13 Espaces métriques séparables

Définition 2.29.

Une partie $A$ est dite dense dans $E$ si $\overline{A}=E$ . Un ensemble est dit séparable si il admet un sous-ensemble au plus dénombrable dense (ou autrement dit une suite dense).

Lemme 2.53.

Un sous-ensemble $F$ d’un espace métrique séparable est séparable.

Démonstration :

On peut supposer $F$ non-vide, sinon, c’est évident (la partie vide donc finie est dense). On fixe donc $x_{0}\in F$

Soit $u_{n}$ une suite dénombrable dense. Soit $a_{m,n}\in B(u_{m},1/n)\cap F$ si cet ensemble est non-vide, et sinon on pose $a_{m,n}=x_{0}$ . La famille $\{a_{m,n},m,n\in\mathbb{N}\}$ est finie ou dénombrable et dense car si $x\in F$ il existe $d(u_{m},x)<1/2n$ donc $a_{m,2n}$ existe car $B(u_{m},1/2n)\cap F$ est non vide et par inégalité triangulaire $d(u_{m},a_{m,2n})<1/n.$ □

Proposition 2.54.

$(\mathbb{R}^{n},||.||_{\infty})$ est séparable.

Démonstration :

On a vu que $\mathbb{Q}^{n}$ est dénombrable comme produit d’ensembles dénombrables. Montrons qu’il est dense dans $\mathbb{R}^{n}$ . En effet si $x=(x_{1},...,x_{n})$ on pose $x_{p}=(\frac{\lfloor px_{1}\rfloor}{p},...,\frac{\lfloor px_{n}\rfloor}{p})$ avec $\lfloor x\rfloor$ la partie entière de $x$ . Donc $\lfloor px_{i}\rfloor\leq px_{i}\leq\lfloor px_{i}\rfloor+1$ et

\Big{|}\frac{\lfloor px_{i}\rfloor}{p}-x_{i}\Big{|}\leq\frac{1}{p}

donc $||x_{p}-x||_{\infty}\leq 1/p\to_{p\to\infty}0$ . Donc vu $x_{p}\in\mathbb{Q}^{n}$ , $x\in\overline{\mathbb{Q}^{n}}$ . Comme $x$ est arbitraire. $\mathbb{R}^{n}\subset\overline{\mathbb{Q}^{n}}$ CQFD. □

Exercice 2.5.

Montrer que $\mathbb{Q}^{c}$ est dense dans $\mathbb{R}$ .