2 Enveloppe convexe, cônes tangents et cônes normaux pour tout e.v.n. $E$ (Niveau L3)

Comme pour les adhérences, la stabilité par intersection garantit l’existence d’un plus petit convexe contenant $A$ .

Définition B.1.

L’enveloppe convexe d’un ensemble $A$ , notée $Conv(A)$ est le plus petit convexe contenant $A$ .

Lemme B.2.

Conv(A)=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}^{*}}\{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}% t_{i}x_{i},x_{i}\in A,avec\displaystyle\sum_{i=1}^{n}t_{i}=1,t_{i}\geq 0\}

Démonstration :

Soit $Conv^{\prime}(A)$ le membre de droite. $Conv^{\prime}_{n}(A)=\{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i},x_{i}\in A,avec% \displaystyle\sum t_{i}=1,t_{i}\geq 0\}$ Le cas $n=1$ dans l’union est $A$ donc $A\subset Conv^{\prime}(A)$ . Si $y_{1}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\in Conv^{\prime}_{n}(A),y_{2}=% \displaystyle\sum_{j=1}^{m}s_{j}z_{j}\in Conv^{\prime}_{m}(A)$ sont deux points quelconques, alors pour $\lambda\in[0,1]$

\lambda y_{1}+(1-\lambda)y_{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda t_{i}x_{i}+% \displaystyle\sum_{j=1}^{m}(1-\lambda)s_{j}z_{j}.

Comme $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda t_{i}+\displaystyle\sum_{j=1}^{m}(1-\lambda% )s_{j}=\lambda+(1-\lambda)$ on déduit $\lambda y_{1}+(1-\lambda)y_{2}\in Conv^{\prime}_{n+m}(A)$ . Ceci montre que $Conv^{\prime}(A)$ est un convexe qui contient $A$ .

Il est facile de voir que tout ensemble convexe est stable par combinaison convexe $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}$ avec $\displaystyle\sum t_{i}=1,t_{i}\geq 0$ par récurrence sur $n$ et ainsi $Con^{\prime}_{n}(A)\subset Conv(A)$ . Si $t_{n}=1,$ les autres sont nuls et rien n’est à montrer. En écrivant $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}=(1-t_{n})(\frac{1}{1-t_{n}}\displaystyle% \sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i})+t_{n}x_{n}$ on a par l’hypothèse de récurrence $\frac{1}{1-t_{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\in Conv(A)$ car $y_{n}:=\frac{1}{1-t_{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}t_{i}=(1-t_{n})/(1-t_{n})=1$ (et les coefficients sont positifs). Donc on a aussi la combinaison convexe $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}=(1-t_{n})y_{n}+t_{n}x_{n}\in Conv(A).$ □

Dans $\mathbb{R}^{n}$ il ne suffit que du barycentre de $n+1$ points.

Théorème B.3 (de Carathéodory).

(admis) Si $A\subset\mathbb{R}^{n}$ , on a

Conv(A)=\big{\{}\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}t_{i}x_{i},x_{i}\in A,avec% \displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}t_{i}=1,t_{i}\geq 0\big{\}}.

Les deux ensembles suivant seront importants pour formuler des conditions pour des problèmes de minimisation sous contrainte.

Définition B.2.

Le cône tangent de l’ensemble $A\subset E$ e.v.n. au point $a\in A$ est

T_{A}(a):=\{b\in E:\exists a_{i}\to a,a_{i}\in A,t_{i}>0,t_{i}\to 0:b=\lim% \frac{a_{i}-a}{t_{i}}\}

Le cône normal est son polaire, c’est à dire le cône convexe fermé :

N_{A}(a):=\{f\in E^{*}:\forall x\in T_{A}(a),f(x)\leq 0\}.

Exemple B.2.

$T_{A}(a)$ est toujours fermé. Si $L$ est un s.e.v de $E$ $a\in L$ , $T_{L}(a)=\overline{L}$ et $N_{L}(a)=L^{\perp}.$ Si $a\in Int(A)$ , $T_{A}(a)=E$ et $\mathbb{N}_{A}(a)=\{0\}.$

Le résultat montrer l’accord avec la définition du cas $E=\mathbb{R}^{n}$ dans le cas convexe (avec l’identification usuelle de $E^{\prime}$ à $E$ comme pour tout espace de Hilbert.)

Proposition B.4.

Si $S$ est convexe et $x\in S$ , alors $T_{x}(S)$ est convexe et $S\subset x+T_{x}(S)$ . De plus, on a

T_{x}(S)=\overline{\{\frac{u-x}{s},u\in S,s>0\}},\ \ N_{x}(S)=\{f\in E^{\prime% }:\forall u\in S,f(u-x)\leq 0\}

Démonstration :

$\mathbb{R}_{+}^{*}(S-x)$ est convexe comme $S-x$ donc en prenant l’adhérence, aussi l’ensemble $W=\overline{\mathbb{R}_{+}^{*}(S-x)}$ que l’on veut montrer être $T_{S}(x)$ . Si on a une suite $(x_{n}-x)/t_{n}\to u\in T_{S}(x)$ comme tous les éléments sont dan $W$ , on obtient par fermeture aussi la limite, donc $T_{S}(x)\subset W.$ Réciproquement, pour $t>0$ , $x_{n}:=\frac{t}{n}(u-x)+x=\frac{t}{n}u+(1-\frac{t}{n})x\in S$ pour $n$ assez grand par convexité et $(x_{n}-x)/t_{n}=t(u-x)$ si $t_{n}=1/n\to 0$ donc $t(u-x)\in T_{S}(x)$ comme voulu. Les autres relations sont alors évidentes, car $S-x\subset T_{S}(x)$ (car $s=1$ ) et par la définition de $N_{S}(x)$ comme polaire. □

2 Enveloppe convexe, cônes tangents et cônes normaux pour tout e.v.n. E (Niveau L3)

Définition B.1.

Lemme B.2.

Théorème B.3 (de Carathéodory).

Définition B.2.

Exemple B.2.

Proposition B.4.

2 Enveloppe convexe, cônes tangents et cônes normaux pour tout e.v.n. $E$ (Niveau L3)