3 Points selles (Niveau L2-L3)

Les points critiques $a$ qui ne sont pas des extrema peuvent être de différents types. L’absence d’extrema peut être visible sur une droite passant par $a$ s’il y a un point d’inflexion (comme pour $x\mapsto x^{3}$ dans $\mathbb{R}$ ) et il peut y avoir des points critiques qui sont des maxima dans certaines directions et des minima dans d’autres. Ces points ont un certain intérêt et seront nommés points selles.

Définition B.3.

Soit $U\subset\mathbb{R}^{n}$ et $f:U\to\mathbb{R}$ et $a\in U$ .

1.

Soient deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ supplémentaires $\mathbb{R}^{n}=F\oplus G$ (c’est à dire $F\cap G=\{0\}$ et $\mathbb{R}^{n}=F+G$ ) On dit que $a$ est un point selle (resp. point selle local) de $f$ selon la décomposition $\mathbb{R}^{n}=F\oplus G$ si $a$ est un minimum (resp. minimum local) pour la restriction $f_{|a+F}$ de $f$ au sous espace affine $a+F$ , et si $a$ est un maximum (resp. maximum local) pour la restriction $f_{|a+G}$ de $f$ au sous espace affine $a+G$ . On parle de point selle si il existe une telle décomposition.
2.

Si $f$ de classe $\mathscr{C}^{1}$ . Soit $a$ un point critique de $f$ , un sous espace vectoriel $H\subset\mathbb{R}^{n}$ est un plan d’inflexion si pour toute droite $\Delta$ passant par $a$ inclus dans $a+H$ , $f_{|\Delta}$ n’a pas d’extrema local en $a$ .

Remarque B.1.

La décomposition $F\oplus G$ d’un point selle n’est pas forcément unique et on ne demande rien en dehors $(a+G)\cup(F+a)$ , en particulier, il peut y avoir des plans d’inflexion en un point selle (ex $f(x,y)=x^{2}-y^{2}+(x-y)^{3}$ , $(0,0)$ est un point selle local dans la décomposition $(\mathbb{R},0)\oplus(0,\mathbb{R})$ car $x^{2}+x^{3}$ a un minimum local en $0$ et $-y^{2}-y^{3}$ un maximum local, de même $(0,0)$ est un point selle dans la décomposition $\mathbb{R}(1,1/2)\oplus\mathbb{R}(1/2,1)$ mais $\mathbb{R}(1,-1)$ est une droite d’inflexion)

Proposition B.5.

Soit $f:U\to\mathbb{R}$ de classe $\mathscr{C}^{1}$

1.

Si $a$ est un point selle de $f$ , c’est un point critique de $f$ .
2.

Si $f$ est $\mathscr{C}^{2}$ et $a$ est un point critique de $f$ . Si $D^{2}f(a)$ est non-dégénérée, ni positive ni négative, alors $a$ est un point selle local de $f$ .
3.

Si $a$ est un point critique de $f$ $H$ est un plan d’inflexion en $a$ de dimension $dim(H)>n/2$ alors $a$ n’est pas un point selle local. De plus si $f$ est $\mathscr{C}^{2}$ pour tout $h\in H$ , $D^{2}f(a)(H,H)=0.$

Démonstration :

Pour (1) on remarque qu’il suffit de montrer $df(a)=0$ ce qui ne dépend pas de la base de $\mathbb{R}^{n}$ on peut donc supposer $a$ point selle pour la décomposition $F=\mathbb{R}^{k}\times\{0\}$ , $G=\{0\}\times\mathbb{R}^{n-k}$ . Comme f restreint à $a+F$ à un minimum local, les $k$ premières dérivées partielles s’annulent, les n-k dernières s’annulent à cause du maximum sur $a+G$ , d’où $df(a)=0.$

La preuve de (2) nécessite quelques bases d’algèbre linéaire. Pour (2), comme $D^{2}f(a)$ est non dégénérée, les valeurs propres de $H(f)(a)$ (les racines du polynôme $X\mapsto det(H(f)(a)-Xid)$ ) sont non nulles. Comme la matrice $D^{2}f(a)$ n’est ni positive ni négative, il y a à la fois des valeurs propres $\lambda$ positives et négatives. Soit $F$ l’espace vectoriel engendré par les vecteurs propres $u$ (les $u\in\mathbb{R}^{n}$ tels que $H(f)(a)u=\lambda u$ qui existent car si $det(H(f)(a)-\lambda id)=0$ , $H(f)(a)-\lambda id$ n’est pas injective donc a un noyau) des valeurs propres $\lambda$ strictement positives, et de même $G$ avec les négatives. $D^{2}f(a)$ restreint à $F$ est positive donc $f|_{a+F}$ admet un minimum local et de même pour $G$ .

Pour (3), si $dim(H)>n/2$ et supposons par l’absurde $a$ point selle, on a $dim(F)+dim(G)=n$ , on a soit $dim(F)\geq n/2$ , soit $dim(G)\geq n/2$ , disons qu’on se trouve dans le premier cas, alors $n\geq dim(H+F)=dim(F)+dim(H)-dim(F\cap H)$ implique $dim(F\cap H)\geq dim(F)+dim(H)-n>n/2+n/2-n=0$ donc $F\cap H\neq\{0\}$ une contradiction car la restriction de $f$ à toute droite dans $a+F\cap H$ devrait avoir un minimum local en $a$ et un point d’inflexion à la fois. Si $D^{2}f(a)(H,H)\neq 0,$ on a vu que cela suffit à ce que $f$ ait un extremum local sur la droite $a+\mathbb{R}H,$ vu si $\phi(\lambda)=f(a+\lambda H)$ , $\phi^{\prime\prime}(0)=D^{2}f(a)(H,H).$ □

Théorème B.6.

Soient $A\subset\mathbb{R}^{n-k},B\subset\mathbb{R}^{k}$ des compacts convexes et $K:C=A\times B\to\mathbb{R}$ continue. Si pour tout $(a,b)\in C,a\in\mathbb{R}^{n-k},b\in\mathbb{R}^{k}$ , $x\mapsto K(x,b)$ est convexe et $y\mapsto K(a,y)$ est concave, alors il existe un point de $C$ qui soit un point selle $(x_{0},y_{0})$ selon la décomposition $\mathbb{R}^{n-k}\times\{0\}\oplus\{0\}\times\mathbb{R}^{k}$ autrement dit :

\forall x\in A,y\in B\ \ \ K(x_{0},y)\leq K(x_{0},y_{0})\leq K(x,y_{0}).

(B.1)

De plus, (B.1) est équivalente à l’égalité :

\mathrm{Min}_{x\in A}\mathrm{Max}_{y\in B}K(x,y)=\mathrm{Max}_{y\in B}\mathrm{% Min}_{x\in A}K(x,y).

(B.2)

Remarque B.2.

On a des $M i n$ et $M a x$ au lieu d’inf et sup car des fonctions continues sur des compacts atteignent leurs bornes (cf. la preuve pour la continuité de $x\mapsto\mathrm{Max}_{y\in B}K(x,y)$ et de façon similaire de $y\mapsto\mathrm{Max}_{x\in A}K(x,y)$ .

Dans le cas où $f$ est bilinéaire, ce résultat s’appelle le théorème du min-max de von Neumann. Il a une signification en théorie des jeux. Si $f$ donne la valeur que gagne un joueur $A$ en position $x\in U$ si $f(x)\geq 0$ et $-f(x)$ la valeur que gagne le joueur $B$ (et perd le joueur A) si $f(x)\leq 0$ . Si $A$ ne peut influencer que la direction $\{0\}\times\mathbb{R}^{k}$ et $B$ seulement la direction $\mathbb{R}^{n-k}\times\{0\}$ . Alors un point selle est un ”équilibre de Nash” c’est-à-dire un point où ni $A$ ni $B$ n’ont intérêt à changer leur stratégie, car si $A$ change sa stratégie celle de $B$ étant constante, étant donné que le point selle est un maximum, $A$ va perdre en gain, et de même si $B$ change sa position avec celle de $A$ constante, le caractère de minimum dans la direction du changement de $B$ montre que $B$ ne peut que perdre plus.

Démonstration :

$\bullet$

$\mathrm{Max}_{y\in B}\mathrm{Min}_{x\in A}K(x,y)\leq\mathrm{Min}_{x\in A}% \mathrm{Max}_{y\in B}K(x,y)$ est toujours vrai. Comme pour tout $x\in A,y\in B$ , $\mathrm{Min}_{x\in A}K(x,y)\leq K(x,y)\leq\mathrm{Max}_{y\in A}K(x,y)$ , on déduit en prenant le max : $\mathrm{Max}_{y\in B}\mathrm{Min}_{x\in A}K(x,y)\leq\mathrm{Max}_{y\in B}K(x,y)$ soit en prenant un $M i n$ en $x$ :

$\mathrm{Max}_{y\in B}\mathrm{Min}_{x\in A}K(x,y)\leq\mathrm{Min}_{x\in A}% \mathrm{Max}_{y\in B}K(x,y).$
$\bullet$

$(\ref{PSK})\Rightarrow(\ref{MinMax})$ B.1)⇒(B.2)

De plus, en considérant $(x_{0},y_{0})$ de $(\ref{PSK})$ B.1), on a :

$K(x_{0},y_{0})\leq\mathrm{Min}_{x\in A}K(x,y_{0})\leq\mathrm{Max}_{y\in B}% \mathrm{Min}_{x\in A}K(x,y),$

$K(x_{0},y_{0})\geq\mathrm{Max}_{y\in B}K(x_{0},y)\geq\mathrm{Min}_{x\in A}% \mathrm{Max}_{y\in B}K(x,y),$

d’où l’égalité complète en rassemblant les 3 dernières inégalités.
$\bullet$

$g:x\mapsto\mathrm{Max}_{y\in B}K(x,y)$ est continue.

Soit $x,x_{n}\in A$ , $x_{n}\to x$ , soit $y_{n}$ (resp $t$ ) atteignant le $m a x$ pour $x_{n}$ (resp $x$ ) c’est à dire : $\mathrm{Max}_{y\in B}K(x_{n},y)=K(x_{n},y_{n}).$ Supposons que $g(x_{n})=K(x_{n},y_{n})$ ne converge pas vers $g(x)$ . Par compacité, on peut extraire une suite telle que $y_{\phi(n)}\to Y$ . Par continuité de $K$ :

$g(x_{\phi(n)})=K(x_{\phi(n)},y_{\phi(n)})\to K(x,Y)<K(x,t)=\mathrm{Max}_{y\in B% }K(x,y)=g(x).$

Or $K(x_{\phi(n)},t)\leq K(x_{\phi(n)},y_{\phi(n)})$ donc en passant à la limite par continuité de $K$ , $K(x,t)\leq K(x,Y)<K(x,t),$ une contradiction.
$\bullet$

$(\ref{PSK})\Leftarrow(\ref{MinMax})$ B.1)⇐(B.2) On prend $x_{0}\in A$ réalisant le minimum c’est à dire tel que :

$\alpha=\mathrm{Min}_{x\in A}\mathrm{Max}_{y\in B}K(x,y)=\mathrm{Max}_{y\in B}K% (x_{0},y)$

Il existe par la continuité du point précédent et par compacité. De même, il existe $y_{0}\in B$ réalisant le maximum :

$\mathrm{Min}_{x\in A}K(x,y_{0})=\mathrm{Max}_{y\in B}\mathrm{Min}_{x\in A}K(x,% y)=\alpha.$

Donc pour tout $x\in A,y\in B$ , en utilisant (B.2) pour l’égalité du milieu, on obtient :

$K(x_{0},y)\leq\mathrm{Max}_{Y\in B}K(x_{0},Y)=\alpha=\mathrm{Min}_{X\in A}K(X,% y_{0})\leq K(x,y_{0}).$

En prenant $x=x_{0}$ , $y=y_{0}$ , on voit $\alpha=K(x_{0},y_{0})$ , ce qui dit donc que $(x_{0},y_{0})$ est un point selle.
$\bullet$

Montrons (B.2). Considérons, pour $\epsilon>0$ ,

$K_{\epsilon}(x,y)=K(x,y)+\epsilon||x||_{2}^{2}.$

Comme $x\mapsto\epsilon||x||_{2}^{2}$ est strictement convexe, il en est de même de $K_{\epsilon}(.,y)$ pour tout $y\in B$ (convexe plus strictement convexe donne strictement convexe).

Montrons que pour tout $y$ , la fonction $K_{\epsilon}(.,y)$ a un unique minimum. En effet, si $x_{1}\neq x_{2}$ sont deux minima, par stricte convexité : $K_{\epsilon}((x+y)/2,y)<K_{\epsilon}(x_{1},y)/2+K_{\epsilon}(x_{2},y)/2=K(x_{i% },y)$ en contradiction avec le caractère de minimum. Donc on a un unique $E(y)$ atteignant le minimum de $K_{\epsilon}(.,y)$ Par le deuxième point (appliqué à $-K_{\epsilon}(y,x)$ ) $f_{\epsilon}(y)=K_{\epsilon}(E(y),y)$ est continue, donc atteint son maximum en $y^{*}$ . En conséquence, par la définition de $f_{\epsilon}$ et le choix de $y^{*}$

$f_{\epsilon}(y^{*})=\mathrm{Max}_{y\in B}\mathrm{Min}_{x\in A}K_{\epsilon}(x,y% )=K_{\epsilon}(E(y^{*}),y^{*})=\mathrm{Min}_{x\in A}K_{\epsilon}(x,y^{*}).$

Soit $x\in A,y\in B,t\in]0,1[$ , on a par concavité :

$K_{\epsilon}(x,(1-t)y^{*}+ty)\geq(1-t)K_{\epsilon}(x,y^{*})+tK_{\epsilon}(x,y)% \geq(1-t)f_{\epsilon}(y^{*})+tK_{\epsilon}(x,y).$

En prenant $x=E((1-t)y^{*}+ty)$ , on obtient $f_{\epsilon}((1-t)y^{*}+ty)\geq(1-t)f_{\epsilon}(y^{*})+tK_{\epsilon}(E((1-t)y% ^{*}+ty),y).$

Vu que $y^{*}$ maximise $f_{\epsilon}$ , en soustrayant et divisant par $t$ , on a :

$f_{\epsilon}(y^{*})\geq K_{\epsilon}(E((1-t)y^{*}+ty),y)\ \ (*).$

On veut prendre $t\to 0$ , voyons que $y\mapsto E(y)$ est continue. Supposons $y_{n}\to y$ , et supposons $E(y_{n})\not\to E(y)$ par compacité, on a une suite extraite $y_{\phi(n)}$ telle que $E(y_{\phi(n)})\to Z\neq E(y)$ . Par continuité $K_{\epsilon}(E(y_{\phi(n)})),y_{\phi(n)})\to K_{\epsilon}(Z,y)>K_{\epsilon}(E(% y),y),$

l’inégalité stricte venant de l’unicité du minimum d’une fonction strictement convexe.

Or par définition $K_{\epsilon}(E(y)),y_{\phi(n)})\geq K_{\epsilon}(E(y_{\phi(n)})),y_{\phi(n)})$ donc en passant à la limite $K_{\epsilon}(E(y),y)\geq K_{\epsilon}(Z,y)>K_{\epsilon}(E(y),y),$ une contradiction.

On a donc montré la continuité de $y\mapsto E(y)$ .

Donc en passant à la limite dans l’inégalité $(*)$ , on obtient : $f_{\epsilon}(y^{*})\geq K_{\epsilon}(E(y^{*}),y)$ et ce pour tout $y\in B$ Par ailleurs par définition de $f_{\epsilon}$ , $f_{\epsilon}(y^{*})\leq K_{\epsilon}(x,y^{*})$ . Autrement dit $(E(y^{*}),y^{*})$ est un point selle de $K_{\epsilon}$ . Par l’implication $(\ref{PSK})\Rightarrow(\ref{MinMax})$ B.1)⇒(B.2), on déduit, vu $K(x,y)\leq K_{\epsilon}(x,y)\leq K(x,y)+\epsilon D$ (avec $D=Max_{x\in A}||x||_{2}^{2}<\infty$ par compacité) :

$\displaystyle\mathrm{Min}_{x\in A}\mathrm{Max}_{y\in B}K(x,y)$ $\displaystyle\leq\mathrm{Min}_{x\in A}\mathrm{Max}_{y\in B}K_{\epsilon}(x,y)$

$\displaystyle=\mathrm{Max}_{y\in B}\mathrm{Min}_{x\in A}K_{\epsilon}(x,y)\leq% \epsilon C+\mathrm{Max}_{y\in B}\mathrm{Min}_{x\in A}K(x,y).$

En prenant $\epsilon\to 0$ , on obtient l’inégalité qui manque pour avoir $(\ref{MinMax})$ B.2) pour $K$ .

□

	$\displaystyle\mathrm{Min}_{x\in A}\mathrm{Max}_{y\in B}K(x,y)$	$\displaystyle\leq\mathrm{Min}_{x\in A}\mathrm{Max}_{y\in B}K_{\epsilon}(x,y)$
		$\displaystyle=\mathrm{Max}_{y\in B}\mathrm{Min}_{x\in A}K_{\epsilon}(x,y)\leq% \epsilon C+\mathrm{Max}_{y\in B}\mathrm{Min}_{x\in A}K(x,y).$