3 Cas discret: espaces $\ell^{p}(I)$ , $p\in[1,\infty[$ (cf. TD)

Définition 6.3.

Soit $p\in[1,\infty[$ . Une famille $(z_{i})_{i\in I}$ de nombres complexes ou réels est dite $p$ -sommable si la famille $(|z_{i}|^{p})_{i\in I}$ est sommable. On note $\ell^{p}(I,\mathbb{K})$ l’ensemble des familles d’éléments de $\mathbb{K}$ $p$ -sommable.

Un examen de la définition indique que $\ell^{p}(I,\mathbb{K})=L^{p}(I,\mathcal{P}(I),\nu)$ avec $\nu$ la mesure de comptage, c’est donc un espace de Banach. On a aussi par définition (dans le cas positif puis le cas quelconque):

\displaystyle\sum_{i\in I}a_{i}=\int_{I}ad\nu.

On note

||z||_{p}=\left(\displaystyle\sum_{i\in I}|z_{i}|^{p}\right)^{1/p}.

L’inégalité de Hölder s’écrit donc pour $x\in\ell^{q}(I),y\in\ell^{p}(I)$ : avec $1/p+1/q=1,p,q\in]1,\infty[$ :

\left|\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}y_{i}\right|\leq\left(\displaystyle\sum_{% i\in I}|x_{i}|^{q}\right)^{1/q}\left(\displaystyle\sum_{i\in I}|y_{i}|^{p}% \right)^{1/p}