1 Propriétés des Cônes tangents et normaux dans $\mathbb{R}^{n}$

En pratique, on peut utiliser le résultat suivant pour se ramener à des cas plus simples:

Proposition B.1.

Soient $A, B$ des convexes de $E$ .

1.

Si $A\subset B$ alors pour tout $x\in A$ , $T_{A}(x)\subset T_{B}(x)$ et $N_{A}(x)\supset N_{B}(x).$
2.

Si $a\in Int(A)$ , $T_{A}(a)=E$ et $N_{A}(a)=\{0\}.$
3.

Si $u_{1},...,u_{n}\in N_{A}(x)$ alors $\{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}u_{i},\lambda_{i}\geq 0\}\subset N_{A}% (x).$
4.

Si $a\neq b$ alors $N_{[a,b]}(a)=(\mathbb{R}(b-a))^{\perp}+\mathbb{R}_{+}(a-b)$

et pour $u\in[a,b]-\{a,b\}$ $N_{[a,b]}(u)=(\mathbb{R}(b-a))^{\perp}$ .
5.

Pour $x\in A$ , $A\subset x+T_{A}(x)$ et $T_{x+T_{A}(x)}=T_{A}(x)$ et donc $N_{x+T_{A}(x)}=N_{A}(x).$

Démonstration :

(1) $T_{A}(x)=\overline{\mathbb{R}_{+}^{*}(A-x)}\subset T_{B}(x)$ est par monotonie de l’adhérence. Si $f\in N_{B}(x)$ alors pour tout $y\in T_{B}(x)$ (en particulier $y\in T_{A}(x)$ on a $\langle f,x\rangle\leq 0$ et donc $f\in N_{A}(x)$ . Donc on a l’inclusion $N_{A}(x)\supset N_{B}(x).$

(2) $a\in Int(A)$ il existe une boule donc un convexe $B(a,r)\subset A$ $r>0$ et donc par (1) $T_{A}(a)\supset T_{B(a,r)}(a)\supset\mathbb{R}_{+}(B(a,r)-a)=\mathbb{R}_{+}B(0% ,r)=E$ par la définition. Vu $E^{\perp}=\{0\}$ le résultat sur le cône normal s’en déduit.

(3) C’est la propriété de cône. Par hypothèse pour $x\in T_{A}(x)$ on a $\langle u_{i},x\rangle\leq 0$ donc pour $\lambda_{i}\geq 0$ $\langle\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}u_{i},x\rangle=\displaystyle\sum_% {i=1}^{n}\lambda_{i}\langle u_{i},x\rangle\leq 0$ et donc $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}u_{i}\in N_{A}(x)$ .

(4) Comme $[a,b]$ est convexe, on obtient $T_{u}([a,b])=\mathbb{R}_{+}[a-u,b-u]$ et $u=\lambda a+(1-\lambda)b$ donc $(a-u)=(1-\lambda)(a-b)$ , $b-u=\lambda(b-a)$ donc $T_{u}([a,b])=\mathbb{R}_{+}[a-u,b-u]=\mathbb{R}(b-a)$ d’où le calcul du cône normal par l’exo 3.2. De même $T_{a}([a,b])=\mathbb{R}_{+}(b-a)$ donc clairement $f\in N_{a}([a,b])$ se décompose selon la somme directe orthogonale $\mathbb{R}(b-a)\oplus(\mathbb{R}(b-a))^{\perp}$ $f=\lambda(b-a)+v$ et on $\langle f,b-a\rangle=\lambda||b-a||^{2}$ qui est négatif si et seulement si $\lambda\leq 0$ . Donc si et seulement si $f\in(\mathbb{R}(b-a))^{\perp}+\mathbb{R}_{+}(a-b)$ comme annoncé.

(5) Par la formule $x+T_{A}(x)=x+\overline{\mathbb{R}_{+}^{*}(A-x)}\supset x+(A-x)=A$ . Par l’inclusion $T_{x+T_{A}(x)}\supset T_{A}(x)$ . Mais $x+T_{A}(x)-x=T_{A}(x)$ donc $T_{x+T_{A}(x)}=\overline{\mathbb{R}_{+}^{*}T_{A}(x)}=T_{A}(x)$ car $T_{A}(x)$ est un cône fermé. On déduit directement le cas des cônes normaux. □

Exemple B.1.

Soit $A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x\geq y\geq 0,\}$ . Calculons $N_{A}(0)$ le cône normal en $0=(0,0)$ .

D’abord on essaye de borner supérieurement l’ensemble. En prenant $[(0,0),(1,1)]\subset A$ , on a

N_{A}(0)\subset N_{[(0,0),(1,1)]}(0)=(\mathbb{R}(1,1))^{\perp}+\mathbb{R}_{+}(% -1,-1)=\{\lambda(1,-1)+\mu(-1,-1),\lambda\in\mathbb{R},\mu\geq 0\}

De même

N_{A}(0)\subset N_{[(0,0),(1,0)]}(0)=(\mathbb{R}(1,0))^{\perp}+\mathbb{R}_{+}(% -1,-1)=\{\lambda^{\prime}(0,1)+\mu^{\prime}(-1,0),\lambda^{\prime}\in\mathbb{R% },\mu^{\prime}\geq 0\}

Donc $N_{A}(0)$ est inclus dans l’intersection, résolvons le système $(-\mu^{\prime},\lambda^{\prime})=(\lambda-\mu,-\lambda-\mu)$ avec les conditions ci-dessus , $\lambda,\lambda^{\prime}\in\mathbb{R},\mu,\mu^{\prime}\geq 0$ Il faut donc $-\lambda-\mu=-\lambda+\mu-2\mu=\mu^{\prime}-2\mu$ donc

N_{(0,0)}(A)\subset\{\mu^{\prime}(-1,1)+\mu(0,-2),\mu,\mu^{\prime}\geq 0\}.

Montrons qu’il y a égalité en montrant que $(-1,1)\in N_{A}(0)$ et $(0,-1)\in N_{A}(0)$ (car on a alors l’autre inclusion par le 3 de la précédente proposition).

La formule du cas convexe donne $T_{A}(0)=A$ donc soit $(x,y)\in A$ , on calcule $\langle(x,y),(-1,1)\rangle=y-x\leq 0$ d’après l’équation de $A$ donc $(-1,1)\in N_{A}(0)$ .

Enfin $\langle(x,y),(0,-1)\rangle=-y\leq 0$ donc $(0,-1)\in N_{A}(0)$ comme voulu.

On a donc

N_{A}(0)=\mathbb{R}_{+}(-1,1)+\mathbb{R}_{+}(0,-2).

On est maintenant prêt pour la :

Preuve du Théorème 3.6 :

On rappelle que

C=\{x\in U:\forall i\in\{1,...,n\},g_{i}(x)\leq 0\}.

On a supposé $x_{0}\in Int(C)\subset U$ existe. Soit $x\in C$ tel que:

6.

les $l$ premières contraintes sont actives, c’est à dire: $g_{1}(x)=...=g_{l}(x)=0$
7.

les autres contraintes ne sont pas actives, c’est à dire $g_{l+1}(x)<0,...g_{n}(x)<0$

Si $l=0$ , on a

x\in Int(C)=\{x\in U:\forall i\in\{1,...,n\},g_{i}(x)<0\}

donc $N_{C}(x)=\{0\}$ par la proposition B.1.2. Sinon, le but est de voir:

N_{C}(x)=\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^{l}\lambda_{i}\nabla g_{i}(x),\lambda_% {i}\geq 0\right\}.

Etape 1: inclusion $\supset$ .

Par la proposition B.1.3. il suffit de voir que $\nabla g_{i}(x)\in N_{C}(x)$ pour $1\leq i\leq l$ , soit autrement dit par définition de $N_{C}(x)$ , il faut voir:

\langle\nabla g_{i}(x),u-x\rangle\leq 0,\forall u\in C

Or par le théorème 3.12, on a $\forall u,x\in U$

\langle\nabla g_{i}(x),u-x\rangle\leq g_{i}(u)-g_{i}(x)=g_{i}(u)\leq 0,

car $u\in C$ .

Etape 2: inclusion $\subset$ .

Soit $f\in N_{C}(x)$ .

On remarque d’abord que si on prend $h_{0}=x_{0}-x$ on a $dg_{i}(x)(h_{0})\leq g_{i}(x_{0})-g_{i}(x)=g_{i}(x_{0})<0$ pour tout $i=1,...,l$ .

Soit donc maintenant $h$ tel que $dg_{i}(x)(h)<0,i=1,...,l$ (il en existe par la remarque), alors $g_{i}(x+th)-g_{i}(x)=tdg_{i}(x)(h)+o(t)$ donc $g_{i}(x+th)<0$ pour $t>0$ petit, et $i=1,...l$ De plus pour $t$ assez petit comme $g_{l+1}(x)<0,...g_{n}(x)<0$ , on déduit par continuité $g_{l+1}(x+th)<0,...g_{n}(x+th)<0$ d’où $x+th\in A$ pour tout $t$ assez petit.

Par définition de $N_{C}(x)$ , on a donc $\langle f,x+th-x\rangle\leq 0$ donc en particulier $\langle-f,h\rangle\geq 0$ et on ne peut pas avoir $-\langle f,h\rangle<0$ . Donc $-f,dg_{1}(x),...,dg_{l}(x)$ vérifient la première condition de la Proposition B.15 (avec $E=\mathbb{R}^{n}$ ) donc aussi la seconde et sont donc positivement linéairement dépendants. On a donc des $\lambda_{i}$ positifs non tous nuls tel que $-\lambda_{0}f+\displaystyle\sum_{i=1}^{l}\lambda_{i}\nabla g_{i}(x)=0$ .

Montrons enfin que $\lambda_{0}\neq 0$ . Si on avait $\displaystyle\sum_{i=1}^{l}\lambda_{i}\nabla g_{i}(x)=0$ , il n’y aurait pas de $h$ tel que $dg_{i}(x)(h)<0$ pour tout $i=1,...,l$ ce qui contredit $dg_{i}(x)(h_{0})<0$ .

On conclut à l’égalité voulu:

f=\displaystyle\sum_{i=1}^{l}\frac{\lambda_{i}}{\lambda_{0}}\nabla g_{i}(x)\in% \left\{\displaystyle\sum_{i=1}^{l}\lambda_{i}\nabla g_{i}(x),\lambda_{i}\geq 0\right\}

□

1 Propriétés des Cônes tangents et normaux dans ℝn

Proposition B.1.

Exemple B.1.

1 Propriétés des Cônes tangents et normaux dans $\mathbb{R}^{n}$