Un livre de Philippe Caldero et Marie Péronnier

Éditions Calvage et Mounet
Collection Im et Ker

 

224 pages- publié en Mars 2019

Présentation du Carnet de Voyage

Errata du livre

Voici maintenant les errata, en espérant qu'une seconde édition permettra de corriger ces erreurs! En attendant merci à tous ceux qui m'envoient les erreurs qu'ils ont dénichées: Louise Friot-Giroux, Thomas Gontier, Pascal Isoard, Baptiste Maucourt, Coralie Thourault (liste évolutive...)

p. 17, exercice 1.1.3, question 1

Il faut changer, dans la formule de la trace de $AE_{ij}$, tous les $a_{i,j}$ par des $a_{j,i}$. Cela donne \[A E_{ij}=\sum_{k,l}a_{l,k}E_{kl}E_{ij}=\sum_{k,l}a_{l,k}\delta_{li}E_{kj}=\sum_k a_{i,k}E_{kj},\] et donc: \[\mathrm{tr}(A E_{ij})=\sum_k a_{i,k}\mathrm{tr}(E_{kj})=\sum_k a_{i,k}\delta_{kj}=a_{i,j}.\]

p. 31-32, remarque 1.3.5

Il faut remplacer tous les indices $a_{k-1}$ par l'indice $a_{n-1}$.

p. 38, exercice 1.3.21, question 3a)

Demander de montrer que $U$ et $V$ commutent et que $U\circ V$ stabilise $\mathcal S_n(\mathbb R)$.

p. 43, exercice 1.3.27

Page 43, ligne 5, lorsque l'on décrit la sphère unité pour la norme infinie, il faut mettre un max avant $\vert x_i\vert$.

p. 44, exercice 1.3.28

Page 44 Figure 1.1, il faut permuter cycliquement (dans le sens des aiguilles d'une montre) les indices des $z_i'$.

p. 45, exercice 1.3.28 3)

Page 45, une typo s'est glissée dans la formule de $\vert\lambda_m\vert^2$. Il faut remplacer, dans le produit $a_mb_m$ par $a_kb_k$.

p. 47, exercice 1.3.32

Il faut lire "S'il est non vide, il possède un élément de norme minimale (non nulle) $m$..".

p. 71, exercice 1.3.62

En fait, la probabilité pour qu'une matrice inversible admette une décomposition $LU$ est d'ordre égal à $1 - (n-1)q^{-1}$, et non pas $1 - nq^{-1}$. L'erreur de calcul se trouve juste à la dernière ligne. En revanche, la probabilité pour qu'une matrice (quelconque) admette une décomposition $LU$ est $1 -nq^{-1}$.

p. 77, exercice 1.3.68 question 2

Il existe une transvection $\tau$ de droite $D$, \emph{i.e.} $D=\mathrm{Im}(\tau-\mathrm{Id})$. (au lieu de $H=...$)

p. 88

Attention! Il faut remplacer $a_{ij}$ par $2a_{ij}$ dans la formule qui exprime $q(x)$.

p. 103, correction de l'exercice 2.4.1 3)

Ligne 5, il faut lire $\varphi_\lambda(u,y)=0$ au lieu de $\varphi(u,y)=0$.

p. 104, exercice 2.4.2 3)

Dans la correction de question 3), il faut lire "la différentielle de $q$ s'annule..." (et non pas $g$)

p. 107, exercice 2.5.3

Une hypothèse a été oubliée dans l'énoncé (mais utilisée dans la correction).

Il faut supposer que le corps $\mathbb L$ est de degré $m$ impair sur $\mathbb K$.

p. 115, exercice 3.2.1 3) (ii)

p. 115, une typo s'est glissée dans la construction de l'arc $\gamma$. Il faut prendre, pour $t\in[\frac 12,1]$ \[\gamma(t)=t+i(1-t)\mathrm{Im}(\alpha_m),\] sinon on n'aura pas $\gamma(1)=1.$

p. 120, exercice 3.3.3, question 2.

"ce qui implique $\vert m\vert <\epsilon+\vert n\vert$" Il faut lire "ce qui implique $\vert m\vert\alpha <\epsilon+\vert n\vert$" et "Si, par l'absurde, $\pi_1(I_\epsilon)$ est fini, il est alors borné, et $\pi_1(I_\epsilon)$ l'est également." Il faudrait remplacer le deuxième $\pi_1(I_\epsilon)$ par $\pi_2(I_\epsilon)$.

p. 122, Solution de l'exercice 3.4.1 sur l'ellipse de Steiner

Il faut lire $ABC$ au lieu de $A_0B_0C_0$ à la deuxième ligne. Il y a aussi une confusion de notations puisque $\mathcal E$ désigne à la fois le plan affine et l'ellipse.

p. 137,

p. 137, ligne 5. Lire $\mathcal E$ au lieu de $E$.

p. 139, Dictionnaire

Il y a une ambiguïté sur ce que l'on appelle $\mathcal T$ dans le tableau. Il s'agit bien du tétraèdre et non pas de l'ensemble $\{T_1,T_2\}$.

p. 148, Exercice 1.6.12, question 3b)

Dans la définition de $\mathbb K$, il faut oublier la condition $a^2+b^2=1$. En revanche, un peu plus bas à la fin de la correction de la question 1, il faut mettre la condition $a^2+b^2=1$ dans l'ensemble qui décrit $\mathrm{SO}_2(\mathbb F_p)$.

p. 160, question 4 de l'exercice 4.1.2.

Dans la première somme, il faut faire varier $k$ de $1$ à $l$, et pas à $n$. Dans la quatrième formule à partir de la fin, il faut remplacer $m$ par $l$.

p. 171, première ligne.

Il faut juste remplacer $b$ par $a$.

p. 198, correction de l'exercice 4.2.40, 4).

Quand on ordonne $\mathbb{F}_p$, il faut commencer par $1$ et non pas par $0$.

Photographies de Cheumou Phildroso

L'image en couverture a été prise par le photographe Cheumou Phildroso dans le désert du Thar, Rajasthan.

 

 

Voici quelques autres belles images du même voyage et du même Cheumou! Les couvertures auxquelles vous avez echappé!

A propos du livre

Cet ouvrage présente des développements choisis sur le thème de l'algèbre et de la géométrie pour les épreuves d'oral à l'agrégation interne et externe. Les résultats sont présentés sous forme d'exercices suivis de leurs corrigés détaillés. Pour chaque thème, les prérequis sont exposés, avec des références précises, afin d'épauler et de guider le candidat durant son année de préparation. Les auteurs nous entraînent sur des sentiers de randonnée de quinze minutes, de niveaux de difficultés balisés.

Addenda

Voici quatre preuves pour enterrer définitivement le problème de l'unicité de l'ellipse de Steiner. Des preuves élégantes pour un enterrement de première classe.

 

Un petit exercice proposé par Pascal Corm, dont la soluce mélange avec bonheur (et gourmandise), suite de type Fibonnacci et lemme chinois. Avec l'inévitable matrice compagnon étudiée forcément dans CVA, dont le polynôme associé est à la fois caractéristique et minimal.

 

Une autre histoire mélant, suite de Fibonacci et arithmétique. Quels sont les nombres de la suite qui se terminent avec un nombre fixé de zéros, dans leur écriture décimale? Et pour les écritures dans une autre base?

 

Une badinerie autour de la probabilité pour que deux éléments commutent dans un groupe fini.

 

Une histoire hédoniste de combinatoire où l'on commence par distribuer des chaussettes dans des tiroirs pour finir avec l'existence de solutions de l'équation de Fermat $x^k+y^k=z^k$ modulo $p$, pour $p$ assez grand. Bienvenue dans la théorie de Ramsey. Merci à Simon Robert pour nous avoir signalé cette jolie théorie. P> 

Pour les courageux qui ont choisi le théorème de Springer [CVA, 2.5.3] sur les vecteurs isotropes d'une forme quadratiques, voici un petit addendum d'Alex Moriani (Agrégatif 2020) addendum Springer par Alex.

 

Cartes mentales

Quelques petites synthèses sous formes de cartes mentales (mind maps) pour digérer les gros morceaux de l'algèbre à l'agrégation.

 

Voici les applications classiques de l'identité de Bezout.

 

Les étapes pour montrer l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, c'est-à-dire le théorème fondamental de l'arithmétique.

 

Pour ceux qui ne seraient pas convaincus de l'ubiquité des matrices compagnon en algèbre, voici deux versions: une plus basique et une autre plus impliquée.

 

Quelques applications à bien connaître du rang en algèbre linéaire.

 

Où rencontre-t-on des puissances de matrices en mathématiques?

 

Un bel eventail des applications de la topologie normique en algèbre linéaire.

 

: les panneaux-jury auxquels vous avez échappé, de notre ami Antoine Boivin!