1 L’espace $L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega },\mu )$

On montre qu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel de l’espace des classes d’équivalences de fonctions mesurables. Bien sûr $0$ est bornée donc essentiellement bornée.

Soient $f,g\in {\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega },𝒯,\mu ;𝕂)$, $\lambda \in 𝕂$. Par l’exo

Or par l’inégalité triangulaire des nombres on a :$\left|\left(\lambda f+g\right)\left(\omega \right)\right|\le \left|\lambda \right|\left|f\left(\omega \right)\right|+\left|g\left(\omega \right)\right|$ donc

et en passant au complémentaire

Donc, par définition, $\lambda f+g$ est essentiellement bornée et ${\Vert \lambda f+g\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \left|\lambda \right|{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}+{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$ On déduit que ${\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega };𝕂)$ est bien un espace vectoriel et l’inégalité triangulaire. En fait $\mu \left(\{\omega :\left|f\left(\omega \right)\right|>C\}\right)=\mu \left(\{\omega :\left|\lambda f\left(\omega \right)\right|>\left|\lambda \right|C\}\right)$ donc en comparant les infima, ${\Vert \lambda f\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\left|\lambda \right|{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ ce qui donne la positive homogénéité. Enfin par définition, si ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0$ alors $f=0$ presque partout donc sa classe d’équivalence est nulle.   □

Il reste à montrer la complétude: Soit $f_n$ une suite de Cauchy de fonctions mesurables essentiellement bornées. Montrons que que $f_n$ converge vers $f\left(\omega \right)={lim\; sup}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n\left(\omega \right)$ qui est une fonction mesurable comme $lim\; sup$ de fonctions mesurables et dont on va voir qu’elle est essentiellement bornée. Donc, par l’hypothèse d’avoir une suite de Cauchy, pour $n>0,ϵ=1/n$ il existe $N_n$ tel que $\forall p,q\ge N_n,{\Vert f_p-f_q\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \frac{1}{n}.$ Par définition de la norme, on peut donc fixer $A_{n,p,q}$ (pour $p,q\ge N_n$) avec $\mu \left(A_{n,p,q}^c\right)=0$ tel que

On va intersecter tous ces ensembles (une intersection dénombrable) pour avoir $\mu$-p.p. une suite de Cauchy. On prend donc $A={\cap }_{n>0}{\cap }_{p,q\ge N_n}{A}_{n,p,q}$. On a $\mu \left(A^c\right)\le {\displaystyle \sum _{n>0}}{\displaystyle \sum _{p,q\ge N_n}}\mu \left(A_{n,p,q}^c\right)=0$ (vu que $A^c$ est une union dénombrable).

De plus pour $\omega \in A^c$, on a

donc $\left(f_n\left(\omega \right)\right)$ est de Cauchy dans $𝕂$ donc converge. Sa limite est forcément $f\left(\omega \right)$ et en passant à la limite $q\to \mathrm{\infty }$ ci dessus, pour tout $\omega \in A$:

Comme $\mu \left(A^c\right)=0$ on déduit

Ceci implique ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le {\Vert f_p\Vert }_{\mathrm{\infty }}+{\Vert f_p-f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ donc $f$ est dans ${\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega },𝒯,\mu ;𝕂)$ et la convergence de $f_n$ vers $f$ dans cet espace. Comme toute suite de Cauchy converge, on a obtenu la complétude voulue.   □