3 Points selles (Niveau L2-L3)

Pour (1) on remarque qu’il suffit de montrer $df\left(a\right)=0$ ce qui ne dépend pas de la base de ${ℝ}^n$ on peut donc supposer $a$ point selle pour la décomposition $F={ℝ}^k\times \left\{0\right\}$, $G=\left\{0\right\}\times {ℝ}^{n-k}$. Comme f restreint à $a+F$ à un minimum local, les $k$ premières dérivées partielles s’annulent, les n-k dernières s’annulent à cause du maximum sur $a+G$, d’où $df\left(a\right)=0.$

La preuve de (2) nécessite quelques bases d’algèbre linéaire. Pour (2), comme $D^{2}f\left(a\right)$ est non dégénérée, les valeurs propres de $H\left(f\right)\left(a\right)$ (les racines du polynôme $X\mapsto det\left(H\left(f\right)\left(a\right)-Xid\right)$) sont non nulles. Comme la matrice $D^{2}f\left(a\right)$ n’est ni positive ni négative, il y a à la fois des valeurs propres $\lambda$ positives et négatives. Soit $F$ l’espace vectoriel engendré par les vecteurs propres $u$ (les $u\in {ℝ}^n$ tels que $H\left(f\right)\left(a\right)u=\lambda u$ qui existent car si $det\left(H\left(f\right)\left(a\right)-\lambda id\right)=0$, $H\left(f\right)\left(a\right)-\lambda id$ n’est pas injective donc a un noyau) des valeurs propres $\lambda$ strictement positives, et de même $G$ avec les négatives. $D^{2}f\left(a\right)$ restreint à $F$ est positive donc ${f|}_{a+F}$ admet un minimum local et de même pour $G$.

Pour (3), si $dim\left(H\right)>n/2$ et supposons par l’absurde $a$ point selle, on a $dim\left(F\right)+dim\left(G\right)=n$, on a soit $dim\left(F\right)\ge n/2$, soit $dim\left(G\right)\ge n/2$, disons qu’on se trouve dans le premier cas, alors $n\ge dim\left(H+F\right)=dim\left(F\right)+dim\left(H\right)-dim\left(F\cap H\right)$ implique $dim\left(F\cap H\right)\ge dim\left(F\right)+dim\left(H\right)-n>n/2+n/2-n=0$ donc $F\cap H\ne \left\{0\right\}$ une contradiction car la restriction de $f$ à toute droite dans $a+F\cap H$ devrait avoir un minimum local en $a$ et un point d’inflexion à la fois. Si $D^{2}f\left(a\right)(H,H)\ne 0,$ on a vu que cela suffit à ce que $f$ ait un extremum local sur la droite $a+ℝH,$ vu si $\varphi \left(\lambda \right)=f\left(a+\lambda H\right)$, ${\varphi }^{\prime \prime }\left(0\right)=D^{2}f\left(a\right)(H,H).$   □

1. $\bullet$
   ​

   ${\mathrm{Max}}_{y\in B}{\mathrm{Min}}_{x\in A}K(x,y)\le {\mathrm{Min}}_{x\in A}{\mathrm{Max}}_{y\in B}K(x,y)$ est toujours vrai. Comme pour tout $x\in A,y\in B$, ${\mathrm{Min}}_{x\in A}K(x,y)\le K(x,y)\le {\mathrm{Max}}_{y\in A}K(x,y)$, on déduit en prenant le max : ${\mathrm{Max}}_{y\in B}{\mathrm{Min}}_{x\in A}K(x,y)\le {\mathrm{Max}}_{y\in B}K(x,y)$ soit en prenant un $Min$ en $x$:

   $${\mathrm{Max}}_{y\in B}{\mathrm{Min}}_{x\in A}K(x,y)\le {\mathrm{Min}}_{x\in A}{\mathrm{Max}}_{y\in B}K(x,y).$$
2. $\bullet$
   ​

   $\left(B.1\right)\Rightarrow \left(B.2\right)$

   De plus, en considérant $(x_0,y_0)$ de $\left(B.1\right)$, on a :

   $$K(x_0,y_0)\le {\mathrm{Min}}_{x\in A}K(x,y_0)\le {\mathrm{Max}}_{y\in B}{\mathrm{Min}}_{x\in A}K(x,y),$$

   $$K(x_0,y_0)\ge {\mathrm{Max}}_{y\in B}K(x_0,y)\ge {\mathrm{Min}}_{x\in A}{\mathrm{Max}}_{y\in B}K(x,y),$$

   d’où l’égalité complète en rassemblant les 3 dernières inégalités.

3. $\bullet$
   ​

   $g:x\mapsto {\mathrm{Max}}_{y\in B}K(x,y)$ est continue.

   Soit $x,x_n\in A$, $x_n\to x$, soit $y_n$ (resp $t$) atteignant le $max$ pour $x_n$ (resp $x$) c’est à dire : ${\mathrm{Max}}_{y\in B}K(x_n,y)=K(x_n,y_n).$ Supposons que $g\left(x_n\right)=K(x_n,y_n)$ ne converge pas vers $g\left(x\right)$. Par compacité, on peut extraire une suite telle que $y_{\varphi \left(n\right)}\to Y$. Par continuité de $K$ :

   Or $K(x_{\varphi \left(n\right)},t)\le K(x_{\varphi \left(n\right)},y_{\varphi \left(n\right)})$ donc en passant à la limite par continuité de $K$, une contradiction.

4. $\bullet$
   ​

   $\left(B.1\right)\Leftarrow \left(B.2\right)$ On prend $x_0\in A$ réalisant le minimum c’est à dire tel que :

   $$\alpha ={\mathrm{Min}}_{x\in A}{\mathrm{Max}}_{y\in B}K(x,y)={\mathrm{Max}}_{y\in B}K(x_0,y)$$

   Il existe par la continuité du point précédent et par compacité. De même, il existe $y_0\in B$ réalisant le maximum :

   $${\mathrm{Min}}_{x\in A}K(x,y_0)={\mathrm{Max}}_{y\in B}{\mathrm{Min}}_{x\in A}K(x,y)=\alpha .$$

   Donc pour tout $x\in A,y\in B$, en utilisant (B.2) pour l’égalité du milieu, on obtient :

   $$K(x_0,y)\le {\mathrm{Max}}_{Y\in B}K(x_0,Y)=\alpha ={\mathrm{Min}}_{X\in A}K(X,y_0)\le K(x,y_0).$$

   En prenant $x=x_0$, $y=y_0$, on voit $\alpha =K(x_0,y_0)$, ce qui dit donc que $(x_0,y_0)$ est un point selle.

5. $\bullet$
   ​

   Montrons (B.2). Considérons, pour $ϵ>0$,

   $$K_{ϵ}(x,y)=K(x,y)+ϵ{\Vert x\Vert }_2^2.$$

   Comme $x\mapsto ϵ{\Vert x\Vert }_2^2$ est strictement convexe, il en est de même de $K_{ϵ}(.,y)$ pour tout $y\in B$ (convexe plus strictement convexe donne strictement convexe).

   Montrons que pour tout $y$, la fonction $K_{ϵ}(.,y)$ a un unique minimum. En effet, si $x_1\ne x_2$ sont deux minima, par stricte convexité : en contradiction avec le caractère de minimum. Donc on a un unique $E\left(y\right)$ atteignant le minimum de $K_{ϵ}(.,y)$ Par le deuxième point (appliqué à $-K_{ϵ}(y,x)$) $f_{ϵ}\left(y\right)=K_{ϵ}(E\left(y\right),y)$ est continue, donc atteint son maximum en $y^{\ast }$. En conséquence, par la définition de $f_{ϵ}$ et le choix de $y^{\ast }$

   $$f_{ϵ}\left(y^{\ast }\right)={\mathrm{Max}}_{y\in B}{\mathrm{Min}}_{x\in A}{K}_{ϵ}(x,y)=K_{ϵ}(E\left(y^{\ast }\right),y^{\ast })={\mathrm{Min}}_{x\in A}{K}_{ϵ}(x,y^{\ast }).$$

   Soit $x\in A,y\in B,t\in \left]\mathrm{0,1}\right[$, on a par concavité :

   $$K_{ϵ}(x,\left(1-t\right)y^{\ast }+ty)\ge \left(1-t\right)K_{ϵ}(x,y^{\ast })+t{K}_{ϵ}(x,y)\ge \left(1-t\right)f_{ϵ}\left(y^{\ast }\right)+t{K}_{ϵ}(x,y).$$

   En prenant $x=E\left(\left(1-t\right)y^{\ast }+ty\right)$, on obtient $f_{ϵ}\left(\left(1-t\right)y^{\ast }+ty\right)\ge \left(1-t\right)f_{ϵ}\left(y^{\ast }\right)+t{K}_{ϵ}(E\left(\left(1-t\right)y^{\ast }+ty\right),y).$

   Vu que $y^{\ast }$ maximise $f_{ϵ}$, en soustrayant et divisant par $t$, on a :

   $$f_{ϵ}\left(y^{\ast }\right)\ge K_{ϵ}(E\left(\left(1-t\right)y^{\ast }+ty\right),y)(\ast ).$$

   On veut prendre $t\to 0$, voyons que $y\mapsto E\left(y\right)$ est continue. Supposons $y_n\to y$, et supposons $E\left(y_n\right)\to ̸E\left(y\right)$ par compacité, on a une suite extraite $y_{\varphi \left(n\right)}$ telle que $E\left(y_{\varphi \left(n\right)}\right)\to Z\ne E\left(y\right)$. Par continuité $K_{ϵ}\left(E\left(y_{\varphi \left(n\right)}\right)\right),y_{\varphi \left(n\right)})\to K{}_{ϵ}(Z,y)>K{}_{ϵ}(E\left(y\right),y),$

   l’inégalité stricte venant de l’unicité du minimum d’une fonction strictement convexe.

   Or par définition $K_{ϵ}\left(E\left(y\right)\right),y_{\varphi \left(n\right)})\ge K_{ϵ}\left(E\left(y_{\varphi \left(n\right)}\right)\right),y_{\varphi \left(n\right)})$ donc en passant à la limite $K_{ϵ}(E\left(y\right),y)\ge K_{ϵ}(Z,y)>K_{ϵ}(E\left(y\right),y),$ une contradiction.

   On a donc montré la continuité de $y\mapsto E\left(y\right)$.

   Donc en passant à la limite dans l’inégalité $(\ast )$, on obtient : $f_{ϵ}\left(y^{\ast }\right)\ge K_{ϵ}(E\left(y^{\ast }\right),y)$ et ce pour tout $y\in B$ Par ailleurs par définition de $f_{ϵ}$, $f_{ϵ}\left(y^{\ast }\right)\le K_{ϵ}(x,y^{\ast })$. Autrement dit $(E\left(y^{\ast }\right),y^{\ast })$ est un point selle de $K_{ϵ}$. Par l’implication $\left(B.1\right)\Rightarrow \left(B.2\right)$, on déduit, vu $K(x,y)\le K_{ϵ}(x,y)\le K(x,y)+ϵD$ (avec par compacité) :

   	${\mathrm{Min}}_{x\in A}{\mathrm{Max}}_{y\in B}K(x,y)$	$\le {\mathrm{Min}}_{x\in A}{\mathrm{Max}}_{y\in B}{K}_{ϵ}(x,y)$
   		$={\mathrm{Max}}_{y\in B}{\mathrm{Min}}_{x\in A}{K}_{ϵ}(x,y)\le ϵC+{\mathrm{Max}}_{y\in B}{\mathrm{Min}}_{x\in A}K(x,y).$

   En prenant $ϵ\to 0$, on obtient l’inégalité qui manque pour avoir $\left(B.2\right)$ pour $K$.

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