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Séminaire EDP-Analyse de l'Institut Camille Jordan

Le mardi, de 14h à 15h, en salle Fokko du Cloux du Bâtiment Braconnier accès

Organisateurs: Aymeric Baradat et Pierre-Damien Thizy

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*Stéphane Attal :10h-10h50 Des interactions quantiques répétées aux interactions quantiques continues. *Louis Dupaigne : 11h-11h50 Grandes solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques. *Repas : 12h-13h *Olivier Druet : 13h-13h50 Equations de contrainte en relativité générale.

Résumé: Etant donnée une surface riemannienne compacte, on examinera la première valeur propre non nulle du Laplacien. On répondra en particulier à une vieille question classique (depuis les travaux de Yang et Yau dans les années 80) : existe-t-il une métrique (régulière) qui maximise cette première valeur propre sur une surface donnée ? On montrera également le lien entre ce problème et les immersions minimales de surfaces dans des sphères.

Résumé : I will present approximation, existence and regularity results for Yang-Mills minimizers in supercritical dimensions, based on a joint project with Tristan Rivière. Uhlenbeck's results provided the analytic foundations for the study of Yang-Mills connections on bundles over 4-manifolds. The object of study in that case was the class of Sobolev connections on smooth bundles. In dimensions 5 and higher the space of Sobolev connections over smooth bundles does not allow to apply the direct methods of the Calculus of Variations to obtain Yang-Mills minimizers. The substitute is a space of weak connections over singular bundles, in which a weak closure result allows constructing Yang-Mills connections by direct minimization. The main tool for the optimal partial regularity result for Yang-Mills stationary connections in 5 dimensions is an approximation by connections with finitely many topological defects. Such approximation allows to apply a Morrey space analogue of Uhlenbeck's classical result, relaxing the approximability assumption from previous singularity removal results by Tao-Tian and Meyer-Rivière.

résumé: Nous allons étudier le comportement asymptotique des défauts vortex au bord, ainsi que leur énergie d'interaction dans un régime de filme mince en micromagnétisme. L'outil clé dans cette théorie repose sur la notion de “jacobien au bord” qui détecte les singularités topologiques situées à la frontière du domaine. Nous montrons la concentration de l'énergie autour de ces vortex au bord et nous déterminons l'énergie renormalisée qui gouverne la position optimale des défauts. C'est un travail en collaboration avec Matthias Kurzke de l'Université de Nottingham.

14h: Maria Schonbeck Stabilité $L^2$ asymptotique des solutions “mild” du système de Navier-Stokes dans $R^3$.

15h15: Helena Nussenzveig Lopes FLOWS OF VECTOR FIELDS WITH POINT SINGULARITIES AND THE VORTEX-WAVE SYSTEM

Nous nous interesserons au semigroupe de la chaleur, sur une variété Riemannienne. L'opérateur Laplacien permet de définir des espaces de Sobolev fractionnaires. Dans l'espace Euclidien, il est bien connu que l'intersection de ces espaces avec L^\infty forment des algèbres et sont stables par des nonlinéarités Lipschitz.

Nous décrirons comment ces propriétés peuvent être étendues dans le cadre d'une variété Riemannienne au travers d'hypothèses de régularité sur le noyau de la chaleur.

C'est un travail en collaboration avec Thierry Coulhon et Dorothee Frey.

Abstract : Two compact Riemannian manifolds are called isospectral if the spectrum of the Laplace operator associated to each metric is the same, including multiplicities. It is known that isospectral metrics are not necessarily isometric. In 1988, B. Osgood, R. Phillips and P. Sarnak proved compactness of isospectral sets of isometry classes of compact surfaces in the smooth topology. The concept of isospectral open manifold needs to be reformulated. We consider surfaces that have boundaries and ends that are asymptotic to cusps or asymptotic to funnels. We define the concept of being relatively isospectral. I will explain how we prove compactness of relatively isospectral sets using conformal surgeries. The results to be presented in the talk are joint work with Pierre Albin and Frederic Rochon.

Résumé: on montre comment construire des solutions de certains problèmes elliptiques avec données L^p et on donne des estimations intérieures de ces solutions. Il s'agit d'un travail en commun avec Sebastian Stahlhut.

Etant données deux mesures de probabilité $\mu_0$, $\mu_1$ sur un graphe $G$, nous construisons une courbe $(\mu_t)_{t \in [0,1]}$ les joignant. Cette courbe a des propriétés proches de celles des géodésiques dans l'espace $(P(M),W_2)$ des mesures de probabilités sur une variété riemannienne muni de la distance de Wasserstein $W_2$. Dans l'esprit de la théorie de Lott-Villani-Sturm sur les espaces métriques à courbure de Ricci minorée, nous montrons que les propriétés de convexité de la fonction d'entropie $t \mapsto H(\mu_t)$ sont liées à la géométrie du graphe $G$.

L'exposé s'intéressera à la propagation du chaos d'un système de particules vers la diffusion de McKean-Vlasov, l'interprétation probabiliste de l'équation des milieux granulaires. Pour ce faire, on utilisera la convergence en temps long. On présentera d'abord quelques résultats classiques qui montrent que la propagation du chaos peut entraîner la convergence en temps long. Puis, on utilisera un résultat récent de Bolley, Gentil et Guillin pour obtenir la convergence en temps long en distance de Wasserstein dans un cas non convexe et l'on démontrera alors que ce résultat implique la propagation du chaos uniforme. * Mardi 17 juin 2014

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