2 Définitions et propriétés élémentaires des espaces $L^{p}(\Omega,\mu)$

On définit les espaces:

\mathcal{L}^{p}(\Omega,\mathscr{T},\mu;\mathbb{K})=\{f:\Omega\to\mathbb{K}\ % \textrm{mesurable}\ |\int|f|^{p}d\mu<\infty\},

pour $p\in[1,\infty[$ . Alors

||f||_{p}=(\int d\mu|f|^{p})^{1/p}.

n’est pas une norme (mais une seminorme sur $\mathcal{L}^{p}(\Omega,\mathscr{T},\mu)$ car si $||f||_{p}=0$ alors $f$ est seulement nulle presque partout. On considère donc l’espace des classes d’équivalences à égalité presque partout près de fonctions $\dot{f}$ et l’espace de Lebesgue :

$\bigstar$ Définition 6.2.

\mathrm{L}^{p}(\Omega,\mathscr{T},\mu;\mathbb{K})=\{\dot{f};f:\Omega\to\mathbb% {K}\ \textrm{mesurable et}\int|f|^{p}d\mu<\infty\},

pour $p\in[1,\infty[$ .

Comme pour le cas $p=\infty$ , on on note aussi plus brièvement

\mathrm{L}^{p}(\Omega;\mathbb{K})=\mathrm{L}^{p}(\Omega,\mu;\mathbb{K})=% \mathrm{L}^{p}(\Omega,\mathscr{T},\mu;\mathbb{K})

et $\mathrm{L}^{p}(\Omega)=\mathrm{L}^{p}(\Omega;\mathbb{R})$ , si il n’y a pas de confusion possible.

Par la suite, on identifie $f$ à $\dot{f}$ dans ce contexte, on répète que les égalités sont des égalités $\mu-p.p.$ .

Montrons que $||.||_{p}$ est une norme sur $L^{p}(\Omega,\mathscr{T},\mu).$ La séparation et l’homogénéité sont maintenant évidentes. On rappelle l’inégalité de Hölder d’abord dans le cas le plus simple

Proposition 6.3.

Si $f$ , $g$ sont mesurables, $\|f\|_{p}<+\infty$ et $\|g\|_{\infty}<+\infty$ , alors $fg\in L^{p}(\Omega,\mathscr{T},\mu;\mathbb{K})$ et $\|fg\|_{p}\leq\|f\|_{p}\|g\|_{\infty}$ .

Démonstration :

Il suffit de noter que, $\mu$ -presque partout, on a $|g(x)|\leq\|g\|_{\infty}$ , et donc $|f(x)g(x)|^{p}\leq|f(x)|^{p}\|g\|_{\infty}^{p}$ . En intégrant cette inégalité, on obtient bien

\|fg\|_{p}^{p}=\int_{\Omega}|f(x)g(x)|^{p}d\mu\leq\int_{\Omega}|f(x)|^{p}\|g\|% _{\infty}^{p}d\mu=\|f\|_{p}^{p}\|g\|_{\infty}^{p}\ .

□

La version générale est la suivante

$\bigstar$ Lemme 6.4 (inégalité de Hölder).

Si $p,q\in[1,\infty[$ tels que $1/p+1/q=1/r\leq 1$ , $f\in L^{p}(\Omega,\mathscr{T},\mu;\mathbb{K}),g\in L^{q}(\Omega,\mathscr{T},% \mu;\mathbb{K})$ alors $fg\in L^{r}(\Omega,\mathscr{T},\mu;\mathbb{K})$ et

||fg||_{r}\leq||f||_{p}||g||_{q}.

Démonstration :

En remplaçant $f, g$ par $|f|^{r},|g|^{r}$ on se ramène au cas $r=1$ .

Par hypothèse dans le cas $r=1$ , $1<p<\infty$ , on remarque que par concavité du logarithme, on a pour $a,b>0$

\log\left(a^{p}/p+b^{q}/q\right)\geq\log\left(a^{p}\right)/p+\log\left(b^{q}% \right)/q=\log\left(ab\right).

Donc on obtient en exponentiant (et en vérifiant directement les cas d’annulations), l’inégalité d’Young:

|f(x)g(x)|\leq\frac{|f(x)|^{p}}{p}+\frac{|g(x)|^{q}}{q}.

Donc en intégrant, on obtient $fg\in L^{1}$ et appliquant à $\lambda f$ , $\lambda>0$ :

||fg||_{1}\leq\frac{\lambda^{p-1}}{p}||f||_{p}^{p}+\frac{\lambda^{-1}}{q}||g||% _{q}^{q}.

Comme le cas d’annulation $||f||_{p}=0$ ou $||g||_{q}=0$ sont évidents (car alors $fg=0$ $\mu-p.p.$ ), on conclut en supposant $||f||_{p}\neq 0,||g||_{q}\neq 0$ et en prenant la valeur de $\lambda$ donnant le minimum $\lambda=||f||_{p}^{-1}||g||_{q}^{q/p}.$ □

Une conséquence importante est l’exercice suivant:

Exercice 6.2.

Si $\mu$ est une mesure finie pour $1\leq p\leq q\leq\infty$ , montrer que:

L^{\infty}(\Omega,\mathscr{T},\mu;\mathbb{K})\subset L^{q}(\Omega,\mathscr{T},% \mu;\mathbb{K})\subset L^{p}(\Omega,\mathscr{T},\mu;\mathbb{K})\subset L^{1}(% \Omega,\mathscr{T},\mu;\mathbb{K}).

On en déduit l’inégalité triangulaire:

$\bigstar$ Théorème 6.5 (Inégalité de Minkowski).

Soient $p\in[1,+\infty]$ et $f,g\in L^{p}(\Omega)$ . Alors $f+g\in L^{p}(\Omega)$ et $\|f+g\|_{p}\leq\|f\|_{p}+\|g\|_{p}$ .

Démonstration :

On a déjà traité le cas $p=+\infty$ , et le cas $p=1$ est simplement l’inégalité triangulaire habituelle. Supposons donc $p\in]1,+\infty[$ et $f,g\in L^{p}(\Omega)$ .

Commençons par montrer que $\|f+g\|_{p}<+\infty$ . Comme $x\mapsto x^{p}$ est convexe et croissante, on a pour tout $x$ que

\left(\left|\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}g(x)\right|\right)^{p}\leq\left(\left|% \frac{1}{2}f(x)\right|+\left|\frac{1}{2}g(x)\right|\right)^{p}\leq\frac{1}{2}|% f(x)|^{p}+\frac{1}{2}|g(x)|^{p}\ .

En intégrant cette inégalité, on obtient que

\frac{1}{2^{p}}\|f+g\|_{p}^{p}\leq\frac{1}{2}(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}))\ .

Ceci nous prouve que $\|f+g\|_{p}<+\infty$ .

Maintenant, notons $\displaystyle q=\frac{p}{p-1}$ l’exposant conjugué de $p$ . Ci-dessous, on va utiliser l’inégalité de Hölder, et le fait que

\left\||f+g|^{p-1}\right\|_{q}=\left(\int_{\Omega}|f+g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{% \frac{1}{q}}=\left(\int_{\Omega}|f+g|^{p}\right)^{1-\frac{1}{p}}=\|f+g\|_{p}^{% p-1}\ .

Alors on a

\|f+g\|_{p}^{p}=\int_{\Omega}|f+g|^{p}d\mu\\ \leq\int_{\Omega}(|f|+|g|)|f+g|^{p-1}d\mu\\ =\int_{\Omega}|f||f+g|^{p-1}d\mu+\int_{\Omega}|g||f+g|^{p-1}d\mu\\ \leq\|f\|_{p}\left\||f+g|^{p-1}\right\|_{q}+\|g\|_{p}\left\||f+g|^{p-1}\right% \|_{q}\\ =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})\left\||f+g|^{p-1}\right\|_{q}\\ =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})\|f+g\|_{p}^{p-1}

Si jamais $\|f+g\|_{p}=0$ on n’a rien à démontrer; sinon, en divisant des deux côtés par $\|f+g\|_{p}^{p-1}$ on obtient finalement $\|f+g\|_{p}\leq\|f\|_{p}+\|g\|_{p}$ . □

Exercice 6.3.

Soit $(\Omega,\mathscr{T},\mu)$ un espace mesure $\sigma$ -fini. Soit $f\geq 0$ une fonction mesurable positive, alors pour $p\in]0,\infty[$

\int f^{p}d\mu=\int_{0}^{\infty}dtpt^{p-1}\mu(\{\omega:f(\omega)>t\}).

On rappelle d’abord la version $L^{p}$ du théorème de convergence dominée.

$\bigstar$ Théorème 6.6 (Théorème de convergence dominée $L^{p}$ ).

Soit $p\in[1,+\infty[$ . Soit $(\Omega,\mu)$ un espace mesuré, et $f_{n}$ une suite de fonctions mesurables convergeant $\mu$ -presque partout vers $f$ , et vérifiant la domination $|f_{n}|\leq g$ avec $g\in L^{p}(\Omega,\mu)$ . Alors, $f_{n},f\in L^{p}(\Omega,\mu)$ et $f_{n}$ converge vers $f$ dans $L^{p}(\Omega,\mu)$ , c’est à dire.

\lim_{n\to\infty}||f_{n}-f||_{p}=0.

Démonstration :

On a $|f_{n}-f|^{p}\to 0$ $\mu$ -presque partout. De $|f_{n}|\leq g$ on déduit que $f_{n},inL^{p}(\Omega,\mu;\mathbb{K})$ en passant à la limite on obtient $|f|\leq g$ et donc $f\in L^{p}(\Omega,\mu;\mathbb{K})$ . De plus, on a la domination :

|f_{n}-f|^{p}\leq(|f_{n}|+|f|)^{p}\leq(2g)^{p}=2^{p}g^{p}

et comme $g\in L^{p}(\Omega,\mu)$ et positive, on déduit que $g^{p}=|g|^{p}$ est $\mu$ -intégrable et sert donc de domination pour appliquer le théorème de convergence dominée usuelle qui donne le résultat:

||f_{n}-f||_{p}^{p}=\int_{\Omega}|f_{n}-f|^{p}d\mu\to_{n\to\infty}\int_{\Omega% }0d\mu=0.

□

$\bigstar$ Théorème 6.7 (de Riesz-Fischer).

Soit $(\Omega,\mu)$ un espace mesuré, les espaces $L^{p}(\Omega,\mu,\mathbb{K})$ pour $p\in[1,\infty]$ sont des espaces de Banach.

Démonstration :

On vient de voir que $L^{p}(\Omega,\mu,\mathbb{K})$ est un espace vectoriel normé, et même la complétude dans le cas $p=\infty$ .

Il reste le cas $p<\infty$ . En décomposant en partie réelle et imaginaire, on peut supposer et donc on suppose $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ .

Pour la complétude, on utilise la proposition 2.6. Soit $\displaystyle\sum u_{n}$ qui est absolument convergente, il faut montrer qu’elle converge dans $L^{p}$ . Soit $g_{k}=\displaystyle\sum_{n=1}^{k}|u_{n}|$ , $||g_{k}||_{p}\leq\displaystyle\sum||u_{n}||_{p}$ et $|g_{k}|^{p}$ est croissante, donc par convergence monotone converge vers $g$ avec $||g||_{p}\leq\displaystyle\sum||u_{n}||_{p}$ . Donc $|g|^{p}\in L^{1}$ qui donne une domination pour $|\displaystyle\sum u_{n}|^{p}$ et $\displaystyle\sum u_{n}$ est p.p. absolument convergente, donc a p.p. une limite et par convergence dominée, converge donc dans $L^{p}$ . . □

2.1 Résultats de convergences

En suivant le même raisonnement on obtient le résultat suivant:

$\bigstar$ Théorème 6.8.

Soient $(\Omega,\mathcal{T},\mu)$ un espace mesuré, $p\in[1,+\infty[$ , et $(f_{n})$ une suite d’éléments de $L^{p}(\Omega)$ qui converge vers $f$ dans $(L^{p}(\Omega),\|\cdot\|_{p})$ . Alors il existe une suite extraite $(f_{n_{k}})$ telle que $(f_{n_{k}})$ tend vers $f$ , $\mu$ -presque partout et dans $L^{p}(\Omega)$ .

Démonstration :

On extrait $(f_{n_{k}})$ telle que $||f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}||_{p}\leq 1/2^{k}.$ (c’est possible car la suite est de Cauchy dans $L^{p}$ donc on prend $n_{k}$ telle que $||f_{q}-f_{n_{k}}||_{p}\leq 1/2^{k}$ pour $q\geq n_{k}.$ )

Donc on pose $g_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}|f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}|$ qui est une suite croissante avec

||g_{k}||_{p}\leq\displaystyle\sum_{k}||f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}||_{p}\leq% \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}1/2^{k}=1.

On déduit donc en appliquant le théorème de convergence monotone que $g_{k}$ a une limite $g=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}|f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}|$ telle que $||g||_{p}\leq 1$ . On l’utilise maintenant comme condition de domination. Donc $\displaystyle\sum_{k}(f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}})$ est absolument convergente sur $A=\{\omega:g(\omega)<\infty\}$ et on a $\mu(A^{c})=0$ , vu $||g||_{p}<\infty$ . Donc par série télescopique $(f_{n_{k}}(\omega))$ converge pour $\omega\in A$ . (et comme suite extraite elle converge aussi dans $L^{p}$ mais en fait elle est dominée par $|f_{n_{0}}|+g\in L^{p}$ et converge aussi par convergence dominée). □

Proposition 6.9.

Soient $(\Omega,\mathcal{T},\mu)$ un espace de probabilité et $f\colon\Omega\to[0,+\infty]$ une fonction mesurable. Alors on a

\|f\|_{\infty}=\lim_{p\to+\infty}\|f\|_{p}\ .

Démonstration :

Commençons par remarquer que l’on a toujours

\|f\|_{p}=\left(\int_{\Omega}|f|^{p}d\mu\right)^{\frac{1}{p}}\leq\left(\|f\|_{% \infty}^{p}\mu(\Omega)\right)^{\frac{1}{p}}=\|f\|_{\infty}\ .

Par conséquent, si $\|f\|_{p}\to+\infty$ quand $p\to+\infty$ alors $\|f\|_{\infty}=+\infty$ . Pour voir la réciproque, notons que pour $t<\|f\|_{\infty}$ fixé, l’ensemble $A_{t}=\{x\in\Omega\colon|f(x)|>t\}$ est de mesure strictement positive, par conséquent

\|f\|_{p}\geq(t^{p}\mu(A_{t}))^{\frac{1}{p}}=t\mu(A_{t})^{\frac{1}{p}}\to t% \text{ quand }p\to+\infty\ .

Ceci montre que si $\|f\|_{\infty}=+\infty$ alors $\|f\|_{p}$ tend vers $+\infty$ ; mais aussi que, si $\|f\|_{\infty}<+\infty$ on a pour tout $\varepsilon>0$ que pour $p$ suffisamment grand $\|f\|_{\infty}-\varepsilon\leq\|f\|_{p}\leq\|f\|_{\infty}$ . □

2.2 Résultats de densité

On rappelle le résultat suivant qui se déduit de la construction de l’intégrale (cf. lemme 4.21)

Lemme 6.10.

Soit $(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ un espace $\sigma$ -fini. L’ensemble $S$ des fonctions étagées intégrables est dense dans tous les $L^{p}(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ , $1\leq p<\infty$ . En particulier, $L^{1}(\Omega,\mu,\mathscr{T})\cap L^{\infty}(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ est dense dans $L^{p}(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ pour $1\leq p<\infty$ .

Lemme 6.11.

Soit $(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ un espace $\sigma$ -fini avec $\mathscr{T}=\sigma(\mathcal{E})$ pour $\mathcal{E}$ une famille stable par intersection finie et de mesure finie pour $\mu$ , et contenant une suite $A_{n}$ avec $\mu(A_{n})<\infty$ et $\Omega=\cup_{n}A_{n}$ . Alors l’espace vectoriel $E=Vect\{1_{A},A\in\mathcal{E}\}$ est dense dans tous les $L^{p}(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ , $1\leq p<\infty$ . En particulier, si $\mathcal{E}$ est dénombrable, alors $L^{p}(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ , $1\leq p<\infty$ est séparable.

En général $L^{\infty}(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ n’est PAS séparable, sauf si $\Omega$ est un ensemble fini, par exemple $\ell^{\infty}(\mathbb{N})$ n’est pas séparable (c’est un exercice plus dur de niveau M1).

Démonstration :

Soit $A_{n}\in\mathcal{E}$ avec $\mu(A_{n})<\infty$ et $\Omega=\cup_{n}A_{n}$ .

Soit $\mathcal{M}:=\{A\in\mathscr{T}:\forall n,1_{A\cap A_{n}}\in\overline{E}^{L^{p}}\}$ . Clairement $\mathcal{E}\subset\mathcal{M}$ . On va montrer que $\mathcal{M}$ est une classe monotone:

‣

$\Omega\in\mathcal{M}$ car $1_{A_{n}}\in E$
‣

Si $A\subset B$ et $A,B\in\mathcal{M}$ , on a $1_{(B\setminus A)\cap A_{n}}=1_{B\cap A_{n}}-1_{A\cap A_{n}}$ par le TD 1 donc dans l’espace vectoriel $\overline{E}^{L^{p}}$ .
‣

Si $B_{m}\in\mathcal{M}$ suite croissante d’union $B$ alors $1_{B_{m}\cap A_{n}}\to 1_{B\cap A_{n}}$ partout par le TD 1, Or on a domination par $1_{A_{n}}\in L^{p}(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ donc par convergence dominée $1_{B_{m}\cap A_{n}}\to 1_{B\cap A_{n}}$ dans $L^{p}(\Omega,\mu,\mathscr{T})$ et donc $1_{B\cap A_{n}}\in\overline{E}^{L^{p}}$

Le lemme de classe monotone implique $\mathcal{M}\supset\mathscr{T}(\mathcal{E})$ . Donc si $B\in\mathscr{T}(\mathcal{E})$ est de mesure finie, on a $1_{B\cap A_{n}}\in\overline{E}^{L^{p}}$ et par la même application du théorème de convergence dominée (par $1_{B}$ cette fois) on déduit $1_{B}\in\overline{E}^{L^{p}}$ . Donc $\overline{E}^{L^{p}}$ contient toute fonction étagée intégrable et le résultat précédent conclut. La séparabilité vient de la densité de l’ensemble dénombrable $Vect_{\mathbb{Q}}(1_{A},A\in\mathcal{E})$ . □

Le support d’une fonction continue $f$ est le fermé $\mathrm{supp}(f)=\overline{f^{-1}(\{0\})^{c}}$ . Un fonction sur $\mathbb{R}^{n}$ est donc à support compact quand elle est nulle en dehors d’un ensemble borné. On note $C^{0}_{c}(\Omega)$ est l’ensemble des fonctions à support compact sur un ouvert $\Omega$ .

$\bigstar$ Théorème 6.12.

Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ un ouvert et $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur la tribu borélienne $\mathcal{B}(\Omega)=\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})_{\Omega}$ (tribu induite sur $\Omega$ ). Alors l’ensemble des fonctions continues à support compact $C^{0}_{c}(\Omega)$ est dense dans $L^{p}(\Omega,\mathcal{B}(\Omega),\lambda)$ pour $1\leq p<\infty$ , qui est séparable.

Démonstration :

Par le lemme précédent avec $\mathcal{E}=\{A=\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}],a_{i}\leq b_{i}\}$ l’ensemble des pavés, il suffit de voir que les $1_{A}$ sont approchés par des fonctions continues à support compact pour $A=\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]$ . Par produit de fonctions (de variables différentes), cela se ramène au cas $n=1$ . Soit $f=1_{[a,b]}$ et $f_{n}(t)=1$ si $t\in[a,b]$ , $f_{n}(t)=1-max(n(t-b),1)$ si $t>b$ , $f_{n}(t)=1-max(n(a-t),1)$ si $t<a$ . Alors il est facile de voir que $(f_{n})_{n\geq 1}$ est une suite dans $C^{0}_{c}(\Omega)$ qui converge ponctuellement vers $f$ (exo). Elle est dominée par $1_{[a-1,b+1]}$ qui est dans $L^{p}(\Omega,\mathcal{B}(\Omega),\lambda)$ pour $1\leq p<\infty$ donc par convergence dominée, $||f_{n}-f||_{p}\to 0$ . Donc on peut appliquer le lemme précédent et conclure. □

2 Définitions et propriétés élémentaires des espaces Lp⁢(Ω,μ)

★ Définition 6.2.

Proposition 6.3.

★ Lemme 6.4 (inégalité de Hölder).

Exercice 6.2.

★ Théorème 6.5 (Inégalité de Minkowski).

Exercice 6.3.

★ Théorème 6.6 (Théorème de convergence dominée Lp).

★ Théorème 6.7 (de Riesz-Fischer).

2.1 Résultats de convergences

★ Théorème 6.8.

Proposition 6.9.

2.2 Résultats de densité

Lemme 6.10.

Lemme 6.11.

★ Théorème 6.12.

2 Définitions et propriétés élémentaires des espaces $L^{p}(\Omega,\mu)$

$\bigstar$ Définition 6.2.

$\bigstar$ Lemme 6.4 (inégalité de Hölder).

$\bigstar$ Théorème 6.5 (Inégalité de Minkowski).

$\bigstar$ Théorème 6.6 (Théorème de convergence dominée $L^{p}$ ).

$\bigstar$ Théorème 6.7 (de Riesz-Fischer).

$\bigstar$ Théorème 6.8.

$\bigstar$ Théorème 6.12.