sur $(\Omega_{2},\mathcal{T}_{2})$ dans $[0,+\infty]$ ) pour tout $x\in\Omega_{1}$ , et $\displaystyle x\mapsto\int_{\Omega_{2}}f(x,y)d\mu_{2}(y)$ est une fonction mesurable (sur $(\Omega_{1},\mathcal{T}_{1})$ ).
2.

$x\mapsto f(x,y)$ est une fonction mesurable (sur $(\Omega_{1},\mathcal{T}_{1})$ dans $[0,+\infty]$ ) pour tout $y\in\Omega_{2}$ , et $\displaystyle y\mapsto\int_{\Omega_{1}}f(x,y)d\mu_{1}(x)$ est une fonction mesurable (sur $(\Omega_{2},\mathcal{T}_{2})$ ).
3.

On a

$\int_{\Omega_{1}\times\Omega_{2}}f(x,y)d\mu_{1}\otimes\mu_{2}(x,y)=\int_{% \Omega_{1}}\left(\int_{\Omega_{2}}f(x,y)d\mu_{2}(y)\right)d\mu_{1}(x)=\int_{% \Omega_{2}}\left(\int_{\Omega_{1}}f(x,y)d\mu_{1}(x)\right)d\mu_{2}(y)\ .$

Exercice 5.1.

Calculer l’aire du disque unité $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\colon x^{2}+y^{2}\leq 1\}$ .

Comme dans le cas des fonctions définies sur $\mathbb{R}^{n}$ , on en déduit facilement un théorème qui s’applique à toutes les fonctions intégrables (et pour vérifier qu’une fonction est intégrable, on peut commencer par appliquer le théorème de Fubini–Tonelli à $|f|$ ).

$\bigstar$ Théorème 5.4 (Fubini).

4.

$y\mapsto f(x,y)$ est une fonction intégrable (sur $\Omega_{2}$ ) pour presque tout $x\in\Omega_{1}$ , et $\displaystyle x\mapsto\int_{\Omega_{2}}f(x,y)d\mu_{2}(y)$ est une fonction intégrable (sur $\Omega_{1}$ ).
5.

$x\mapsto f(x,y)$ est une fonction intégrable (sur $\Omega_{1}$ ) pour presque tout $y\in\Omega_{2}$ , et $\displaystyle y\mapsto\int_{\Omega_{1}}f(x,y)d\mu_{1}(x)$ est une fonction intégrable (sur $\Omega_{2}$ )
6.

On a

$\int_{\Omega_{1}\times\Omega_{2}}f(x,y)d\mu_{1}\otimes\mu_{2}(x,y)=\int_{% \Omega_{1}}\left(\int_{\Omega_{2}}f(x,y)d\mu_{2}(y)\right)d\mu_{1}(x)=\int_{% \Omega_{2}}\left(\int_{\Omega_{1}}f(x,y)d\mu_{1}(x)\right)d\mu_{2}(y)\ .$

Exercice 5.2.

Soit $f, g$ des fonctions mesurables positives sur $\mathbb{R}$ , on définit la convolution de $f, g$ par:

f*g(x)=\int_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)d\lambda(y)\in[0,\infty].

On rappelle que

||f||_{1}=\int_{\mathbb{R}}|f(x)|d\lambda(x).

7.

Montrer que $f*g$ est mesurable et que

$||f*g||_{1}=||f||_{1}||g||_{1}.$
8.

Montrer que la définition de $f*g$ s’étend pour presque tout $x$ au $f,g\in L^{1}(\mathbb{R},d\lambda)$ et que $f*g\in L^{1}(\mathbb{R},d\lambda).$
9.

Montrer que pour $f, g, h$ toutes mesurables positives ou toutes intégrables, alors

$f*(g*h)=(f*g)*h.$