4 Jauge de Minkowski d’un ensemble convexe (Niveau M1)

L’un des objectifs principaux de ce chapitre est d’utiliser le théorème de Hahn-Banach pour séparer des convexes par des hyperplans fermés, lieu d’annulation d’une forme linéaire continue. Pour cela, nous devons associer à un convexe une fonction (qui sera souvent une semi-norme) et que l’on pourra utiliser comme domination dans le théorème d’Hahn-Banach.

Définition B.4.

Soit E un ℝ-e.v., un convexe C⊂E est dit absorbant si pour tout x∈E,x∈λ⁢C pour un λ>0.

Définition B.5.

Soit E un ℝ-e.v. et C un convexe absorbant. La jauge de Minkowski de C est la fonction :

μC⁢(x):=inf{λ>0:λ−1⁢x∈C}∈[0,∞)
Théorème B.7.

Soit E un ℝ-e.v. et C un convexe absorbant. Alors

  1. 13.
    ​

    μC⁢(x+y)≤μC⁢(x)+μC⁢(y).

  2. 14.
    ​

    μC⁢(t⁢x)=t⁢μC⁢(x) si t≥0.

  3. 15.
    ​

    Si −C=C, μC est une seminorme.

  4. 16.
    ​

    Si A={x:μC⁢(x)<1},B={x:μC⁢(x)≤1} alors A⊂C⊂B sont des convexes et μA=μB=μC

  5. 17.
    ​

    Si E est un e.v.n. et 0∈I⁢n⁢t⁢(C) (ce qui implique C absorbant), μC est continue et de plus

    A=I⁢n⁢t⁢(C),B=C¯.
Démonstration : 

Soit t=μC⁢(x)+ϵ>0, s=μC⁢(y)+ϵ>0 de sorte que x/t,y/s∈C. Or on peut écrire la combinaison convexe suivante x+ys+t=ts+t⁢xt+ss+t⁢ys∈C et donc μC⁢(x+y)≤s+t. Comme ϵ>0 est arbitraire, on déduit (1).

(2) est une conséquence directe de la définition. Si −C=C μC⁢(x)=μC⁢(−x) d’où on déduit μC⁢(t⁢x)=|t|⁢μC⁢(x), la seule relation manquante pour (3).

Les inclusions entre A,B,C viennent de la définition: x∈C donne x/1∈C et donc μC⁢(x)≤1 et si μC⁢(x)<1, alors x/1∈C. Elles impliquent μB≤μC≤μA. Si μB⁢(x)<s<t alors x/s∈B donc μC⁢(x/s)≤1 donc μC⁢(x/t)≤s/t<1 d’où x/t∈A donc μA⁢(x)≤t soit en passant à l’infimum des t, μA⁢(x)≤m⁢uB⁢(x) ce qui donne la dernière égalité de (4). A,B convexes sont semblables à la convexité des boules en utilisant (1) et (2).

Pour (5), on remarque qu’il existe B⁢(0,ϵ)⊂C donc μC⁢(ϵ⁢x/‖x‖)≤1 soit μC⁢(x)≤‖x‖/ϵ.

De plus par l’inégalité triangulaire μC⁢(x)≤|μC⁢(x−y)|+μC⁢(y) et de même en inversant x,y donc

|μC⁢(x)−μC⁢(y)|≤|μC⁢(x−y)|≤‖x−y‖/ϵ

donc μC est 1/ϵ-lipschitzienne donc continue. On déduit que A est ouvert, B fermé et donc A⊂I⁢n⁢t⁢(C),C¯⊂B. Or, soit ϵ, si x∈B x⁢(1−1/n)∈C et converge vers x∈C¯ donc B⊂C¯. De même si x∈Ac, (1+ϵ)⁢x∉C donc x∈Cc¯ donc Ac⊂Cc¯ d’où en prenant le complémentaire I⁢n⁢t⁢(C)⊂A.   □

Vous pouvez aussi en exercice essayer de montrer le résultat suivant directement.

Corollaire B.8.

Soit C un convexe d’intérieur non vide d’un e.v.n., I⁢n⁢t⁢(C¯)=I⁢n⁢t⁢(C) et I⁢n⁢t⁢(C)¯=C¯.

Démonstration : 

En translatant, on peut supposer 0∈I⁢n⁢t⁢(C),, Alors comme μC=μI⁢n⁢t⁢(C)=μC¯, par le (5) ci-dessus, le calcul de l’intérieur/adhérence en terme de la jauge donne que ces trois ensembles ont même intérieur et même adhérence.   □