Séminaire "Groupes, Géométrie et Logique"

mercredi 8 juin, Elisabeth Bouscaren, Université Paris 11: Groupes pseudo-simples sur un corps séparablement clos.



mercredi 1 juin, Patrick Dehornoy, Université de Caen: Groupes automatiques, avec l'exemple des groupes de tresses et des groupes de Garside.

Résumé : Décrits par Cannon et Thurston à la fin des années 1980 et caractérisés par l'existence d'automates finis calculant en un certain sens la multiplication, les groupes automatiques sont une vaste famille de groupes ayant de bonnes propriétés combinatoires et géométriques, telles qu'un problème de mot résoluble en temps quadratique, un problème de conjugaison résoluble, ou une borne uniforme de distance entre les géodésiques du graphe de Cayley. On montrera pourquoi les groupes de tresses d'Artin, et plus généralement les groupes de Garside, définis comme groupes de fractions de monoïdes admettant des pgcd et ppcm, sont des groupes automatiques.

mercredi 25 mai, Franz Timmesfeld, University of Giessen, Germany: Rank one groups.

Résumé : A rank one group is a group $X$, generated by two different nilpotent subgroups $A$ and $B$ satisfying: for each $1 \not= a \in A$ there exists a $b \in B$ with $A^b = B^a$ (and vice versa).
This definition is equivalent to a group with a split $BN$-pair of rank one and also to the Moufang sets introduced by J. Tits. They are so interesting, since the subgroups generated by two opposite root groups on some Moufang building are rank one groups.
Properties and classifications of rank one groups will be discussed and also a new connection with quadratic Jordan division algebras, discovered by Tom de Medts and R. Weiss.

mercredi 27 avril, Abderezak Ould Houcine, ICJ-Université Lyon 1: Géométrie algébrique sur les groupes et rangs modèles-théoriques.

Résumé : Baumslag, Myasnikov et Remeslennikov ont développé la géométrie algébrique sur les groupes en utilisant des notions semblables a celles de la géométrie algébrique sur les corps algébriquement clos. Un ensemble $V$ de $G^n$ est dit algébrique s'il est l'ensemble de solutions d'un système d'équations à paramètres dans $G$. On peut définir d'une façon analogue une topologie de Zariski en décrétant qu'un ensemble est fermé s'il est l'intersection d'unions finis d'ensembles algébriques. Dans ce cadre une notion importante est celle de groupe équationnellement noethérien. Un groupe $G$ est dit équationnellement noethérien si toute suite descendante d'ensembles algébriques est stationnaire. Parmi les exemples connus de groupes équationnellement noethériens il y a les groupes linéaires, les groupes abéliens, les groupes de type fini abélien-par-nilpotent. En particulier un modèle de la théorie universelle des groupes libres est équationnellement noethérien.
On introduit une notion de dimension, le rang de Morley sans quantificateurs et on étudie ses relations avec la topologie de Zariski sur les groupes. Dans un groupe équationnellement noethérien un ensemble est constructible si et seulement s'il est définissable sans-quantificateur. Un groupe ayant une extension $\aleph_0$-saturé équationnellement noethérienne est rangé par le rang de Morley sans-quantificateur. Le rang peut être un ordinal infini.
Ce rang s'est avéré intéressant pour étudier les modèles de la théorie universelle des groupes libres. Comme application des liens trouvés on a les résultas suivants : un modèle non-abélien M de la théorie universelle des groupes libres est connexe, M est existentiellement clos dans M*Z ( en particulier M et M*Z ont la même théorie AE), tout sous-groupe définissable sans-quantificateur et propre de M est abélien.
Les groupes de rang 1, 2 ou 3 incluent les classes suivantes: - les sous-groupes de SL_2(K) - les sous-groupes de type fini d'un groupe de rang de Morley 3 (en particulier ceux d'un mauvais groupe) - les modèles de la théorie universelle des groupes libres. Cette liste de groupes connus motive l'étude des groupes de petit rang.
Un autre problème est celui des équations génériques : Poizat avait posé la question de savoir si dans un groupe de rang de Morley fini connexe, une équation satisfaite génériquement est partout satisfaite. On dit d'un groupe vérifiant la propriété précédente qu'il est équationnellement générique. Un lien avec les groupes équationnellement noethériens est le suivant : un groupe connexe équationnellement noethérien et de rang de Morley sans-quantificateur ordinal est équationnellement générique. Inversement un groupe de rang de Morley fini, connexe et équationnellement générique dont le centre est trivial est équationnellement noethérien. En particulier pour un groupe simple de rang de Morley fini il y a équivalence entre équationnellement noethérien et équationnellement générique.

mercredi 13 avril, Gabriel Sabbagh, Université Paris 7: Deux généralisations modèles-théoriques des structures finies.

Résumé : On dit qu'une structure S finiment engendrée est QFA (quasifiniment axiomatisable) s'il existe un énoncé (du premier ordre) dont S est, à isomorphisme près, le seul modèle finiment engendré. Cette notion est dûe à A.Nies. Exemples : l'anneau Z est QFA. Un groupe commutatif finiment engendré QFA est nécessairement fini. On dit qu'une structure S est pseudofinie si tout énoncé (du premier ordre) vrai dans S est vrai dans une structure finie. Exemples : un anneau commutatif finiment engendré pseudofini est nécessairement fini. Un groupe commutatif finiment engendré pseudofini est necessairement fini. On donnera quelques résultats et conjectures pour les anneaux et groupes finiment engendrés QFA ou pseudofinis(une structure finiment engendrée QFA et pseudofinie est evidemment finie) dûs à A.Khelif, A.Nies, F.Oger et l'auteur.
P.S.Cette conférence aurait sans doute pû être donnée avec assez peu de changements il y a quarante ou cinquante ans. On indiquera un problème ouvert dont la solution ne semble pas accessible aux méthodes existant à l'époque.

mercredi 30 mars, Ian Chiswell, Queen Mary, University of London: Locally invariant orders on groups.

Résumé : The idea of a locally invariant order on a group was introduced by D. Promislow. The class of groups having a locally invariant order is intermediate between the class of right orderable groups and the class of unique product groups. It is unknown if any of these classes coincide. Recent work of T. Delzant and S. Hair shows that certain groups are unique product groups by, in effect, showing they have a locally invariant order. This includes, for example, torsion-free Fuchsian groups. The class of groups having a locally invariant order has some interesting properties, for example, it is closed under free products and restricted direct products. It is unknown whether or not a tree-free group is right orderable, but it has a locally invariant order. The class of tree-free groups includes all torsion-free subgroups of SL2 (*Z), where *Z is an ultrapower of Z.

mercredi 16 mars, Diego Rattaggi, Université de Genève: Un groupe simple, de présentation finie, sans torsion.

Résumé : Mon but est de présenter une construction explicite d`un groupe ayant les propriétés mentionnées dans le titre et qui est réalisé comme groupe fondamental d`un complexe carré fini. De tels groupes ont été construits pour la première fois par Burger et Mozes en 1997. Je vais utiliser leurs méthodes et un plongement d`un groupe de Wise non-résiduellement fini pour arriver au but.

mercredi 2 mars, Exceptionnellement pas de séance.

mercredi 16 février, Gregory Cherlin, Rutgers University-IGD : Polygones de Moufang.

Résumé : Les polygones généralisés sont un cas particulier des immeubles de Tits, mais en dimension deux. La condition de Moufang est une condition de transitivité du groupe d'automorphisme, mis en évidence par Ruth Moufang en 1932 dans le cas de plans projectifs. Un livre récent de Tits et Weiss donne la classification complète des polygones généralisé de Moufang, annoncé il y a bien longtemps par Tits, avec quelques divergences. Le résultat final est qu'il y a un petit nombre de structures algébriques légèrement exotiques, qui classifient exactement les polygones de Moufang.

Cette classification comporte deux classifications distinctes. La première, et l'essentielle, est la classification de types de structures associés aux polygones de Moufang. On peut donner des classifications plus explicites dans un deuxièeme temps, en traitant chaque type individuellement. Par exemple, le travail de Moufang montre que les plans projectifs de Moufang correspondent à des corps gauches alternatifs (1932); le théorème de Bruck-Kleinfeld donne leur classification explicite (1951).

Je voudrais présenter quelques résultats tirés du livre de Tits et Weiss. D'abord, l'équivalence entre la condition de Moufang et la notion de suite de groupes de racines, bien qu'élémentaire, montre a priori que le problème de classification est purement algébrique. Ensuite, je voudrais considérer des exemples typiques de structures algébriques correspondant à des polygones de Moufang. Une question naturelle du point de vue de la théorie de modèles est l'équivalence mathématique entre la structure algébrique qui coordinatise un polygone, et le polygone lui-même. On peut exprimer cette équivalence de plusieurs manières, et dans un cas particulier il s'avère délicat (ou même, avec les définitions les plus strictes, faux).



mercredi 2 février, Cornelia Drutu, Université des Sciences et Technologies de Lille I: Groupes relativement hyperboliques, cônes asymptotiques, propriété DR.

Résumé : Tout comme les groupes hyperboliques, les groupes relativement hyperboliques peuvent être caractérisées en termes de leurs cônes asymptotiques : ceux-ci sont des espaces gradués sur des arbres, une notion qui généralise celle d'arbre réel. A partir de cette caractérisation, on peut déduire une définition des groupes relativement hyperboliques en termes de graphe de Cayley, des resultats de rigidité quasi-isométrique des groupes relativement hyperboliques, ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'un groupe relativement hyperbolique ait la propriété de Décroissance Rapide (DR). Tous ces resultats ont été obtenus en collaboration avec Mark Sapir.

mercredi 26 janvier, Gilbert Levitt, Université de Caen: Espaces de déformations d'arbres.

Exposé commun avec l'ENS Lyon Bâtiment Braconnier, Salle 112

Résumé : L'outre-espace est un espace contractile sur lequel agit le groupe des automorphismes d'un groupe libre. On expliquera géométriquement pourquoi il est contractile, et comment on peut le généraliser.

mercredi 15 décembre, Damien Gaboriau, Ens-Lyon : Sur quelques invariants d'équivalence orbitale.

Résumé : Lorsqu'un groupe agit sur un espace, il définit une relation d'équivalence ``être dans la même orbite''. Oublions l'action et le groupe pour ne retenir que la relation d'équivalence, et demandons-nous : De quoi se souvient-elle ? Peut-on retrouver le groupe qui l'a produite ? Mieux encore, peut-on retrouver l'action ? Dans le cas où une mesure finie est préservée, nous rappellerons quelques résultats classiques frappants et nous présenterons quelques nouveaux invariants. Ce sera l'occasion d'un petit parcours dans la zoologie des groupes discrets et d'une présentation des nombres de Betti , qui sont des dimensions généralisées au sens de von Neumann de certains espaces de Hilbert.

mercredi 8 décembre, Goulnara Arjantseva, Université de Genève: Plongements uniformes dans un espace de Hilbert et la propriété A de Guoliang Yu.

Résumé : La propriété A est une forme faible de moyennabilité qui garantisse l'existence d'un plongement uniforme d'un espace métrique dans un espace de Hilbert. Pour un groupe de type fini muni de la métrique des mots, cette propriété a d'importantes applications à la conjecture de Novikov et la conjecture de Baum-Connes "coarse". Dans cet exposé je vais d'abord présenter des résultats connus sur le sujet. Ensuite je vais discuter les groupes de diagrammes dont un groupe de Richard Thompson est un représentant typique. C'est un travail recent en collaboration avec V. Guba et M. Sapir.

mercredi 24 novembre, Francois Dahmani, Université Paul Sabatier, Toulouse: : Images de groupes dans un groupe relativement hyerbolique.

Exceptionnellement le séminaire commence à 17h.

Résumé : Les groupes relativement hyperboliques apparaissent comme des généralisations de groupes fondamentaux de variétés hyperboliques de volume fini, mais non compactes. Des exemples important sont les groupes limites de Sela. On étudie le nombre d'images possibles d'un groupe de présentation finie donné, dans un groupe relativement hyperbolique, à conjugaison près. Si l'on ne considère que les morphismes qui ne se factorisent pas à travers certains scindements, nommés paraboliques accidentels, ce nombre est fini.

mercredi 17 novembre, Exceptionnellement pas de séance.

mercredi 3 novembre, A. Ould Houcine, IGD : Groupes valués et théorème de Kurosh-Neumann revisité.

Résumé : Dans le but d'axiomatiser l'argument de Nielsen sur les sous-groupes des groupes libres, R.C. Lyndon avait introduit des groupes équipés d'une fonction à valeurs dans N et qui vérifie certains axiomes. Le but de l'exposé est de présenter certains des résultats de Lyndon et de Chiswell sur le sujet et de présenter aussi une généralisation du théorème de Neumann, sur les sous-groupes des produits libres amalgamés, aux groupes valués ayant une forme normale.

mercredi 20 octobre, Gregory Cherlin, Rutgers University - IGD : Conjugaison des bons tores. Transparents

Résumé : Nous démontrons que les "bons" tores maximaux dans un groupe de rang de Morley fini sont conjugués. Ce résultat fournit une généralisation utile d'un théorème de conjugaison standard dans les groupes algébriques.